4.10: Sura ya Mapitio

Utangulizi

Tabia za usambazaji wa uwezekano au kazi ya wiani (PDF) ni kama ifuatavyo:

1. Kila uwezekano ni kati ya sifuri na moja, umoja (umoja ina maana ya kuingiza sifuri na moja).
2. Jumla ya probabilities ni moja.

4.1 Hypergeometric usambazaji

Fomu ya kuchanganya inaweza kutoa idadi ya subsets ya kipekee ya ukubwa\(x\) ambayo inaweza kuundwa kutoka vitu vya\(n\) kipekee ili kutusaidia kuhesabu probabilities. Fomu ya ushirikiano ni\(\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right)=_{n} C_{x}=\frac{n !}{x !(n-x) !}\)

Jaribio la hypergeometric ni jaribio la takwimu na mali zifuatazo:

1. Unachukua sampuli kutoka kwa makundi mawili.
2. Una wasiwasi na kundi la maslahi, linaloitwa kundi la kwanza.
3. Wewe sampuli bila uingizwaji kutoka kwa makundi ya pamoja.
4. Kila pick sio huru, kwani sampuli haina uingizwaji.

Matokeo ya jaribio la hypergeometric yanafaa usambazaji wa uwezekano wa hypergeometric. kutofautiana\(X =\) kwa random idadi ya vitu kutoka kwa kundi la riba. \(h(x)=\frac{\left(\begin{array}{l}{A} \\ {x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{N-A} \\ {n-x}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)}\).

Usambazaji wa Binomial

Jaribio la takwimu linaweza kuhesabiwa kama jaribio la binomial ikiwa hali zifuatazo zinakabiliwa:

1. Kuna idadi maalum ya majaribio,\(n\).
2. Kuna matokeo mawili tu yanayowezekana, inayoitwa “mafanikio” na, “kushindwa” kwa kila jaribio. Barua hiyo\(p\) inaashiria uwezekano wa mafanikio kwenye jaribio moja na\(q\) inaashiria uwezekano wa kushindwa kwenye jaribio moja.
3. \(n\)Majaribio ni ya kujitegemea na yanarudiwa kwa kutumia hali sawa.

Matokeo ya jaribio la binomial yanafaa usambazaji wa uwezekano wa binomial. kutofautiana kwa random idadi\(X =\) ya mafanikio yaliyopatikana katika majaribio ya\(n\) kujitegemea. Maana ya\(X\) inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula\(\mu = np\), na kupotoka kwa kawaida hutolewa na formula\(\sigma=\sqrt{n p q}\).

Fomu ya kazi ya wiani wa uwezekano wa Binomial ni

\[P(x)=\frac{n !}{x !(n-x) !} \cdot p^{x} q^{(n-x)}\nonumber\]

Usambazaji wa Jiometri

Kuna sifa tatu za jaribio la kijiometri:

1. Kuna majaribio moja au zaidi ya Bernoulli na kushindwa yote isipokuwa ya mwisho, ambayo ni mafanikio.
2. Kwa nadharia, idadi ya majaribio inaweza kuendelea milele. Lazima uwe na angalau jaribio moja.
3. Uwezekano\(p\),, wa mafanikio na uwezekano,\(q\), wa kushindwa ni sawa kwa kila jaribio.

Katika majaribio ya kijiometri, kufafanua kipekee random variable\(X\) kama idadi ya majaribio ya kujitegemea mpaka mafanikio ya kwanza. Tunasema kuwa\(X\) ina usambazaji wa kijiometri na kuandika\(X \sim G(p)\) wapi\(p\) uwezekano wa mafanikio katika jaribio moja.

Maana ya usambazaji wa kijiometri\(X \sim G(p)\) ni\(\mu = 1/p\) wapi\(x =\) idadi ya majaribio mpaka mafanikio ya kwanza kwa formula\(P(X=x)=(1-p)^{x-1} p\) ambapo idadi ya majaribio ni juu na ikiwa ni pamoja na mafanikio ya kwanza.

Uundaji mbadala wa usambazaji wa kijiometri unauliza swali: ni uwezekano gani wa kushindwa kwa x mpaka mafanikio ya kwanza? Katika uundaji huu jaribio lililosababisha mafanikio ya kwanza halihesabiwi. Fomu ya uwasilishaji huu wa kijiometri ni:

\[P(X=x)=p(1-p)^{x}\nonumber\]

Thamani inayotarajiwa katika fomu hii ya usambazaji wa kijiometri ni

\[\mu=\frac{1-p}{p}\nonumber\]

Njia rahisi kabisa ya kuweka aina hizi mbili za usambazaji wa kijiometri moja kwa moja\(p\) ni kukumbuka kwamba ni uwezekano wa mafanikio na\((1−p)\) ni uwezekano wa kushindwa. Katika formula wafuasi wanahesabu tu idadi ya mafanikio na idadi ya kushindwa kwa matokeo yaliyohitajika ya jaribio. Bila shaka jumla ya namba hizi mbili lazima ziongeze idadi ya majaribio katika jaribio.

Poisson Usambazaji

Poisson uwezekano usambazaji wa kipekee random variable inatoa uwezekano wa idadi ya matukio yanayotokea katika muda fasta ya muda au nafasi, kama matukio haya kutokea kwa kiwango kinachojulikana wastani na kujitegemea muda tangu tukio la mwisho. Usambazaji wa Poisson unaweza kutumika kwa takriban binomial, ikiwa uwezekano wa mafanikio ni “mdogo” (chini ya au sawa na 0.01) na idadi ya majaribio ni “kubwa” (kubwa kuliko au sawa na 25). Sheria nyingine za kidole gumba pia zinapendekezwa na waandishi tofauti, lakini wote wanatambua kuwa usambazaji wa Poisson ni usambazaji wa kikomo wa binomial kama\(n\) ongezeko na\(p\) inakaribia sifuri.

formula kwa ajili ya kompyuta probabilities kwamba ni kutoka mchakato Poisson ni:

\[P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\nonumber\]

wapi\(P(X)\) uwezekano wa mafanikio,\(\mu\) (hutamkwa mu) ni idadi inayotarajiwa ya mafanikio,\(e\) ni logarithm ya asili takriban sawa na\(2.718\), na\(X\) ni idadi ya mafanikio kwa kila kitengo, kwa kawaida kwa kitengo cha wakati.