31.3: Nukuu ya kisayansi (Kiambatisho C)

Katika astronomia (na sayansi nyingine), mara nyingi ni muhimu kukabiliana na idadi kubwa sana au ndogo sana. Kwa kweli, wakati idadi kuwa kweli kubwa katika maisha ya kila siku, kama vile madeni ya taifa nchini Marekani, tunawaita astronomical. Miongoni mwa mawazo wanaastronomia wanapaswa kushughulikia mara kwa mara ni kwamba Dunia iko mita 150,000,000,000 kutoka Jua, na masi ya atomu ya hidrojeni ni kilo 0.00000000000000000000167. Hakuna mtu katika akili yake sahihi angependa kuendelea kuandika zero nyingi!

Badala yake, wanasayansi wamekubaliana juu ya aina ya nukuu shorthand, ambayo si rahisi tu kuandika, lakini (kama tutakavyoona) hufanya kuzidisha na mgawanyiko wa idadi kubwa na ndogo kiasi kidogo ngumu. Ikiwa hujawahi kutumia nukuu hii ya nguvu-ya-kumi au nukuu ya kisayansi, inaweza kuchukua muda kidogo ili kuitumia, lakini hivi karibuni utapata rahisi zaidi kuliko kuweka wimbo wa zero hizo zote.

Kuandika Idadi Kubwa

Katika nukuu ya kisayansi, kwa ujumla tunakubaliana kuwa na namba moja tu upande wa kushoto wa hatua ya decimal. Ikiwa nambari haipo katika muundo huu, lazima ibadilishwe. Nambari ya 6 tayari iko katika muundo sahihi, kwa sababu kwa integers, tunaelewa kuwa kuna hatua ya decimal kwa haki yao. Hivyo 6 ni kweli 6., na kwa kweli kuna idadi moja tu upande wa kushoto wa uhakika decimal. Lakini namba 965 (ambayo ni 965.) ina namba tatu upande wa kushoto wa nukta ya decimal, na hivyo imeiva kwa uongofu.

Kubadilisha 965 kwa fomu sahihi, ni lazima kufanya hivyo 9.65 na kisha kuweka wimbo wa mabadiliko tumefanya. (Fikiria idadi kama mshahara kila wiki na ghafla inafanya tofauti nyingi kama tuna $965 au $9.65.) Tunaweka wimbo wa idadi ya maeneo tuliyohamisha hatua ya decimal kwa kuionyesha kama nguvu ya kumi. Hivyo 965 inakuwa 9.65 × 10 ² au 9.65 imeongezeka kwa kumi hadi nguvu ya pili. ndogo alimfufua 2 inaitwa exponent, na inatuambia ni mara ngapi sisi wakiongozwa uhakika decimal kwa upande wa kushoto.

Kumbuka kuwa 10 ² pia inaashiria mraba 10, au 10 × 10, ambayo ni sawa na 100. Na 9.65 × 100 ni 965 tu, idadi tulianza na. Njia nyingine ya kuangalia nukuu ya kisayansi ni kwamba sisi tofauti nje idadi messy nje mbele, na kuondoka vitengo laini ya kumi kwa exponent kuashiria. Hivyo namba kama 1,372,568 inakuwa mara 1.372568 milioni (10 ⁶) au mara 1.372568 10 inayoongezeka yenyewe mara 6. Tulipaswa kuhamisha sehemu ya decimal sita upande wa kushoto (kutoka mahali pake baada ya 8) ili kupata namba katika fomu ambapo kuna tarakimu moja tu upande wa kushoto wa hatua ya decimal.

Sababu tunayoita alama hii ya nguvu-ya-kumi ni kwamba mfumo wetu wa kuhesabu unategemea ongezeko la kumi; kila mahali katika mfumo wetu wa kuhesabu ni mara kumi zaidi kuliko mahali pa haki yake. Kama ulivyojifunza, hii ilianza kwa sababu wanadamu wana vidole kumi na tulianza kuhesabu nao. (Ni jambo la kuvutia kubashiri kwamba kama sisi milele kukutana akili maisha aina na vidole nane tu, mfumo wao kuhesabu pengine kuwa nguvu-ya-nane notation!)

Kwa hiyo, katika mfano tulianza na, idadi ya mita kutoka Dunia hadi Jua ni 1.5 × 10 ¹¹. Mahali pengine katika kitabu hiki, tunataja kuwa kamba 1 ya muda mrefu wa mwaka wa nuru ingefaa karibu na ikweta ya Dunia milioni 236 au mara 236,000,000. Katika nukuu ya kisayansi, hii itakuwa 2.36 × 10 ⁸. Sasa ikiwa ungependa kuelezea mambo kwa mamilioni, kama ripoti za kila mwaka za makampuni yenye mafanikio zinavyofanya, ungependa kuandika namba hii kama 236 × 10 ⁶. Hata hivyo, mkataba wa kawaida ni kuwa na namba moja tu upande wa kushoto wa hatua ya decimal.

Kuandika Nambari Ndogo

Sasa chukua namba kama 0.00347, ambayo pia si katika fomu ya kawaida (iliyokubaliwa-kwa) kwa notation ya kisayansi. Ili kuiweka katika muundo huo, ni lazima tufanye sehemu ya kwanza ya 3.47 kwa kusonga sehemu ya decimal mahali matatu kwa haki. Kumbuka kwamba mwendo huu wa kulia ni kinyume cha mwendo wa kushoto ambao tulijadiliwa hapo juu. Kuweka wimbo, tunaita mabadiliko haya hasi na kuweka ishara minus katika exponent. Hivyo 0.00347 inakuwa 3.47 × ^{10 1-3}.

Katika mfano tuliotoa mwanzoni, masi ya atomu ya hidrojeni ingeandikwa kama kilo 1.67 × ^{10 -27}. Katika mfumo huu, moja imeandikwa kama 10 ⁰, ya kumi ^{kama 10 -1}, mia kama 10 ^-2, na kadhalika. Kumbuka kwamba idadi yoyote, bila kujali ni kubwa au jinsi ndogo, inaweza kuelezwa katika nukuu ya kisayansi.

Kuzidisha na Idara

Uthibitisho wa kisayansi sio tu compact na rahisi, pia hurahisisha hesabu. Ili kuzidisha namba mbili zilizoonyeshwa kama nguvu za kumi, unahitaji tu kuzidisha namba nje mbele na kisha uongeze vielelezo. Ikiwa hakuna idadi nje ya mbele, kama ilivyo katika 100 × 100,000, basi unaongeza tu maonyesho (katika maelezo yetu, 10 ² × 10 ⁵ = 10 ⁷). Wakati kuna idadi nje ya mbele, unapaswa kuzidisha, lakini ni rahisi sana kukabiliana na idadi na zero nyingi ndani yao.

Hapa ni mfano:

\[\left( 3 \times 10^5 \right) \times \left( 2 \times 10^9 \right) = 6 \times 10^{14} \nonumber\]

Na hapa ni mfano mwingine:

\[ \begin{aligned} 0.04 \times 6,000,000 & =\left( 4 \times 10^{−2} \right) \times \left( 6 \times 10^6 \right) \\ & = 24×10^4 \\ & = 2.4×10^5 \end{aligned} \nonumber\]

Kumbuka katika mfano wa pili kwamba wakati sisi aliongeza exponents, sisi kutibiwa exponents hasi kama sisi kufanya katika hesabu ya kawaida (-2 plus 6 sawa 4). Pia, angalia kwamba matokeo yetu ya kwanza yalikuwa na 24 ndani yake, ambayo haikuwa katika fomu inayokubalika, kuwa na sehemu mbili upande wa kushoto wa hatua ya decimal, na kwa hiyo tulibadilisha kuwa 2.4 na tukabadilisha kipaji ipasavyo.

Ili kugawanya, unagawanya namba nje mbele na uondoe wafuasi. Hapa kuna mifano kadhaa:

\[ \begin{array}{l} \frac{1,000,000}{1000} = \frac{10^6}{10^3} = 10^{(6-3)} = 10^3 \\ \frac{9 \times 10^{12}}{2 \times 10^3} = 4.5 \times 10^9 \\ \frac{2.8 \times 10^2}{6.2 \times 10^5} =4.52 \times 10^{−4} \end{array} \nonumber\]

Katika mfano wa mwisho, matokeo yetu ya kwanza hayakuwa katika fomu ya kawaida, kwa hiyo tulipaswa kubadili 0.452 hadi 4.52, na kubadili kipaji ipasavyo.

Ikiwa hii ni mara ya kwanza kuwa umekutana na nukuu ya kisayansi, tunakuhimiza kufanya mazoezi mengi kwa kutumia. Unaweza kuanza kwa kutatua mazoezi hapa chini. Kama lugha yoyote mpya, nukuu inaonekana ngumu kwa mara ya kwanza lakini inakuwa rahisi kama unavyofanya.

Mazoezi

1. Mwishoni mwa Septemba, 2015, chombo cha anga cha New Horizons (kilichokutana na Pluto kwa mara ya kwanza mwezi Julai 2015) kilikuwa kilomita bilioni 4.898 kutoka duniani. Badilisha nambari hii kwa notation ya kisayansi. Je, ni vitengo ngapi vya angani ni hii? (Kitengo cha astronomia ni umbali kutoka Dunia hadi Jua, au takriban kilomita milioni 150.)
2. Katika miaka sita ya kwanza ya uendeshaji wake, Telescope ya Hubble Space ilizunguka Dunia mara 37,000, kwa jumla ya kilomita 1,280,000,000. Tumia nukuu ya kisayansi ili kupata idadi ya km katika obiti moja.
3. Katika mkahawa mkubwa wa chuo kikuu, Burger ya mboga ya soya hutolewa kama mbadala kwa hamburgers ya kawaida. Kama 889,875 burgers walikuwa kuliwa wakati wa kozi ya mwaka wa shule, na 997 wao walikuwa veggie-burgers, ni sehemu gani na ni asilimia gani ya burgers gani hii inawakilisha?
4. Katika uchaguzi wa Kelton Utafiti wa mwaka 2012, asilimia 36 ya Wamarekani wazima walidhani kuwa viumbe wa kigeni wametua duniani. Idadi ya watu wazima nchini Marekani mwaka 2012 ilikuwa takriban 222,000,000. Tumia nukuu ya kisayansi ili kuamua jinsi watu wazima wengi wanaamini wageni wametembelea Dunia.
5. Katika mwaka wa shule 2009—2010, vyuo vikuu na vyuo vikuu vya Marekani vilitoa digrii 2,354,678. Miongoni mwa hizi zilikuwa digrii za PhD 48,069. Ni sehemu gani ya digrii zilikuwa za PHD? Eleza nambari hii kama asilimia. (Sasa kwenda na kupata kazi kwa PhD wale wote!)
6. Nyota umbali wa miaka 60 ya nuru imepatikana kuwa na sayari kubwa inayoizunguka. Mjomba wako anataka kujua umbali wa sayari hii katika maili zamani-fashioned. Fikiria safari za mwanga maili 186,000 kwa sekunde, na kuna sekunde 60 kwa dakika, dakika 60 kwa saa, masaa 24 kwa siku, na siku 365 kwa mwaka. Nyota hiyo ni umbali wa maili ngapi?

Majibu

1. Bilioni 4.898 ni 4.898 × 10 ⁹ km. Kitengo kimoja cha astronomia (AU) ni kilomita milioni 150 = 1.5 × 10 km ⁸. Kugawanya namba ya kwanza kwa pili, tunapata 3.27 × 10 ^{(9 - 8)} = 3.27 × 10 ¹ AU.
2. \(\frac{1.28 \times 10^9 \text{ km}}{3.7 \times 10^4 \text{ orbits}} = 0.346 \times 10^{(9−4)} = 0.346 \times 10^5 = 3.46 \times 10^4 \text{ km per orbit}\).
3. \(\frac{9.97 \times 10^2 \text{ veggie burgers}}{8.90 \times 10^5 \text{ total burgers}} = 1.12 \times 10^{(2−5)} = 1.12 \times 10^{(2−5)} = 1.12 \times 10^{−3}\)(au takribani juu ya elfu moja) ya burgers walikuwa mboga. Asilimia ina maana kwa mia moja. Hivyo\(\frac{1.12 \times 10^{−3}}{10^{−2}} = 1.12 \times 10^{(−3−(−2))} = 1.12 \times 10^{−1} \text{ percent}\) (ambayo ni takribani moja ya kumi ya asilimia moja).
4. 36% ni hundredths 36 au 0.36 au 3.6 × ^{10 -1}. Kuzidisha kuwa kwa 2.22 × 10 ⁸ na unapata kuhusu 7.99 × 10 ^{(-1 + 8)} = 7.99 × 10 ⁷ au karibu watu milioni 80 ambao wanaamini kuwa wageni wamepanda kwenye sayari yetu. Tunahitaji kozi zaidi za astronomia ili kuwaelimisha watu hao wote.
5. \(\frac{4.81 \times 10^4}{2.35 \times 10^6} = 2.05 \times 10^{(4−6)} = 2.05 \times 10^{−2} = \text{ about} 2 \%\). (Kumbuka kuwa katika mifano hii sisi ni rounding mbali baadhi ya idadi ili hatuna zaidi ya 2 maeneo baada ya uhakika decimal.)
6. Mwaka mmoja wa nuru ni umbali ambao nuru husafiri kwa mwaka mmoja. (Kwa kawaida, tunatumia vitengo vya metri na sio mfumo wa zamani wa Uingereza ambao Marekani bado unatumia, lakini tunakwenda ucheshi mjomba wako na fimbo na maili.) Kama mwanga husafiri maili 186,000 kila sekunde, basi itakuwa kusafiri mara 60 kwamba katika dakika, na mara 60 kwamba katika saa, na mara 24 kwamba katika siku, na mara 365 kwamba katika mwaka. Kwa hiyo tuna 1.86 × 10 ⁵ × 6.0 × 10 ¹ × 6.0 × 10 ¹ × 2.4 × 10 ¹ × 3.65 × 10 ². Hivyo sisi kuzidisha idadi yote nje mbele pamoja na kuongeza exponents wote. Tunapata 586.57 × 10 ¹⁰ = 5.86 × 10 maili ¹² katika mwaka wa mwanga (ambayo ni takribani maili trilioni 6 - heck ya maili mengi). Hivyo kama nyota iko mbali na miaka ya nuru 60, umbali wake katika maili ni 6 × 10 ¹ × 5.86 × 10 ¹² = 35.16 × 10 ¹³ = 3.516 × 10 maili ¹⁴.