18.13: Gravitation

Last updated
Save as PDF

Page ID: 176781

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Angalia Uelewa Wako

13.1. Nguvu ya mvuto juu ya kila kitu huongezeka kwa mraba wa umbali wa inverse wanapoanguka pamoja, na hivyo kuongeza kasi. Kwa mfano, ikiwa umbali umepungua nusu, nguvu na kuongeza kasi ni mara nne. Wastani wetu ni sahihi tu kwa kuongeza kasi linearly, wakati kuongeza kasi kwa kweli kuongezeka kwa kiwango kikubwa. Hivyo kasi yetu ya mahesabu ni ndogo mno. Kutoka sheria ya tatu ya Newton (majeshi ya majibu), nguvu ya mvuto kati ya vitu viwili lazima iwe sawa. Lakini kasi haitakuwa kama wana raia tofauti.

13.2. Majengo marefu zaidi duniani ni chini ya kilomita 1. Kwa kuwa g ni sawia na umbali wa mraba kutoka katikati ya Dunia, uwiano rahisi unaonyesha kuwa mabadiliko katika g kwenye kilomita 1 juu ya uso wa Dunia ni chini ya 0.0001%. Hakutakuwa na haja ya kuzingatia hili katika kubuni miundo.

13.3. Thamani ya g hupungua kwa asilimia 10 juu ya mabadiliko haya kwa urefu. Hivyo$\Delta$ U = mg (y ₂ ÷ y ₁) itatoa thamani kubwa mno. Ikiwa tunatumia g = 9.80 m/s, basi tunapata$\Delta$ U = mg (y ₂ _{÷ y 1}) = 3.53 x 10 ¹⁰ J ambayo ni juu ya 6% kubwa kuliko ile iliyopatikana kwa njia sahihi.

13.4. Probe lazima kushinda wote kuvuta mvuto wa Dunia na Jua. Katika hesabu ya pili ya mfano wetu, tuligundua kasi inayohitajika ili kuepuka Jua kutoka umbali wa obiti ya Dunia, si kutoka Dunia yenyewe. Njia sahihi ya kupata thamani hii ni kuanza na equation nishati, Equation 13.3.2, ambayo ingekuwa ni pamoja na uwezo wa nishati mrefu kwa wote Dunia na Sun.

13.5. Unabadilisha mwelekeo wa kasi yako kwa nguvu ambayo ni perpendicular kwa kasi wakati wote. Kwa kweli, lazima uendelee kurekebisha vifungo, uunda nguvu ya centripetal mpaka mabadiliko yako ya kasi kutoka kwa tangential hadi radial. Mchoro rahisi wa vector unaonyesha kwamba mabadiliko ya wavu katika kasi ni mara 2 ukubwa wa kasi yenyewe. Hii inageuka kuwa njia isiyofaa sana ya kufikia Mars. Tunazungumzia njia bora zaidi katika Sheria za Kepler za Mwendo wa Sayari.

13.6. Katika Equation 13.7, radius inaonekana katika denominator ndani ya mizizi ya mraba. Hivyo radius lazima iongeze kwa sababu ya 4, ili kupunguza kasi ya orbital kwa sababu ya 2. Mzunguko wa obiti pia umeongezeka kwa sababu hii ya 4, na hivyo kwa nusu ya kasi ya orbital, kipindi lazima iwe mara 8 tena. Hiyo pia inaweza kuonekana moja kwa moja kutoka Equation 13.4.1.

13.7. Dhana ni kwamba kitu kinachozunguka ni kidogo sana kuliko mwili unaozunguka. Hii sio haki katika kesi ya Mwezi na Dunia. Wote Dunia na mzunguko wa Mwezi kuhusu kituo chao cha kawaida cha wingi. Tunashughulikia suala hili katika mfano unaofuata.

13.8. Nyota zilizo ndani ya “ndani” ya kila galaxy zitakuwa karibu na galaxi nyingine na hivyo zitasikia nguvu kubwa ya mvuto kuliko zile zilizo nje. Kwa hiyo, watakuwa na kasi kubwa zaidi. Hata bila tofauti hii ya nguvu, nyota za ndani zingekuwa zikizunguka kwenye radius ndogo, na kwa hiyo, kutakuwa na upanuzi au kuenea kwa kila galaxi. Tofauti ya nguvu huongeza tu athari hii.

13.9. Mhimili wa nusu-kuu kwa obiti yenye elliptical ya kimondo cha Halley ni 17.8 AU na ni wastani wa perihelion na aphelion. Hii ipo kati ya 9.5 AU na 19 AU orbital radii kwa Saturn na Uranus, kwa mtiririko huo. Radius kwa obiti ya mviringo ni sawa na mhimili wa nusu-kuu, na tangu kipindi kinaongezeka kwa ongezeko la mhimili wa nusu-kuu, ukweli kwamba kipindi cha Halley ni kati ya vipindi vya Saturn na Uranus unatarajiwa.

13.10. Fikiria equation ya mwisho hapo juu. Maadili ya r ₁ na r ₂ hubakia karibu sawa, lakini kipenyo cha Mwezi, (r ₂ - r ₁), ni moja ya nne ile ya Dunia. Hivyo vikosi vya mawimbi juu ya Mwezi ni takriban moja ya nne kama kubwa kama duniani.

13.11. Kutokana na wiani wa ajabu unaotakiwa kulazimisha mwili wa ukubwa wa Dunia kuwa shimo nyeusi, hatutarajii kuona mashimo madogo kama hayo. Hata mwili ulio na masi ya Jua letu ingekuwa imesisitizwa na kipengele cha 80 zaidi ya ile ya nyota ya neutroni. Inaaminika ya kwamba nyota za ukubwa huu haziwezi kuwa mashimo meusi. Hata hivyo, kwa nyota zilizo na wingi wa jua chache, inaaminika kuwa kuanguka kwa mvuto mwishoni mwa maisha ya nyota kunaweza kutengeneza shimo jeusi. Kama tutakavyojadili baadaye, sasa inaaminika kuwa mashimo meusi ni ya kawaida katikati ya galaxi. Mashimo haya meusi ya galaksi huwa na wingi wa nyota nyingi za mamilioni.

Maswali ya dhana

1. Ukweli wa mwisho ni ukaguzi wa majaribio. Nadharia ya shamba ilianzishwa ili kusaidia kueleza jinsi nguvu inavyojitokeza bila vitu vinavyowasiliana kwa nguvu zote mbili za mvuto na sumakuumeme zinazofanya kwa kasi ya nuru. Imekuwa tu tangu karne ya ishirini kwamba tumeweza kupima kwamba nguvu haijawasilishwa mara moja.

3. Kasi ya centripetal haielekezwi pamoja na nguvu ya mvuto na kwa hiyo mstari sahihi wa jengo (yaani, mstari wa bob) hauelekezwi kuelekea katikati ya Dunia. Lakini wahandisi hutumia ama bob au transit, yote ambayo hujibu mwelekeo wa mvuto na kuongeza kasi. Hakuna kuzingatia maalum kwa eneo lao duniani linalohitajika kufanywa.

5. Tunapohamia kwenye njia kubwa, mabadiliko katika nishati ya uwezo huongezeka, wakati kasi ya orbital inapungua. Kwa hiyo, uwiano ni wa juu zaidi karibu na uso wa Dunia (kitaalam usio na mwisho ikiwa tunazunguka kwenye uso wa Dunia bila mabadiliko ya mwinuko), kuhamia sifuri tunapofikia mbali sana.

7. Kipindi cha obiti lazima iwe masaa 24. Lakini kwa kuongeza, satellite inapaswa kuwa iko katika obiti ya ikweta na inazunguka katika mwelekeo sawa na mzunguko wa Dunia. Vigezo vyote vitatu vinapaswa kutimizwa kwa satellite kubaki katika nafasi moja kuhusiana na uso wa dunia. Angalau satelaiti tatu zinahitajika, kwani mbili kwenye pande tofauti za Dunia haziwezi kuwasiliana. (Hii si kitaalam kweli, kama wavelength inaweza kuchaguliwa ambayo inatoa diffraction kutosha. Lakini itakuwa haiwezekani kabisa.)

9. Kasi ni kubwa zaidi ambapo satellite iko karibu zaidi na wingi mkubwa na angalau ambapo mbali-katika periapsis na apoapsis, kwa mtiririko huo. Ni uhifadhi wa kasi ya angular ambayo inasimamia uhusiano huu. Lakini pia inaweza kupatikana kutokana na uhifadhi wa nishati, nishati ya kinetic lazima iwe kubwa zaidi ambapo nishati ya uwezo wa mvuto ni mdogo (hasi zaidi). Nguvu, na hivyo kuongeza kasi, daima inaelekezwa kuelekea M katika mchoro, na kasi daima ni tangent kwa njia wakati wote. Vector ya kuongeza kasi ina sehemu ya tangential kando ya mwelekeo wa kasi kwenye eneo la juu kwenye mhimili wa y; kwa hiyo, satellite inaharakisha. Kinyume chake ni kweli katika nafasi ya chini.

11. Boriti ya laser itapiga ukuta wa mbali kwenye mwinuko wa chini kuliko kushoto, kama sakafu inaharakisha juu. Kuhusiana na maabara, boriti ya laser “huanguka.” Hivyo tunaweza kutarajia hili kutokea katika uwanja wa mvuto. Uzito wa mwanga, au hata kitu kilicho na wingi, sio muhimu.

Matatizo

13. 7.4 x 10 ^—8 N

15. a. 7.01 x 10 ^-7 N

b Uzito wa Jupiter ni m _J = 1.90 x 10 ²⁷ kg, F _J = 1.35 x 10 ^-6 N,$\frac{F_{f}}{F_{J}}$ = 0.521

17. a. 9.25 x 10 ^-6 N

b Sio sana, kama ISS haipatikani hata, chini ya spherically symmetrical.

19. a. 1.41 x 10 ^-15 m/s ²

b. 1.69 x 10 ^{-4 m/s} ²

21. a. 1.62 m/s ²

b. 3.75 m/s ²

23. a. 147 N

b. 25.5 N

c. 15 kg

d. 0

e. 15 kilo

25. 12 m/s ²

27. $\frac{3}{2}$R _E

29. 5000 m/s

31. 1440 m/s

33. 11 km/s

35. a. 5.85 x 10 ¹⁰ J

b. -5.85 x 10 ¹⁰ J; Hapana. Inachukua nishati ya kinetic inarejeshwa. Hii ingekuwa hata busara kama tulikuwa na lifti kati ya Dunia na Mwezi.

37. a. 0.25

b. 0.125

39. a. 5.08 x 10 ³ km

b Hii chini ya radius ya Dunia.

41. 1.89 x 10 kilo ²⁷

43. a. 4.01 x 10 kilo ¹³

b. satellite lazima iwe nje ya radius ya asteroid, hivyo haiwezi kuwa kubwa kuliko hii. Ikiwa ilikuwa ukubwa huu, basi wiani wake utakuwa karibu 1200 kg/m ³. Hii ni juu ya ile ya maji, hivyo hii inaonekana kuwa nzuri sana.

45. a. 1.66 x 10 ^-10 m/s ²; Ndiyo, kasi ya centripetal ni ndogo sana inasaidia ugomvi kwamba sura ya karibu ya inertial ya kumbukumbu inaweza kupatikana kwenye Jua. b. 2.17 x 10 ⁵ m/s

47. 1.98 x 10 kilo ³⁰; Maadili ni sawa ndani ya 0.05%.

49. Linganisha Equation 13.7 na Equation 13.5.5 kuona kwamba wao ni tofauti tu kwa kuwa radius mviringo, r, ni kubadilishwa na mhimili nusu-kuu, a Kwa hiyo, radius maana ni nusu jumla ya aphelion na perihelion, sawa na mhimili nusu kuu.

51. Mhimili wa nusu-kuu, 3.78 AU hupatikana kutoka kwa equation kwa kipindi hicho. Hii ni nusu ya jumla ya aphelion na perihelion, kutoa umbali wa aphelion wa 4.95 AU.

53. Miaka ya 1.75

55. 19,800 N; hii ni wazi si survivable

57. 1.19 x 10 ⁷ km

Matatizo ya ziada

59. a. 1.85 x 10 ¹⁴ N

b Usifanye hivyo!

61. 1.49 x 10 ⁸ km

63. Thamani ya g kwa sayari hii ni 2.4 m/s ², ambayo ni karibu moja ya nne ile ya Dunia. Kwa hiyo wao ni jumpers dhaifu.

65. Katika Ncha ya Kaskazini, 983 N; katika ikweta, 980 N

67. a. kasi ya kutoroka bado ni 43.6 km/s.Kwa uzinduzi kutoka Dunia kwa uongozi wa kasi ya tangential ya Dunia, unahitaji 43.4 - 29.8 = 13.8 km/s kuhusiana na Dunia.

b Nishati ya jumla ni sifuri na trajectory ni parabola.

69. 44.9 km/s

71. a. 1.3 x 10 ⁷ m

b. 1.56 x ¹⁰ J; -3.12 x ¹⁰ J; -1.56 x ¹⁰ J

73. a. 6.24 x 10 ³ s au kuhusu masaa 1.7. Hii ilikuwa inatumia kipenyo cha wastani cha kilomita 520.

b Vesta ni wazi si spherical sana, hivyo ungependa haja ya kuwa juu ya mwelekeo mkubwa, karibu 580 km. Muhimu zaidi, asili isiyo ya kawaida ingeweza kuvuruga obiti haraka sana, hivyo hesabu hii haitakuwa sahihi sana hata kwa obiti moja.

75. a. 323 km/s

b Hapana, unahitaji tu tofauti kati ya kasi ya orbital ya mfumo wa jua na kasi ya kutoroka, hivyo kuhusu 323 ÷ 228 = 95 km/s.

77. Kuweka e = 1, tuna$\frac{\alpha}{r}$ = 1 + cos$\theta$ →$\alpha$ = r + rcos$\theta$ = r + x; hivyo, r ² = x ² + y ² = ($\alpha$∙ x) ². Panua na kukusanya ili kuonyesha x =$\frac{1}{−2 \alpha}$ y ² +$\frac{\alpha}{2}$.

79. Mbadala moja kwa moja kwenye nishati equation kutumia pv _p = qv _q kutoka uhifadhi wa kasi angular, na kutatua kwa v _p.

Changamoto Matatizo

81. g =$\frac{4}{3}$ G$\rho \pi$ r → F = mg = [$\frac{4}{3}$Gm$\rho \pi$] r, na kutoka F = m$\frac{d^{2} r}{dt^{2}}$, tunapata$\frac{d^{2} r}{dt^{2}}$ = [$\frac{4}{3}$G$\rho \pi$] r ambapo muda wa kwanza ni$\omega^{2}$. Kisha T =$\frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4G \rho \pi}}$ na kama sisi mbadala$\rho$ =$\frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^{3}}$, tunapata kujieleza sawa na kwa kipindi cha obiti R.

83. Kutumia wingi wa radius ya jua na Dunia ya orbital, equation inatoa 2.24 x 10 ¹⁵ m ² /s. thamani ya$\frac{\pi R_{ES}^{2}}{1\; year}$ inatoa thamani sawa.

85. $\Delta$U = U _f - U _i = -$\frac{GM_{E} m}{r_{f}} + \frac{GM_{E} m}{r_{i}}$ = GM _E m$\left(\dfrac{r_{f} − r_{i}}{r_{f} r_{i}}\right)$ ambapo h = r _f - r _i. Ikiwa h <<<R _E, basi r _f r _i ≈ R _E ², na juu ya kubadilisha, tuna$\Delta$ U = GM _E m$\left(\dfrac{h}{R_{E}^{2}}\right)$ = mh$\left(\dfrac{GM_{E}}{R_{E}^{2}}\right)$ ambapo tunatambua maneno na mabano kama ufafanuzi wa g.

87. a. kupata tofauti katika nguvu, $$F_ {mawimbi} =\ frac {2gmm} {R^ {3}}\ Delta r;\]

b Kwa kesi iliyotolewa, kwa kutumia radius Schwarzschild kutoka tatizo la awali, tuna nguvu ya ^{mawimbi ya 9.5 x 10 -3} N.

Wachangiaji na Majina

Template:ContribOpenStaxUni