22.2: Matemática essencial

Aritmética exponencial

A notação exponencial é usada para expressar números muito grandes e muito pequenos como um produto de dois números. O primeiro número do produto, o termo do dígito, geralmente é um número não inferior a 1 e não igual ou maior que 10. O segundo número do produto, o termo exponencial, é escrito como 10 com um expoente. Alguns exemplos de notação exponencial são:

$$\begin{array}{ccc}\hfill 1000& =& 1\times {10}^3\hfill \\ \hfill 100& =& 1\times {10}^2\hfill \\ \hfill 10& =& 1\times {10}^1\hfill \\ \hfill 1& =& 1\times {10}^0\hfill \\ \hfill 0.1& =& 1\times {10}^{\mathrm{-1}}\hfill \\ \hfill \mathrm{0,001}& =& 1\times {10}^{\mathrm{-3}}\hfill \\ \hfill 2386& =& 2.386\times 1000=2.386\times {10}^3\hfill \\ \hfill \mathrm{0,123}& =& \mathrm{1,23}\times 0.1=\mathrm{1,23}\times {10}^{\mathrm{-1}}\hfill \end{array}$$

A potência (expoente) de 10 é igual ao número de casas em que o decimal é deslocado para dar o número do dígito. O método exponencial é uma notação particularmente útil para números muito grandes e muito pequenos. Por exemplo, 1.230.000.000 = 1,23$\times$10 ⁹ e 0,000000036 = 3,6$\times$10 ⁻¹⁰.

Adição de exponenciais

Converta todos os números com a mesma potência de 10, adicione os termos dos dígitos e, se apropriado, converta o termo do dígito novamente em um número entre 1 e 10 ajustando o termo exponencial.

Exemplo B1

Adicionando exponenciais

Adicionar 5,00$\times$10 ⁻⁵ e 3,00$\times$10 ⁻³.

Solução

$$\begin{array}{ccc}\hfill \mathrm{3,00}\times {10}^{\mathrm{-3}}& =& 300\times {10}^{\mathrm{-5}}\hfill \\ \hfill (\mathrm{5,00}\times {10}^{\mathrm{-5}})+(300\times {10}^{\mathrm{-5}})& =& 305\times {10}^{\mathrm{-5}}=\mathrm{3,05}\times {10}^{\mathrm{-3}}\hfill \end{array}$$

Subtração de exponenciais

Converta todos os números na mesma potência de 10, calcule a diferença dos termos dos dígitos e, se apropriado, converta o termo do dígito novamente em um número entre 1 e 10 ajustando o termo exponencial.

Exemplo B2

Subtração de exponenciais

Subtraia 4.0$\times$10 ⁻⁷ de 5,0$\times$10 ⁻⁶.

Solução

$$\begin{array}{}\\ \mathrm{4,0}\times {10}^{\mathrm{-7}}=\mathrm{0,40}\times {10}^{\mathrm{-6}}\\ (\mathrm{5,0}\times {10}^{\mathrm{-6}})-(\mathrm{0,40}\times {10}^{\mathrm{-6}})=4.6\times {10}^{\mathrm{-6}}\end{array}$$

Multiplicação de exponenciais

Multiplique os termos dos dígitos da maneira usual e adicione os expoentes dos termos exponenciais.

Exemplo B3

Multiplicação de exponenciais

Multiplique 4,2$\times$10 ⁻⁸ por 2,0$\times$10 ³.

Solução

$$(4.2\times {10}^{\mathrm{-8}})\times (2.0\times {10}^3)=(4.2\times 2.0)\times {10}^{(\mathrm{-8})+(\mathrm{+3})}=8.4\times {10}^{\mathrm{-5}}$$

Divisão de exponenciais

Divida o termo do dígito do numerador pelo termo do dígito do denominador e subtraia os expoentes dos termos exponenciais.

Exemplo B4

Dividindo exponenciais

Divida 3.6$\times$10 ^—5 por 6,0$\times$10 ⁻⁴.

Solução

$$\frac{3.6\times {10}^{\mathrm{-5}}}{6.0\times {10}^{\mathrm{-4}}}=\left(\frac{3.6}{6.0}\right)\times {10}^{(\mathrm{-5})-(\mathrm{-4})}=\mathrm{0,60}\times {10}^{\mathrm{-1}}=6.0\times {10}^{\mathrm{-2}}$$

Quadratura dos exponenciais

Faça o quadrado do termo do dígito da maneira usual e multiplique o expoente do termo exponencial por 2.

Exemplo B5

Quadrando exponenciais

Quadrar o número 4,0$\times$10 ⁻⁶.

Solução

$${(\mathrm{4,0}\times {10}^{\mathrm{-6}})}^2=4\times 4\times {10}^{2\times (\mathrm{-6})}=16\times {10}^{\mathrm{-12}}=1.6\times {10}^{\mathrm{-11}}$$

Cubagem de exponenciais

Cube o termo do dígito da maneira usual e multiplique o expoente do termo exponencial por 3.

Exemplo B6

Cubando exponenciais

Cube o número 2$\times$10 ⁴.

Solução

$${(2\times {10}^4)}^3=2\times 2\times 2\times {10}^{3\times 4}=8\times {10}^{12}$$

Obtendo raízes quadradas de exponenciais

Se necessário, diminua ou aumente o termo exponencial para que a potência de 10 seja uniformemente divisível por 2. Extraia a raiz quadrada do termo do dígito e divida o termo exponencial por 2.

Exemplo B7

Encontrando a raiz quadrada dos exponenciais

Encontre a raiz quadrada de 1,6$\times$10 ⁻⁷.

Solução

$$\begin{array}{ccc}\hfill 1.6\times {10}^{\mathrm{-7}}& =& 16\times {10}^{\mathrm{-8}}\hfill \\ \hfill \sqrt{16\times {10}^{\mathrm{-8}}}=\sqrt{16}\times \sqrt{{10}^{\mathrm{-8}}}& =\hfill & \sqrt{16}\times {10}^{-\frac{8}{2}}=\mathrm{4,0}\times {10}^{\mathrm{-4}}\hfill \end{array}$$

Números significativos

Um apicultor relata que ele tem 525.341 abelhas. Os últimos três números do número são obviamente imprecisos, pois durante o tempo em que o guardião estava contando as abelhas, algumas delas morreram e outras eclodiram; isso torna muito difícil determinar o número exato de abelhas. Teria sido mais razoável se o apicultor tivesse relatado o número 525.000. Em outras palavras, os últimos três números não são significativos, exceto para definir a posição do ponto decimal. Seus valores exatos não têm significado útil nessa situação. Ao relatar quantidades, use apenas tantos números significativos quanto a precisão da medição garantir.

A importância de números significativos está em sua aplicação à computação fundamental. Além da adição e subtração, a soma ou diferença deve conter tantos dígitos à direita do decimal quanto os do menor número usado no cálculo (indicado por sublinhado no exemplo a seguir).

Exemplo B8

Adição e subtração com números significativos

Adicione 4,383 g e 0,0023 g.

Solução

$$\frac{\begin{array}{l}\\ \mathrm{4,38}\underset{\_}{3}\text{g}\\ \mathrm{0,002}\underset{\_}{3}\text{g}\end{array}}{\mathrm{4,38}\underset{\_}{5}\text{g}}$$

Na multiplicação e divisão, o produto ou quociente não deve conter mais dígitos do que o fator que contém o menor número de números significativos.

Exemplo B9

Multiplicação e divisão com números significativos

Multiplique 0,6238 por 6,6.

Solução

$$\mathrm{0,623}\underset{\_}{8}\times 6.\underset{\_}{6}=4.\underset{\_}{1}$$

Ao arredondar números, aumente o dígito retido em 1 se ele for seguido por um número maior que 5 (“arredondar para cima”). Não altere o dígito retido se os dígitos seguintes forem menores que 5 (“arredondar para baixo”). Se o dígito retido for seguido por 5, arredonde para cima se o dígito retido for ímpar ou para baixo se for par (após o arredondamento, o dígito retido sempre será par).

O uso de logaritmos e números exponenciais

O logaritmo comum de um número (log) é a potência à qual 10 deve ser aumentado para igualar esse número. Por exemplo, o logaritmo comum de 100 é 2, porque 10 deve ser elevado à segunda potência para ser igual a 100. Veja a seguir exemplos adicionais.

Logaritmos e números exponenciais

Número	Número expresso exponencialmente	Logaritmo comum
1000	10 ^3	3
10	10 ^1	1
1	10 ^0	0
0.1	10 ^−1	−1
0,001	10 ^−3	−3

Tabela B1

Qual é o logaritmo comum de 60? Como 60 está entre 10 e 100, que têm logaritmos de 1 e 2, respectivamente, o logaritmo de 60 é 1,7782; ou seja,

$$\text{60}={\text{10}}^{\text{1}\text{.7782}}$$

O logaritmo comum de um número menor que 1 tem um valor negativo. O logaritmo de 0,03918 é −1,4069, ou

$$\mathrm{0,03918}={10}^{-1.4069}=\frac{1}{{10}^{1.4069}}$$

Para obter o logaritmo comum de um número, use o botão de registro na sua calculadora. Para calcular um número a partir de seu logaritmo, pegue o log inverso do logaritmo ou calcule 10 ^x (onde x é o logaritmo do número).

O logaritmo natural de um número (ln) é a potência à qual e deve ser elevado para igualar o número; e é a constante 2,7182818. Por exemplo, o logaritmo natural de 10 é 2,303; ou seja,

$$\text{10}=e^{\text{2}\text{.303}}=\text{2}{\text{.7182818}}^{\text{2}\text{.303}}$$

Para obter o logaritmo natural de um número, use o botão ln na sua calculadora. Para calcular um número a partir de seu logaritmo natural, insira o logaritmo natural e pegue o inverso ln do logaritmo natural ou calcule e ^x (onde x é o logaritmo natural do número).

Os logaritmos são expoentes; portanto, as operações que envolvem logaritmos seguem as mesmas regras das operações que envolvem expoentes.

1. O logaritmo de um produto de dois números é a soma dos logaritmos dos dois números.
   $$\text{tora}xy=\text{tora}x+\text{tora}y,\text{e ln}xy=\text{ln}x+\text{ln}y$$
2. O logaritmo do número resultante da divisão de dois números é a diferença entre os logaritmos dos dois números.
   $$\text{tora}\frac{x}{y}=\text{tora}x-\text{tora}y,\text{e ln}\frac{x}{y}=\text{ln}x-\text{ln}y$$
3. O logaritmo de um número elevado a um expoente é o produto do expoente e o logaritmo do número.
   $$\text{tora}{x}^n=n\text{tora}x\text{e ln}{x}^n=n\text{ln}x$$

A solução de equações quadráticas

As funções matemáticas dessa forma são conhecidas como polinômios de segunda ordem ou, mais comumente, funções quadráticas.

$$\mathrm{uma}{x}^{\text{2}}+bx+c=\text{0}$$

A solução ou raízes de qualquer equação quadrática podem ser calculadas usando a seguinte fórmula:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{\text{2}}-\text{4}\mathrm{uma}c}}{\text{2}\mathrm{uma}}$$

Exemplo B10

Resolvendo equações quadráticas

Resolva a equação quadrática 3 x ² + 13 x − 10 = 0.

Solução

Substituindo os valores a = 3, b = 13, c = −10 na fórmula, obtemos

$$x=\frac{-13\pm \sqrt{{(13)}^2-4\times 3\times (\mathrm{-10})}}{2\times 3}$$

$$x=\frac{-13\pm \sqrt{169+120}}{6}=\frac{-13\pm \sqrt{289}}{6}=\frac{-13\pm 17}{6}$$

As duas raízes são, portanto,

$$x=\frac{-13+17}{6}=\frac{2}{3}\text{e}x=\frac{-13-17}{6}=\mathrm{-5}$$

As equações quadráticas construídas em dados físicos sempre têm raízes reais e, dessas raízes reais, geralmente apenas aquelas com valores positivos têm alguma importância.

Gráficos bidimensionais (x - y)

A relação entre quaisquer duas propriedades de um sistema pode ser representada graficamente por um gráfico de dados bidimensional. Esse gráfico tem dois eixos: um horizontal correspondente à variável independente, ou a variável cujo valor está sendo controlado (x), e um eixo vertical correspondente à variável dependente, ou a variável cujo valor está sendo observado ou medido (y).

Quando o valor de y está mudando em função de x (ou seja, valores diferentes de x correspondem a diferentes valores de y), um gráfico dessa mudança pode ser plotado ou esboçado. O gráfico pode ser produzido usando valores específicos para pares de dados (x, y).

Exemplo B11

Representando graficamente a dependência de y em x

x	y
1	5
2	10
3	7
4	14

Esta tabela contém os seguintes pontos: (1,5), (2,10), (3,7) e (4,14). Cada um desses pontos pode ser plotado em um gráfico e conectado para produzir uma representação gráfica da dependência de y em x.

Se a função que descreve a dependência de y em x for conhecida, ela poderá ser usada para calcular pares de dados x, y que podem ser plotados posteriormente.

Exemplo B12

Plotagem de pares de dados

Se soubermos que y = x ² + 2, podemos produzir uma tabela de alguns valores (x, y) e, em seguida, traçar a linha com base nos dados mostrados aqui.

x	y = x ^2 + 2
1	3
2	6
3	11
4	18