1.7: Tratamento matemático dos resultados de medição

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

• Explicar a abordagem de análise dimensional (rótulo fatorial) para cálculos matemáticos envolvendo quantidades
• Use a análise dimensional para realizar conversões de unidades para uma determinada propriedade e cálculos envolvendo duas ou mais propriedades

Geralmente, uma quantidade de juros pode não ser fácil (ou mesmo possível) de medir diretamente, mas deve ser calculada a partir de outras propriedades medidas diretamente e relações matemáticas apropriadas. Por exemplo, considere medir a velocidade média de um atleta correndo sprints. Isso normalmente é feito medindo o tempo necessário para o atleta correr da linha de partida até a linha de chegada e a distância entre essas duas linhas e, em seguida, computando a velocidade a partir da equação que relaciona essas três propriedades:

$$\text{rapidez}=\frac{\text{distância}}{\text{horas}}$$

Um velocista com qualidade olímpica pode correr 100 m em aproximadamente 10 s, correspondendo a uma velocidade média de

$$\frac{\text{100 m}}{\text{10 s}}=\text{10 m/s}$$

(Para este e o próximo cálculo, suponha que os zeros finais sejam dígitos significativos.) Observe que essa aritmética simples envolve dividir os números de cada quantidade medida para produzir o número da quantidade calculada (100/10 = 10) e, da mesma forma, dividir as unidades de cada quantidade medida para produzir a unidade da quantidade calculada (m/s = m/s). Agora, considere usar essa mesma relação para prever o tempo necessário para uma pessoa correndo nessa velocidade percorrer uma distância de 25 m. A mesma relação entre as três propriedades é usada, mas neste caso, as duas quantidades fornecidas são uma velocidade (10 m/s) e uma distância (25 m). Para produzir a propriedade procurada, tempo, a equação deve ser reorganizada de forma adequada:

$$\text{horas}=\frac{\text{distância}}{\text{rapidez}}$$

O tempo pode então ser calculado da seguinte forma:

$$\frac{\text{25 mm}}{\text{10 m/s}}=\text{2,5 s}$$

Novamente, a aritmética dos números (25/10 = 2,5) foi acompanhada pela mesma aritmética nas unidades (m/ (m/s) = s) para produzir o número e a unidade do resultado, 2,5 s. Observe que, assim como para os números, quando uma unidade é dividida por uma unidade idêntica (neste caso, m/m), o resultado é “1” — ou, como comumente formulado, as unidades “cancelar”.

Esses cálculos são exemplos de uma abordagem matemática versátil conhecida como análise dimensional (ou método de rótulo fatorial). A análise dimensional é baseada nessa premissa: as unidades de quantidades devem ser submetidas às mesmas operações matemáticas que seus números associados. Esse método pode ser aplicado a cálculos que variam de conversões de unidades simples a cálculos mais complexos de várias etapas envolvendo várias quantidades diferentes.

Fatores de conversão e análise dimensional

Uma proporção de duas quantidades equivalentes expressas com unidades de medida diferentes pode ser usada como um fator de conversão de unidade. Por exemplo, os comprimentos de 2,54 cm e 1 polegada são equivalentes (por definição) e, portanto, um fator de conversão unitário pode ser derivado da razão,

$$\frac{\text{2,54 cm}}{\text{1 pol.}}\text{(2,54 cm)}=\text{1 pol.) ou 2,54}\frac{\text{cm}}{\text{em.}}$$

Vários outros fatores de conversão comumente usados são apresentados na Tabela 1.6.

Fatores de conversão comuns

Comprimento	Volume	Missa
1 m = 1,0936 jardas	1 L = 1,0567 qt	1 kg = 2,2046 libras
1 pol. = 2,54 cm (exato)	1 qt = 0,94635 L	1 lb = 453,59 g
1 km = 0,62137 mi	1 pé ^3 = 28,317 L	1 (avoirdupois) oz = 28,349 g
1 mi = 1609,3 km	1 colher de sopa = 14,787 mL	1 onça (troy) = 31,103 g

Tabela 1.6

Quando uma quantidade (como a distância em polegadas) é multiplicada por um fator de conversão unitário apropriado, a quantidade é convertida em um valor equivalente com unidades diferentes (como a distância em centímetros). Por exemplo, o salto vertical de 34 polegadas de um jogador de basquete pode ser convertido em centímetros da seguinte forma:

$$34\sout{\text{em.}}\times \frac{\text{2,54 cm}}{1\sout{\text{em.}}}=\text{86 cm}$$

Como essa aritmética simples envolve quantidades, a premissa da análise dimensional exige que multipliquemos números e unidades. Os números dessas duas quantidades são multiplicados para produzir o número da quantidade do produto, 86, enquanto as unidades são multiplicadas para produzir$\frac{\text{em.}\times \text{cm}}{\text{em.}}$. Assim como para números, uma proporção de unidades idênticas também é numericamente igual a um,$\frac{\text{em.}}{\text{em.}}=\text{1,}$e o produto unitário, portanto, simplifica para cm. (Quando unidades idênticas se dividem para produzir um fator de 1, diz-se que elas “cancelam”.) A análise dimensional pode ser usada para confirmar a aplicação adequada dos fatores de conversão da unidade, conforme demonstrado no exemplo a seguir.

Exemplo 1.8

Usando um fator de conversão de unidade

A massa de um frisbee de competição é 125 g. Converta sua massa em onças usando o fator de conversão unitário derivado da relação 1 oz = 28,349 g (Tabela 1.6).

Solução

Dado o fator de conversão, a massa em onças pode ser derivada usando uma equação semelhante à usada para converter o comprimento de polegadas para centímetros.

$$x\text{oz}=\text{125 g}\times \text{fator de conversão da unidade}$$

O fator de conversão da unidade pode ser representado como:

$$\frac{\text{1 onça}}{\text{28,349 g}}\text{e}\frac{\text{28,349 g}}{\text{1 onça}}$$

O fator de conversão unitário correto é a proporção que cancela as unidades de gramas e deixa onças.

$$\begin{array}{ccc}x\text{oz}\hfill & =& 125\sout{\text{g}}\times \frac{\text{1 onça}}{\text{28.349}\sout{\text{g}}}\hfill \\ \hfill & =\hfill & \left(\frac{125}{\text{28.349}}\right)\text{oz}\hfill \\ \hfill & =\hfill & \text{4,41 onças (três números significativos)}\hfill \end{array}$$

Verifique seu aprendizado

Converta um volume de 9.345 qt em litros.

Resposta:

8.844 L

Além das simples conversões de unidades, o método fator-label pode ser usado para resolver problemas mais complexos envolvendo cálculos. Independentemente dos detalhes, a abordagem básica é a mesma — todos os fatores envolvidos no cálculo devem ser orientados adequadamente para garantir que seus rótulos (unidades) sejam cancelados e/ou combinados adequadamente para produzir a unidade desejada no resultado. À medida que seu estudo de química continua, você encontrará muitas oportunidades de aplicar essa abordagem.

Exemplo 1.9

Computando quantidades a partir de resultados de medições e relações matemáticas conhecidas

Qual é a densidade do anticongelante comum em unidades de g/mL? Uma amostra de 4,00 qt do anticongelante pesa 9,26 lb.

Solução

Desde$\text{densidade}=\frac{\text{massa}}{\text{volume}}$, precisamos dividir a massa em gramas pelo volume em mililitros. Em geral: o número de unidades de B = o número de unidades de A$\times$fator de conversão da unidade. Os fatores de conversão necessários são dados na Tabela 1.6: 1 lb = 453,59 g; 1 L = 1,0567 qt; 1 L = 1.000 mL. A massa pode ser convertida de libras em gramas da seguinte forma:

$$\text{9,26}\sout{\text{libra}}\times \frac{\text{453,59 g}}{1\sout{\text{libra}}}=\mathrm{4,20}\times {10}^3\text{g}$$

O volume pode ser convertido de quartos para mililitros por meio de duas etapas:

1. Etapa 1. Converta quartos em litros.
   $$\text{4,00}\sout{\text{qt}}\times \frac{\text{1 L}}{\text{1.0567}\sout{\text{qt}}}=\text{3,78 L}$$
2. Etapa 2. Converta litros em mililitros.
   $$\text{3,78}\sout{\text{L}}\times \frac{\text{1000 mL}}{1\sout{\text{L}}}=\mathrm{3,78}\times {10}^3\text{mL}$$

Então,

$$\text{densidade}=\frac{\text{4,20}\times {10}^3\text{g}}{\mathrm{3,78}\times {10}^3\text{mL}}=\text{1,11 g/mL}$$

Como alternativa, o cálculo pode ser configurado de uma forma que use três fatores de conversão de unidades sequencialmente, da seguinte forma:

$$\frac{\text{9,26}\sout{\text{libra}}}{\text{4,00}\sout{\text{qt}}}\times \frac{\text{453,59 g}}{1\sout{\text{libra}}}\times \frac{\text{1.0567}\sout{\text{qt}}}{1\sout{\text{L}}}\times \frac{1\sout{\text{L}}}{\text{1000 mL}}=\text{1,11 g/mL}$$

Verifique seu aprendizado

Qual é o volume em litros de 1.000 onças, considerando que 1 L = 1,0567 qt e 1 qt = 32 oz (exatamente)?

Resposta:

2,956 × 10 ⁻² L

Exemplo 1.10

Computando quantidades a partir de resultados de medições e relações matemáticas conhecidas

Enquanto estava sendo conduzido da Filadélfia para Atlanta, a uma distância de cerca de 1250 km, um Lamborghini Aventador Roadster 2014 usa 213 L de gasolina.

(a) Qual economia (média) de combustível, em milhas por galão, o Roadster obteve durante essa viagem?

(b) Se a gasolina custar $3,80 por galão, qual foi o custo do combustível para essa viagem?

Solução

(a) Primeira conversão da distância de quilômetros para milhas:

$$1250\sout{\text{quilômetro}}\times \frac{\text{0,6213,7 mi}}{1\sout{\text{quilômetro}}}=\text{777 km}$$

e depois converta o volume de litros em galões:

$$213\sout{\text{L}}\times \frac{\text{1.0567}\sout{\text{qt}}}{1\sout{\text{L}}}\times \frac{\text{1 garota}}{4\sout{\text{qt}}}=\text{56,3 gols}$$

Finalmente,

$$\text{quilometragem (média)}=\frac{\text{777 km}}{\text{56,3 gols}}=\text{13,8 milhas/galão}=\text{13,8 mpg}$$

Como alternativa, o cálculo pode ser configurado de uma forma que use todos os fatores de conversão sequencialmente, da seguinte forma:

$$\frac{1250\sout{\text{quilômetro}}}{213\sout{\text{L}}}\times \frac{\text{0,6213,7 mi}}{1\sout{\text{quilômetro}}}\times \frac{1\sout{\text{L}}}{\text{1.0567}\sout{\text{qt}}}\times \frac{4\sout{\text{qt}}}{\text{1 garota}}=\text{13,8 mpg}$$

(b) Usando o volume calculado anteriormente em galões, encontramos:

$$\mathrm{56,3}\sout{\text{garota}}\times \frac{\text{\$3,80}}{1\sout{\text{garota}}}=\text{\$214}$$

Verifique seu aprendizado

Um Toyota Prius Hybrid usa 59,7 L de gasolina para dirigir de São Francisco a Seattle, a uma distância de 1300 km (dois dígitos significativos).

(a) Qual economia (média) de combustível, em milhas por galão, o Prius obteve durante essa viagem?

(b) Se a gasolina custar $3,90 por galão, qual foi o custo do combustível para essa viagem?

Resposta:

(a) 51 mpg; (b) $62

Conversão de unidades de temperatura

Usamos a palavra temperatura para nos referirmos ao calor ou ao frio de uma substância. Uma forma de medir uma mudança na temperatura é usar o fato de que a maioria das substâncias se expande quando a temperatura aumenta e se contrai quando a temperatura diminui. O líquido em um termômetro de vidro comum muda seu volume à medida que a temperatura muda, e a posição da superfície do líquido preso ao longo de uma escala impressa pode ser usada como medida de temperatura.

As escalas de temperatura são definidas em relação às temperaturas de referência selecionadas: duas das mais usadas são as temperaturas de congelamento e ebulição da água a uma pressão atmosférica especificada. Na escala Celsius, 0° C é definido como a temperatura de congelamento da água e 100° C como a temperatura de ebulição da água. O espaço entre as duas temperaturas é dividido em 100 intervalos iguais, que chamamos de graus. Na escala Fahrenheit, o ponto de congelamento da água é definido como 32° F e a temperatura de ebulição como 212° F. O espaço entre esses dois pontos em um termômetro Fahrenheit é dividido em 180 partes iguais (graus).

Definir as escalas de temperatura em Celsius e Fahrenheit, conforme descrito no parágrafo anterior, resulta em uma relação um pouco mais complexa entre os valores de temperatura nessas duas escalas do que para unidades de medida diferentes para outras propriedades. A maioria das unidades de medida de uma determinada propriedade é diretamente proporcional uma à outra (y = mx). Usando unidades de comprimento conhecidas como um exemplo:

$$\text{comprimento em pés}=\left(\frac{\text{1 pé}}{\text{12 pol.}}\right)\times \text{comprimento em polegadas}$$

onde y = comprimento em pés, x = comprimento em polegadas e a constante de proporcionalidade, m, é o fator de conversão. As escalas de temperatura Celsius e Fahrenheit, no entanto, não compartilham um ponto zero comum e, portanto, a relação entre essas duas escalas é linear e não proporcional (y = mx + b). Consequentemente, converter uma temperatura de uma dessas escalas em outra requer mais do que simples multiplicação por um fator de conversão, m; ela também deve levar em consideração as diferenças nos pontos zero da escala (b).

A equação linear que relaciona as temperaturas Celsius e Fahrenheit é facilmente derivada das duas temperaturas usadas para definir cada escala. Representando a temperatura Celsius como x e a temperatura Fahrenheit como y, a inclinação, m, é calculada para ser:

$$m=\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\frac{\text{212 °F}-\text{32 °F}}{\text{100 °C}-\text{0 °C}}=\frac{\text{180 °F}}{\text{100 °C}}=\frac{\text{9 °F}}{\text{5 °C}}$$

O intercepto y da equação, b, é então calculado usando qualquer um dos pares de temperatura equivalentes, (100 °C, 212 °F) ou (0 °C, 32 °F), como:

$$b=y-mx=\text{32 °F}-\frac{\text{9 °F}}{\text{5 °C}}\times \text{0 °C}=\text{32 °F}$$

A equação que relaciona as escalas de temperatura (T) é então:

$$T_{\text{°F}}=\left(\frac{\text{9 °F}}{\text{5 °C}}\times T_{\text{°C}}\right)+\text{32 °F}$$

Uma forma abreviada dessa equação que omite as unidades de medida é:

$$T_{\text{°F}}=(\frac{9}{5}\times T_{\text{°C}})+32$$

O rearranjo dessa equação produz a forma útil para converter de Fahrenheit para Celsius:

$$T_{\text{°C}}=\frac{5}{9}\left(T_{\text{°F}}-32\right)$$

Conforme mencionado anteriormente neste capítulo, a unidade de temperatura SI é o kelvin (K). Diferente das escalas Celsius e Fahrenheit, a escala kelvin é uma escala de temperatura absoluta na qual 0 (zero) K corresponde à temperatura mais baixa que teoricamente pode ser alcançada. Como a escala de temperatura Kelvin é absoluta, um símbolo de grau não está incluído na abreviatura da unidade, K. A descoberta do início do século XIX da relação entre o volume e a temperatura de um gás sugeriu que o volume de um gás seria zero a −273,15 °C. Em 1848, o físico britânico William Thompson, que posteriormente adotou o título de Lord Kelvin, propôs uma escala de temperatura absoluta baseada nesse conceito (um tratamento mais aprofundado deste tópico é fornecido no capítulo deste texto sobre gases).

A temperatura de congelamento da água nesta escala é 273,15 K e sua temperatura de ebulição é 373,15 K. Observe que a diferença numérica nessas duas temperaturas de referência é 100, a mesma da escala Celsius, e assim a relação linear entre essas duas escalas de temperatura exibirá uma inclinação de$1\frac{\text{K}}{\text{°C}}$. Seguindo a mesma abordagem, as equações para conversão entre as escalas de temperatura de Kelvin e Celsius são derivadas como sendo:

$$T_{\text{K}}=T_{\text{°C}}+\text{273,15}$$

$$T_{\text{°C}}=T_{\text{K}}-\text{273,15}$$

O 273,15 nessas equações foi determinado experimentalmente, então não é exato. A Figura 1.28 mostra a relação entre as três escalas de temperatura.

Figura 1.28 As escalas de temperatura em Fahrenheit, Celsius e Kelvin são comparadas.

Embora a escala de temperatura Kelvin (absoluta) seja a escala oficial de temperatura SI, Celsius é comumente usada em muitos contextos científicos e é a escala de escolha para contextos não científicos em quase todas as áreas do mundo. Muito poucos países (EUA e seus territórios, Bahamas, Belize, Ilhas Cayman e Palau) ainda usam Fahrenheit para clima, remédios e culinária.

Exemplo 1.11

Conversão a partir de Celsius

A temperatura corporal normal tem sido comumente aceita como 37,0° C (embora varie dependendo da hora do dia e do método de medição, bem como entre os indivíduos). Qual é essa temperatura na escala Kelvin e na escala Fahrenheit?

Solução

$$\text{K}=\text{°C}+\mathrm{273,15}=\mathrm{37,0}+273.2=\text{310,2 KM}$$

$$\text{°F}=\frac{9}{5}\text{°C}+\mathrm{32,0}=\left(\frac{9}{5}\times \mathrm{37,0}\right)+\mathrm{32,0}=\mathrm{66,6}+\mathrm{32,0}=\text{98,6 °F}$$

Verifique seu aprendizado

Converta 80,92 °C em K e °F.

Resposta:

354.07 KM, 177.7 °F

Exemplo 1.12

Conversão de Fahrenheit

Assar uma pizza pronta exige uma temperatura de forno de 450° F. Se você estiver na Europa e o termômetro do forno usa a escala Celsius, qual é a configuração? Qual é a temperatura do Kelvin?

Solução

$$\text{°C}=\frac{5}{9}\text{(°F)}-\text{32)}=\frac{5}{9}\left(450-32\right)=\frac{5}{9}\times 418=\text{232 °C}⟶\text{ajuste o forno a 230 °C}\left(\text{duas figuras significativas}\right)$$

$$\text{K}=\text{°C}+\mathrm{273,15}=230+273=\text{503 KG}⟶\mathrm{5,0}\times {10}^2\text{K}\left(\text{duas figuras significativas}\right)$$

Verifique seu aprendizado

Converta 50 °F em °C e K.

Resposta:

100 °C, 280 KG