Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GreekAndCoptic.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

13.3: As outras funções trigonométricas

Objetivos de

  • Encontre os valores exatos das funções trigonométricas secante, cossecante, tangente e cotangente deπ3π4,,π6 e.
  • Use ângulos de referência para avaliar as funções trigonométricas secante, tangente e cotangente.
  • Use propriedades de funções trigonométricas pares e ímpares.
  • Reconheça e use identidades fundamentais.
  • Avalie funções trigonométricas com uma calculadora.

Uma rampa para cadeiras de rodas que atenda aos padrões da Lei dos Americanos com Deficiência deve fazer um ângulo com o solo cuja tangente seja112 ou menor, independentemente de seu comprimento. Uma tangente representa uma proporção, então isso significa que para cada 1 polegada de subida, a rampa deve ter 12 polegadas de percurso. As funções trigonométricas nos permitem especificar as formas e proporções dos objetos independentemente das dimensões exatas. Já definimos as funções seno e cosseno de um ângulo. Embora seno e cosseno sejam as funções trigonométricas mais usadas, existem outras quatro. Juntos, eles formam o conjunto de seis funções trigonométricas. Nesta seção, investigaremos as funções restantes.

Encontrando valores exatos das funções trigonométricas Secante, Cossecante, Tangente e Cotangente

Para definir as funções restantes, mais uma vez desenharemos um círculo unitário com um ponto(x,y) correspondente a um ângulo det, conforme mostrado na Figura13.3.1. Assim como o seno e o cosseno, podemos usar as(x,y) coordenadas para encontrar as outras funções.

Esta imagem é um gráfico de círculo com ângulo de t inscrito e raio de 1. O ponto de (x, y) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.
Figura13.3.1

A primeira função que definiremos é a tangente. A tangente de um ângulo é a razão entre o valor y e o valor x do ponto correspondente no círculo unitário. Na Figura13.3.1, a tangente do ângulot é igualyx,x0 a. Como o valor y é igual ao seno det, e o valor x é igual ao cosseno det, a tangente do ângulo tambémt pode ser definida comosintcost,cost0. A função tangente é abreviada comotan. As três funções restantes podem ser expressas como recíprocos de funções que já definimos.

  • A função secante é a recíproca da função cosseno. Na Figura13.3.1, a secante do ângulot é igual1cost=1x,x0 a. A função secante é abreviada comosec.
  • A função cotangente é a recíproca da função tangente. Na Figura13.3.1, a cotangente do ângulot é igual acostsint=xy,y0. A função cotangente é abreviada comocot.
  • A função cossecante é a recíproca da função senoidal. Na Figura13.3.1, a cossecante do ângulot é igual a1sint=1y,y0. A função cossecante é abreviada comocsc.

FUNÇÕES TANGENTE, SECANTE, COSECANTE E COTANGENTE

Set for um número real e(x,y) for um ponto em que o lado terminal de um ângulo det radianos intercepta o círculo unitário, então

tant=yx,x0sect=1x,x0csct=1y,y0cott=xy,y0

Exemplo13.3.1: Finding Trigonometric Functions from a Point on the Unit Circle

O ponto(32,12) está no círculo unitário, conforme mostrado na Figura13.3.2. Encontresint,cost,tant,sect,csct,cott e.

Esta é uma imagem de um gráfico de círculo com ângulo de t inscrito e com raio 1. O ponto de (raiz quadrada negativa de 3 sobre 2, 1/2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.
Figura13.3.2

Solução

Como sabemos as(x,y) coordenadas do ponto no círculo unitário indicado pelo ângulot, podemos usar essas coordenadas para encontrar as seis funções:

sint=y=12cost=x=32tant=yx=1232=12(23)=13=33sect=1x=132=23=233csct=1y=112=2cott=xy=3212=32(21)=3

Exercício13.3.1:

O ponto(22,22) está no círculo unitário, conforme mostrado na Figura13.3.3. Encontresint,cost,tant,sect,csct,cott e.

Esta é uma imagem de um gráfico de círculo com ângulo de t inscrito com raio 1. O ponto de (raiz quadrada de 2 sobre 2, raiz quadrada negativa de 2 sobre 2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.
Figura13.3.3

Solução

sint=22,cost=22,tant=1,sect=2,csct=2,cott=1

Exemplo13.3.2: Finding the Trigonometric Functions of an Angle

Encontresint,cost,tant,sect,csct, ecott quandot=\frac{π}{6}.

Solução

Anteriormente, usamos as propriedades dos triângulos equiláteros para demonstrar isso \sin \frac{π}{6}=\frac{1}{2} \cos \frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} e. Podemos usar esses valores e as definições de tangente, secante, cossecante e cotangente como funções de seno e cosseno para encontrar os valores restantes da função.

\begin{align*} \tan \dfrac{π}{6} & = \dfrac{ \sin \frac{π}{6}}{\cos \frac{π}{6}} \\ & = \dfrac{\frac{1}{2} }{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\ \sec \dfrac{π}{6} &= \dfrac{1}{ \cos \frac{π}{6}} \\ & = \dfrac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}= \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\ \csc \dfrac{π}{6} &= \dfrac{1}{ \sin \frac{π}{6}}= \dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2 \\ \cot \dfrac{π}{6} & = \dfrac{ \cos \frac{π}{6}}{ \sin \frac{π}{6}} \\ &= \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} =\sqrt{3} \end{align*}

Exercício\PageIndex{2}:

Encontre \sin t, \cos t, \tan t, \sec t, \csc t, e \cot t quandot=\frac{π}{3}.

Solução

\begin{align} \sin \frac{π}{3} & = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos \frac{π}{3} &=\frac{1}{2} \\ \tan \frac{π}{3} &= \sqrt{3} \\ \sec \frac{π}{3} &= 2 \\ \csc \frac{π}{3} &= \frac{2\sqrt{3}}{3} \\ \cot \frac{π}{3} &= \frac{\sqrt{3}}{3} \end{align}

Como conhecemos os valores de seno e cosseno para os ângulos comuns do primeiro quadrante, também podemos encontrar os outros valores de função para esses ângulos definindo x x igual ao cosseno e y y igual ao seno e depois usando as definições de tangente, secante, cossecante e cotangente. Os resultados são mostrados na Tabela\PageIndex{1}.

Tabela\PageIndex{1}
Ângulo 0 \frac{π}{6}, \text{ or } 30° \frac{π}{4}, \text{ or } 45° \frac{π}{3},\text{ or }60° \frac{π}{2},\text{ or }90°
Cosseno \ (0\)” style="alinhamento vertical: médio; ">1 \ (\ frac {π} {6},\ text {ou} 30°\)” style="vertical-align:middle; ">\frac{\sqrt{3}}{2} \ (\ frac {π} {4},\ text {ou} 45°\)” style="vertical-align:middle; ">\frac{\sqrt{2}}{2} \ (\ frac {π} {3},\ text {ou} 60°\)” style="vertical-align:middle; ">\frac{1}{2} \ (\ frac {π} {2},\ text {ou} 90°\)” style="vertical-align:middle; ">0
Seno \ (0\)” style="alinhamento vertical: médio; ">0 \ (\ frac {π} {6},\ text {ou} 30°\)” style="vertical-align:middle; ">\frac{1}{2} \ (\ frac {π} {4},\ text {ou} 45°\)” style="vertical-align:middle; ">\frac{\sqrt{2}}{2} \ (\ frac {π} {3},\ text {ou} 60°\)” style="vertical-align:middle; ">\frac{\sqrt{3}}{2} \ (\ frac {π} {2},\ text {ou} 90°\)” style="vertical-align:middle; ">1
Tangente \ (0\)” style="alinhamento vertical: médio; ">0 \ (\ frac {π} {6},\ text {ou} 30°\)” style="vertical-align:middle; ">\frac{\sqrt{3}}{3} \ (\ frac {π} {4},\ text {ou} 45°\)” style="vertical-align:middle; ">1 \ (\ frac {π} {3},\ text {ou} 60°\)” style="vertical-align:middle; ">\sqrt{3} \ (\ frac {π} {2},\ text {ou} 90°\)” style="vertical-align:middle; ">Indefinido
Secante \ (0\)” style="alinhamento vertical: médio; ">1 \ (\ frac {π} {6},\ text {ou} 30°\)” style="vertical-align:middle; ">\frac{2\sqrt{3}}{3} \ (\ frac {π} {4},\ text {ou} 45°\)” style="vertical-align:middle; ">\sqrt{2} \ (\ frac {π} {3},\ text {ou} 60°\)” style="vertical-align:middle; ">2 \ (\ frac {π} {2},\ text {ou} 90°\)” style="vertical-align:middle; ">Indefinido
Cossecant \ (0\)” style="vertical-align:middle; ">Indefinido \ (\ frac {π} {6},\ text {ou} 30°\)” style="vertical-align:middle; ">2 \ (\ frac {π} {4},\ text {ou} 45°\)” style="vertical-align:middle; ">\sqrt{2} \ (\ frac {π} {3},\ text {ou} 60°\)” style="vertical-align:middle; ">\frac{2\sqrt{3}}{3} \ (\ frac {π} {2},\ text {ou} 90°\)” style="vertical-align:middle; ">1
Cotangente \ (0\)” style="vertical-align:middle; ">Indefinido \ (\ frac {π} {6},\ text {ou} 30°\)” style="vertical-align:middle; ">\sqrt{3} \ (\ frac {π} {4},\ text {ou} 45°\)” style="vertical-align:middle; ">1 \ (\ frac {π} {3},\ text {ou} 60°\)” style="vertical-align:middle; ">\frac{\sqrt{3}}{3} \ (\ frac {π} {2},\ text {ou} 90°\)” style="vertical-align:middle; ">0

Usando ângulos de referência para avaliar tangente, secante, cossecante e cotangente

Podemos avaliar funções trigonométricas de ângulos fora do primeiro quadrante usando ângulos de referência, como já fizemos com as funções seno e cosseno. O procedimento é o mesmo: Encontre o ângulo de referência formado pelo lado terminal do ângulo dado com o eixo horizontal. Os valores da função trigonométrica para o ângulo original serão os mesmos do ângulo de referência, exceto pelo sinal positivo ou negativo, que é determinado pelos valores x e y no quadrante original. A figura\PageIndex{4} mostra quais funções são positivas em qual quadrante.

Para nos ajudar a lembrar quais das seis funções trigonométricas são positivas em cada quadrante, podemos usar a frase mnemônica “A Smart Trig Class”. Cada uma das quatro palavras da frase corresponde a um dos quatro quadrantes, começando com o quadrante I e girando no sentido anti-horário. No quadrante I, que é “A”, todas as seis funções trigonométricas são positivas. No quadrante II, “S inteligente”, só que nove e sua função recíproca, cossecante, são positivas. No quadrante III, “anel T”, somente a tangente t e sua função recíproca, cotangente, são positivas. Finalmente, no quadrante IV, “classe C”, somente a cosina e sua função recíproca, secante, são positivas.

Esta imagem é um gráfico de círculo com cada quadrante rotulado. No quadrante I, rótulos para sin t, cos t, tan t, sec t, csc t e cot t. No quadrante II, rótulos para sin t e csc t. No quadrante III, rótulos para tan t e cot t. No quadrante IV, rótulos para cos t, sec t.
Figura\PageIndex{4}

COMO FAZER: Dado um ângulo que não esteja no primeiro quadrante, use ângulos de referência para encontrar todas as seis funções trigonométricas

  1. Meça o ângulo formado pelo lado terminal do ângulo dado e pelo eixo horizontal. Esse é o ângulo de referência.
  2. Avalie a função no ângulo de referência.
  3. Observe o quadrante onde o lado terminal do ângulo original está localizado. Com base no quadrante, determine se a saída é positiva ou negativa.

Exemplo\PageIndex{3}: Using Reference Angles to Find Trigonometric Functions

Use ângulos de referência para encontrar todas as seis funções trigonométricas de−\frac{5π}{6}.

Solução

O ângulo entre o lado terminal desse ângulo e o eixo x é\frac{π}{6}, então esse é o ângulo de referência. Como−\frac{5π}{6} está no terceiro quadrante, onde ambosxy são negativos, cosseno, seno, secante e cossecante serão negativos, enquanto tangente e cotangente serão positivos.

\begin{align} \cos (−\dfrac{5π}{6}) &=−\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin (−\dfrac{5π}{6})=−\dfrac{1}{2}, \tan (−\dfrac{5π}{6}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\ \sec (−\dfrac{5π}{6}) &=−\dfrac{2\sqrt{3}}{3}, \csc (−\dfrac{5π}{6})=−2, \cot (−\dfrac{5π}{6})=\sqrt{3} \end{align}

Exercício\PageIndex{3}

Use ângulos de referência para encontrar todas as seis funções trigonométricas de−\frac{7π}{4}.

Solução

\sin (−\frac{7π}{4})= \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos(\frac{−7π}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}, \tan (\frac{−7π}{4})=1,

\sec (\frac{−7π}{4})= \sqrt{2}, \csc (\frac{−7π}{4})= \sqrt{2}, \cot (\frac{−7π}{4})=1

Usando funções trigonométricas pares e ímpares

Para podermos usar nossas seis funções trigonométricas livremente com entradas de ângulo positivo e negativo, devemos examinar como cada função trata uma entrada negativa. Ao que parece, há uma diferença importante entre as funções nesse sentido.

Considere a funçãof(x)=x^2, mostrada na Figura\PageIndex{5}. O gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y. Ao longo da curva, quaisquer dois pontos com valores x opostos têm o mesmo valor de função. Isso corresponde ao resultado do cálculo:(4)^2=(−4)^2,(−5)^2=(5)^2 e assim por diante. Então,f(x)=x^2 é uma função par, uma função tal que duas entradas opostas tenham a mesma saída. Isso significaf(−x)=f(x).

Esta é uma imagem de um gráfico de uma parábola voltada para cima com os pontos (-2, 4) e (2, 4) rotulados.
Figura\PageIndex{5}: A funçãof(x)=x^2 é uniforme.

Agora, considere a funçãof(x)=x^3, mostrada na Figura\PageIndex{6}. O gráfico não é simétrico em relação ao eixo y. Em todo o gráfico, quaisquer dois pontos com valores de x opostos também têm valores de y opostos. Então,f(x)=x^3 é uma função estranha, uma em que duas entradas que são opostas têm saídas que também são opostas. Isso significaf(−x)=−f(x).

Esta é uma imagem de um gráfico da função f de x = x elevado à terceira potência com rótulos para pontos (-1, -1) e (1, 1).
Figura\PageIndex{6}: A funçãof(x)=x^3 é uma função ímpar.

Podemos testar se uma função trigonométrica é par ou ímpar desenhando um círculo unitário com um ângulo positivo e um negativo, como na Figura\PageIndex{7}. O seno do ângulo positivo éy. O seno do ângulo negativo é − y. A função seno, então, é uma função ímpar. Podemos testar cada uma das seis funções trigonométricas dessa forma. Os resultados são mostrados na Tabela\PageIndex{2}.

Gráfico de círculo com ângulo de t e -t inscrito. O ponto de (x, y) está na interseção do lado terminal do ângulo t e da borda do círculo. O ponto de (x, -y) está na interseção do lado terminal do ângulo -t e da borda do círculo.
Figura\PageIndex{7}
Tabela\PageIndex{2}
\begin{align} \sin t &=y \\ \sin (−t) &=−y \\ \sin t &≠sin(−t) \end{align} \begin{align} \cos t &=x \\ \cos (−t)=x \\ \cos t &= \cos (−t) \end{align} \begin{align} \tan (t) &= \frac{y}{x} \\ \tan (−t) &=−\frac{y}{x} \\ \tan t &≠ \tan (−t) \end{align}
\begin{align} \sec t &= \frac{1}{x} \\ \sec (−t) &= \frac{1}{x} \\ \sec t &= \sec (−t) \end{align} \begin{align} \csc t &= \frac{1}{y} \\ \csc (−t) &= \frac{1}{−y} \\ \csc t &≠ \csc (−t) \end{align} \begin{align} \cot t &= \frac{x}{y} \\ \cot (−t) &= \frac{x}{−y} \\ \cot t & ≠ \cot (−t) \end{align}

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS PARES E ÍMPARES

  • Uma função uniforme é aquela em quef(−x)=f(x).
  • Uma função ímpar é aquela em quef(−x)=−f(x).

O cosseno e o secante são iguais:

\begin{align} \cos (−t) &= \cos t \\ \sec (−t) &= \sec t \end{align}

Seno, tangente, cossecante e cotangente são ímpares:

\begin{align} \sin (−t) &=− \sin t \\ \tan (−t) &=−\tan t \\ \csc (−t) &=−\csc t \\ \cot (−t) &=−\cot t \end{align}

Exemplo\PageIndex{4}: Using Even and Odd Properties of Trigonometric Functions

Se a secante do ângulo t for 2, qual é a secante de−t?

Solução

A secante é uma função uniforme. A secante de um ângulo é a mesma que a secante de seu oposto. Então, se a secante do ângulo t é 2, a secante de também−t é 2.

Exercício\PageIndex{4}:

Se a cotangente do ângulot é\sqrt{3}, qual é a cotangente de−t?

Solução

−\sqrt{3}

Reconhecer e usar identidades fundamentais

Nós exploramos várias propriedades das funções trigonométricas. Agora, podemos levar os relacionamentos um passo adiante e derivar algumas identidades fundamentais. As identidades são afirmações verdadeiras para todos os valores da entrada na qual estão definidas. Normalmente, as identidades podem ser derivadas de definições e relacionamentos que já conhecemos. Por exemplo, a identidade pitagórica que aprendemos anteriormente foi derivada do Teorema de Pitágoras e das definições de seno e cosseno.

IDENTIDADES FUNDAMENTAIS

Podemos derivar algumas identidades úteis das seis funções trigonométricas. As outras quatro funções trigonométricas podem ser relacionadas às funções seno e cosseno usando essas relações básicas:

\tan t= \dfrac{ \sin t}{ \cos t}

\sec t= \dfrac{1}{\cos t}

\csc t= \dfrac{1}{\sin t}

\cot t= \dfrac{1}{ \tan t}= \dfrac{ \cos t}{ \sin t}

Exemplo\PageIndex{5}: Using Identities to Evaluate Trigonometric Functions

  1. Dado \sin (45°)= \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (45°)= \frac{\sqrt{2}}{2}, avalie \tan(45°).
  2. Dada \sin (\frac{5π}{6})= \frac{1}{2}, \cos( \frac{5π}{6})=−\frac{\sqrt{3}}{2}, a avaliação\sec (\frac{5π}{6}).

Solução

Como conhecemos os valores de seno e cosseno para esses ângulos, podemos usar identidades para avaliar as outras funções.

  1. \begin{align*} \tan(45°) &=\dfrac{ \sin(45°)}{ \cos (45°)} \\ &= \dfrac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ & =1 \end{align*}
  2. \begin{align*} \sec (\dfrac{5π}{6}) &= \dfrac{1}{ \cos (\frac{5π}{6})} \\ &= \dfrac{1}{−\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \dfrac{−2\sqrt{3}}{1} \\ &=\dfrac{−2}{\sqrt{3}} \\ &=−\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \end{align*}

Exercício\PageIndex{5}

Avalie\csc (\frac{7π}{6}).

Solução

−2

Exemplo\PageIndex{6}: Using Identities to Simplify Trigonometric Expressions

Simplifique\frac{ \sec t}{ \tan t}.

Solução

Podemos simplificar isso reescrevendo as duas funções em termos de seno e cosseno.

\begin{array}{lll} \dfrac{\sec t}{\tan t} & =\dfrac{1 / \cos t}{ \sin t / \cos t} & \text{To divide the functions, we multiply by the reciprocal.} \\ \text{} &= \dfrac{1}{\cos t} \dfrac{ \cos t}{\sin t} & \text{Divide out the cosines.} \\ \text{} & =\dfrac{1}{\sin t} & \text{Simplify and use the identity.} \\ \text{} & = \csc t \end{array}

Ao mostrar que isso\frac{ \sec t}{ \tan t} pode ser simplificado para \csc t, de fato, estabelecemos uma nova identidade.

\dfrac{ \sec t}{ \tan t}= \csc t \nonumber

Exercício\PageIndex{6}

Simplifique( \tan t)( \cos t).

Solução

\sin t

Formas alternativas da identidade pitagórica

Podemos usar essas identidades fundamentais para derivar formas alternativas da identidade pitagórica, \cos ^2 t+ \sin ^2 t=1. Uma forma é obtida dividindo os dois lados por \cos ^2 t:

\begin{align} \dfrac{ \cos ^2 t}{ \cos ^2 t} + \dfrac{ \sin ^2 t}{ \cos ^2 t} & = \dfrac{1}{ \cos ^2 t} \\ 1+ \tan ^2 t & = \sec ^2 t \end{align}

A outra forma é obtida dividindo os dois lados por \sin ^2 t:

\begin{align} \dfrac{ \cos ^2 t}{ \sin ^2 t}+ \dfrac{ \sin ^2 t}{ \sin ^2 t} &= \dfrac{1}{ \sin ^2 t} \\ \cot ^2 t+1 &= \csc ^2 t \end{align}

FORMAS ALTERNATIVAS DA IDENTIDADE PITAGÓRICA

1+ \tan ^2 t= \sec ^2 t

\cot ^2 t+1= \csc ^2 t

Exemplo\PageIndex{7}: Using Identities to Relate Trigonometric Functions

Se cos (t) =1213 cos (t) =1213 e t t estiver no quadrante IV, conforme mostrado na Figura\PageIndex{8}, encontre os valores das outras cinco funções trigonométricas.

Esta é uma imagem de gráfico de círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (12/13, y) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.
Figura\PageIndex{8}

Solução

Podemos encontrar o seno usando a identidade pitagórica, \cos ^2 t+ \sin ^2t=1 , e as funções restantes, relacionando-as com seno e cosseno.

\begin{align} (\dfrac{12}{13})^2+ \sin ^2 t &= 1 \\ \sin ^2 t &=1−(\dfrac{12}{13})^2 \\ \sin ^2 t &=1− \dfrac{144}{169} \\ \sin ^2 t &= \dfrac{25}{169} \\ \sin t &=±\sqrt{\dfrac{25}{169}} \\ \sin t &=±\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{169}} \\ \sin t &=± \dfrac{5}{13} \end{align}

O sinal do seno depende dos valores de y no quadrante em que o ângulo está localizado. Como o ângulo está no quadrante IV, onde os valores de y são negativos, seu seno é negativo,−\frac{5}{13}.

As funções restantes podem ser calculadas usando identidades que as relacionam com seno e cosseno.

\begin{align} \tan t &= \dfrac{\sin t}{ \cos t}=\dfrac{−\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=−\dfrac{5}{12} \\ \sec t &= \dfrac{1}{ \cos t}=\dfrac{1}{\frac{12}{13}}=\dfrac{13}{12} \\ \csc t &= \dfrac{1}{\sin t}=\dfrac{1}{−\frac{5}{13}} =−\dfrac{13}{5} \\ \cot t &= \dfrac{1}{ \tan t}=\dfrac{1}{−\frac{5}{12}}=−\dfrac{12}{5} \end{align}

Exercício\PageIndex{7}:

Se \sec (t)=− \frac{17}{8} e0<t<π, encontre os valores das outras cinco funções.

Solução

\cos t=−\frac{8}{17}, \sin t=\frac{15}{17}, \tan t=−\frac{15}{8}

\csc t= \frac{17}{15}, \cot t=−\frac{8}{15}

Conforme discutimos na abertura do capítulo, uma função que repete seus valores em intervalos regulares é conhecida como função periódica. As funções trigonométricas são periódicas. Para as quatro funções trigonométricas, seno, cosseno, cossecante e secante, uma revolução de um círculo, ou, resultará nas mesmas saídas para essas funções. E para tangente e cotangente, apenas meia revolução resultará nas mesmas saídas.

Outras funções também podem ser periódicas. Por exemplo, os períodos de meses se repetem a cada quatro anos. Se x x representa o tempo de duração, medido em anos, ef(x) representa o número de dias em fevereiro, entãof(x+4)=f(x). Esse padrão se repete várias vezes ao longo do tempo. Em outras palavras, a cada quatro anos, é garantido que fevereiro tenha o mesmo número de dias de 4 anos antes. O número positivo 4 é o menor número positivo que satisfaz essa condição e é chamado de período. Um período é o intervalo mais curto no qual uma função completa um ciclo completo. Neste exemplo, o período é 4 e representa o tempo necessário para termos certeza de que fevereiro tem o mesmo número de dias.

PERÍODO DE UMA FUNÇÃO

O períodoP de uma função repetida f f é o número que representa o intervalo de forma quef(x+P)=f(x) para qualquer valor dex.

O período das funções cosseno, seno, secante e cossecante é.

O período das funções tangente e cotangente éπ.

Exemplo\PageIndex{8}: Finding the Values of Trigonometric Functions

Encontre os valores das seis funções trigonométricas do ângulot com base na Figura\PageIndex{9}.

Esta é uma imagem de um gráfico de círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (1/2, raiz quadrada negativa de 3 sobre 2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.
Figura\PageIndex{9}

Solução

\begin{align*} \sin t &= y=−\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos t &=x =−\dfrac{1}{2} \\ \tan t &= \dfrac{ \sin t}{ \cos t}=\dfrac{−\frac{\sqrt{3}}{2}}{−\frac{1}{2}}= \sqrt{3} \\ \sec t &= \dfrac{1}{\cos t} = \dfrac{1}{−\frac{1}{2}}=−2 \\ \csc t &= \dfrac{1}{\sin t}= \dfrac{1}{−\frac{\sqrt{3}}{2}}=−\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\ \cot t &= \dfrac{1}{ \tan t}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{align*}

Exercício\PageIndex{8}

Encontre os valores das seis funções trigonométricas do ângulot com base na Figura\PageIndex{10}.

Esta é uma imagem de um gráfico de círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (0, -1) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.
Figura\PageIndex{10}

Solução

\begin{align} \sin t &=−1, \cos t=0, \tan t= \text{Undefined} \\ \\sec t &= \text{Undefined}, \csc t=−1, \cot t=0 \end{align}

Exemplo\PageIndex{9}: Finding the Value of Trigonometric Functions

Se \sin(t)=−\frac{\sqrt{3}}{2} e \cos (t)=\frac{1}{2}, encontre \sec (t),\csc (t),\tan (t), \cot (t).

Solução

\begin{align} \sec t &= \dfrac{1}{ \cos t}= \dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2 \\ \csc t &= \dfrac{1}{ \sin t}= \dfrac{1}{−\frac{\sqrt{3}}{2}}−\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\ \tan t &= \dfrac{\sin t}{\cos t}=\dfrac{−\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=−\sqrt{3} \\ \cot t &= \dfrac{1}{ \tan t}= \dfrac{1}{−\sqrt{3}}=−\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{align}

Exercício\PageIndex{9}:

Se\sin (t)= \frac{\sqrt{2}}{2} \sec (t), \csc (t),\tan (t), e\cos (t)=\frac{\sqrt{2}}{2}, encontre \cot (t) e.

Solução

\sec t= \sqrt{2},\csc t=\sqrt{2}, \tan t=1, \cot t=1

Cálculo de funções trigonométricas com uma calculadora

Aprendemos como avaliar as seis funções trigonométricas para os ângulos comuns do primeiro quadrante e usá-las como ângulos de referência para ângulos em outros quadrantes. Para avaliar funções trigonométricas de outros ângulos, usamos uma calculadora científica ou gráfica ou um software de computador. Se a calculadora tiver um modo de graus e um modo radiano, confirme se o modo correto foi escolhido antes de fazer um cálculo.

Avaliar uma função tangente com uma calculadora científica em vez de uma calculadora gráfica ou sistema de álgebra computacional é como avaliar um seno ou cosseno: insira o valor e pressione a tecla TAN. Para as funções recíprocas, pode não haver nenhuma chave dedicada que diga CSC, SEC ou COT. Nesse caso, a função deve ser avaliada como a recíproca de um seno, cosseno ou tangente.

Se precisarmos trabalhar com graus e nossa calculadora ou software não tiver um modo de graduação, podemos inserir os graus multiplicados pelo fator de conversão\frac{π}{180} para converter os graus em radianos. Para encontrar a secante de 30°, poderíamos pressionar

\mathrm{(for \; a \; scientific \; calculator):\dfrac{1}{30×\frac{π}{180}}COS }

ou

\mathrm{(for \; a \; graphing \; calculator): \dfrac{1}{cos(\frac{30π}{180})} }

como: Dada uma medida de ângulo em radianos, use uma calculadora científica para encontrar a cossecante

  1. Se a calculadora tiver o modo de graus e o modo radiano, configure-a para o modo radiano.
  2. Entrar:1 \; /
  3. Insira o valor do ângulo entre parênteses.
  4. Pressione a tecla SIN.
  5. Pressione a tecla =.

como: Dada uma medida de ângulo em radianos, use um utilitário/calculadora gráfica para encontrar a cossecante

  1. Se o utilitário gráfico tiver o modo de graus e o modo radiano, configure-o para o modo radiano.
  2. Entrar:1 \; /
  3. Pressione a tecla SIN.
  4. Insira o valor do ângulo entre parênteses.
  5. Pressione a tecla ENTER.

Exemplo\PageIndex{10}: Evaluating the Cosecant Using Technology

Avalie a cossecante de\frac{5π}{7}.

Solução

Para uma calculadora científica, insira as informações a seguir:

\mathrm{1 / ( 5 × π / 7 ) SIN =}

\mathrm{ \csc (\dfrac{5π}{7})≈1.279}

Exercício\PageIndex{10}:

Avalie a cotangente de−\frac{π}{8}.

≈−2.414

meios de comunicação

Acesse esses recursos on-line para obter instruções adicionais e praticar com outras funções trigonométricas.

Equações-chave

Função tangente \tan t= \frac{ \sin t}{\cos t}
Função secante \sec t= \frac{1}{ \cos t}
Função cossecante \csc t= \frac{1}{ \sin t}
Função cotangente \cot t= \frac{1}{\tan t}= \frac{\cos t}{ \sin t}

Conceitos-chave

  • A tangente de um ângulo é a razão entre o valor y e o valor x do ponto correspondente no círculo unitário.
  • A secante, a cotangente e a cossecante são todas recíprocas de outras funções. A secante é a recíproca da função cosseno, a cotangente é a recíproca da função tangente e a cossecante é a recíproca da função seno.
  • As seis funções trigonométricas podem ser encontradas a partir de um ponto no círculo unitário. Veja o exemplo.
  • As funções trigonométricas também podem ser encontradas a partir de um ângulo. Veja o exemplo.
  • As funções trigonométricas de ângulos fora do primeiro quadrante podem ser determinadas usando ângulos de referência. Veja o exemplo.
  • Diz-se que uma função é par sef(−x)=f(x) e ímpar sef(−x)=−f(x).
  • Cosseno e secante são pares; seno, tangente, cossecante e cotangente são ímpares.
  • Propriedades pares e ímpares podem ser usadas para avaliar funções trigonométricas. Veja o exemplo.
  • A identidade pitagórica torna possível encontrar um cosseno a partir de um seno ou um seno de um cosseno.
  • As identidades podem ser usadas para avaliar funções trigonométricas. Veja o exemplo e o exemplo.
  • Identidades fundamentais, como a identidade pitagórica, podem ser manipuladas algebricamente para produzir novas identidades. Veja o exemplo.
  • As funções trigonométricas se repetem em intervalos regulares.
  • O períodoP de uma função de repetição f f é o menor intervalo, tal comof(x+P)=f(x) para qualquer valor dex.
  • Os valores das funções trigonométricas de ângulos especiais podem ser encontrados por análise matemática.
  • Para avaliar funções trigonométricas de outros ângulos, podemos usar uma calculadora ou um software de computador. Veja o exemplo.

Glossário

cossecante
o recíproco da função seno: no círculo unitário, \csc t=\frac{1}{y},y≠0
cotangente
o inverso da função tangente: no círculo unitário, \cot t= \frac{x}{y},y≠0
identidades
declarações que são verdadeiras para todos os valores da entrada na qual estão definidas
período
o menor intervaloP de uma função de repetiçãof tal quef(x+P)=f(x)
secante
o recíproco da função cosseno: no círculo unitário, \sec t= \frac{1}{x},x≠0
tangente
o quociente do seno e do cosseno: no círculo unitário, \tan t= \frac{y}{x},x≠0