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10.4: Rotação dos eixos

objetivos de aprendizagem
  • Identifique seções cônicas não degeneradas dadas suas equações de forma geral.
  • Use fórmulas de rotação de eixos.
  • Escreva equações de cônicas giradas na forma padrão.
  • Identifique cônicas sem eixos rotativos.

Como vimos, seções cônicas são formadas quando um plano cruza dois cones circulares retos alinhados de ponta a ponta e se estendendo infinitamente em direções opostas, o que também chamamos de cone. A forma como cortamos o cone determinará o tipo de seção cônica formada na interseção. Um círculo é formado cortando um cone com um plano perpendicular ao eixo de simetria do cone. Uma elipse é formada cortando um único cone com um plano inclinado não perpendicular ao eixo de simetria. Uma parábola é formada cortando o plano na parte superior ou inferior do cone duplo, enquanto uma hipérbole é formada quando o plano corta a parte superior e inferior do cone (Figura10.4.1).

imageedit_2_4675119068.jpg

Figura10.4.1: As seções cônicas não degeneradas

Elipses, círculos, hipérboles e parábolas às vezes são chamadas de seções cônicas não degeneradas, em contraste com as seções cônicas degeneradas, mostradas na Figura10.4.2. Uma cônica degenerada ocorre quando um plano cruza o cone duplo e passa pelo ápice. Dependendo do ângulo do plano, três tipos de seções cônicas degeneradas são possíveis: um ponto, uma linha ou duas linhas que se cruzam.

imageedit_6_5854995623.jpg

Figura10.4.2: Seções cônicas degeneradas

Identificação de cônicas não degeneradas na forma geral

Nas seções anteriores deste capítulo, nos concentramos nas equações de forma padrão para seções cônicas não degeneradas. Nesta seção, vamos mudar nosso foco para a equação geral da forma, que pode ser usada para qualquer cônica. A forma geral é definida como igual a zero, e os termos e coeficientes são fornecidos em uma ordem específica, conforme mostrado abaixo.

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

ondeAB, e nem todosC são zero. Podemos usar os valores dos coeficientes para identificar qual tipo de cônica é representado por uma determinada equação.

Você pode notar que a equação da forma geral tem umxy termo que não vimos em nenhuma das equações da forma padrão. Como discutiremos mais adiante, oxy termo gira a cônica sempre que nãoB é igual a zero.

Tabela10.4.1
Seções cônicas Exemplo
elipse 4x2+9y2=1
circular 4x2+4y2=1
hipérbole 4x29y2=1
parábola 4x2=9you4y2=9x
uma linha 4x+9y=1
linhas que se cruzam (x4)(y+4)=0
linhas paralelas (x4)(x9)=0
um ponto 4x2+4y2=0
sem gráfico 4x2+4y2=1
FORMA GERAL DE SEÇÕES CÔNICAS

Uma seção cônica tem a forma geral

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

ondeAB, e nem todosC são zero. A tabela10.4.2 resume as diferentes seções cônicas ondeB=0, eA eC são números reais diferentes de zero. Isso indica que a cônica não foi girada.

Tabela10.4.2
elipse Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0,AC eAC>0
circular Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0,A=C
hipérbole Ax2Cy2+Dx+Ey+F=0ouAx2+Cy2+Dx+Ey+F=0, ondeA eC são positivos
parábola Ax2+Dx+Ey+F=0ouCy2+Dx+Ey+F=0
Como: Dada a equação de uma cônica, identifique o tipo de cônica
  1. Reescreva a equação na forma geral (Equação\ ref {gen}),Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
  2. Identifique os valores deA eC a partir do formulário geral.
    • SeA eC forem diferentes de zero, tiverem o mesmo sinal e não forem iguais entre si, o gráfico pode ser uma elipse.
    • SeA eC forem iguais e diferentes de zero e tiverem o mesmo sinal, o gráfico poderá ser um círculo.
    • SeA eC forem diferentes de zero e tiverem sinais opostos, o gráfico pode ser uma hipérbole.
    • Se umA ouC for zero, o gráfico pode ser uma parábola.

SeB=0, a seção cônica terá eixos verticais e/ou horizontais. SeB não for igual a 0, conforme mostrado abaixo, a seção cônica é girada. Observe a frase “pode ser” nas definições. Isso ocorre porque a equação pode não representar uma seção cônica, dependendo dos valores deAB,C,DE,,F e. Por exemplo, o caso degenerado de um círculo ou elipse é um ponto:

Ax2+By2=0,

quandoA eB tem o mesmo sinal.

O caso degenerado de uma hipérbole consiste em duas linhas retas que se cruzam:Ax2+By2=0, quandoA eB têm sinais opostos.

Por outro lado, a equaçãoAx2+By2+1=0, quandoA eB são positivos não representa nenhum gráfico, pois não há pares reais ordenados que o satisfaçam.

Exemplo10.4.1: Identifying a Conic from Its General Form

Identifique o gráfico de cada uma das seguintes seções cônicas não degeneradas.

  1. 4x29y2+36x+36y125=0
  2. 9y2+16x+36y10=0
  3. 3x2+3y22x6y4=0
  4. 25x24y2+100x+16y+20=0

Solução

  1. Reescrevendo a forma geral (Equação\ ref {gen}), temosAx2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=04x2+0xy+(9)y2+36x+36y+(125)=0 comA=4 eC=9, então observamos issoA eC temos sinais opostos. O gráfico dessa equação é uma hipérbole.
  2. Reescrevendo a forma geral (Equação\ ref {gen}), temosAx2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=00x2+0xy+9y2+16x+36y+(10)=0 comA=0C=9 e. Podemos determinar que a equação é uma parábola, já queA é zero.
  3. Reescrevendo a forma geral (Equação\ ref {gen}), temosAx2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=03x2+0xy+3y2+(2)x+(6)y+(4)=0 comA=3C=3 e. PorqueA=C o gráfico dessa equação é um círculo.
  4. Reescrevendo a forma geral (Equação\ ref {gen}), temosAx2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(25)x2+0xy+(4)y2+100x+16y+20=0 comA=25C=4 e. PorqueAC>0 eAC, o gráfico dessa equação é uma elipse.
Exercício10.4.1

Identifique o gráfico de cada uma das seguintes seções cônicas não degeneradas.

  1. 16y2x2+x4y9=0
  2. 16x2+4y2+16x+49y81=0
Responda a um

hipérbole

Resposta b

elipse

Encontrando uma nova representação da equação dada após girar em um determinado ângulo

Até agora, analisamos equações de seções cônicas sem umxy termo, que alinha os gráficos com os eixos x e y. Quando adicionamos umxy termo, estamos girando a cônica em torno da origem. Se os eixos x e y forem girados em um ângulo, digamosθ, então cada ponto no plano pode ser considerado como tendo duas representações:(x,y) no plano cartesiano com os eixos x e y originais, e(x,y) no novo plano definido pelos novos eixos girados, chamados de eixo x' e eixo y' (Figura10.4.3).

CNX_Precalc_Figure_10_04_003.jpg

Figura10.4.3: O gráfico da elipse giradax2+y2xy15=0

Encontraremos as relações entrex ey no plano cartesiano comx ey no novo plano rotacionado (Figura10.4.4).

CNX_Precalc_Figure_10_04_004.jpg

Figura10.4.4: O plano cartesiano comy os eixosx - e -e os eixosx − ey −resultantes formados por uma rotação por um ânguloθ.

Os eixos coordenados x - e y originais têm vetores unitáriosˆiˆj e. Os eixos de coordenadas girados têm vetores unitáriosˆiˆj e. O ânguloθ é conhecido como ângulo de rotação (Figura10.4.5). Podemos escrever os novos vetores unitários em termos dos originais.

ˆi=cosθˆi+sinθˆj

ˆj=sinθˆi+cosθˆj

CNX_Precalc_Figure_10_04_005.jpg

Figura10.4.5: Relação entre o antigo e o novo plano de coordenadas.

Considere um vetoru no novo plano de coordenadas. Ele pode ser representado em termos de seus eixos coordenados.

u=xi+yj=x(icosθ+jsinθ)+y(isinθ+jcosθ)Substitute.=ixcosθ+jxsinθiysinθ+jycosθDistribute.=ixcosθiysinθ+jxsinθ+jycosθApply commutative property.=(xcosθysinθ)i+(xsinθ+ycosθ)jFactor by grouping.

Porqueu=xi+yj temos representações dex ey em termos do novo sistema de coordenadas.

x=xcosθysinθ

e

y=xsinθ+ycosθ

EQUAÇÕES DE ROTAÇÃO

Se um ponto(x,y) no plano cartesiano for representado em um novo plano coordenado em que os eixos de rotação são formados pela rotação de um ângulo aθ partir do eixo x positivo, então as coordenadas do ponto em relação aos novos eixos são(x,y). Podemos usar as seguintes equações de rotação para definir a relação entre(x,y) e(x,y):

x=xcosθysinθ

e

y=xsinθ+ycosθ

Como: Dada a equação de uma cônica, encontre uma nova representação depois de girar em um ângulo
  1. Encontrexx=xcosθysinθ ey ondey=xsinθ+ycosθ e.
  2. Substitua a expressão porx ey em na equação dada e, em seguida, simplifique.
  3. Escreva as equações comx ey na forma padrão.
Exemplo10.4.2: Finding a New Representation of an Equation after Rotating through a Given Angle

Encontre uma nova representação da equação2x2xy+2y230=0 depois de girar em um ângulo de\theta=45°.

Solução

Encontrex ey, ondex=x^\prime \cos \theta−y^\prime \sin \thetay=x^\prime \sin \theta+y^\prime \cos \theta e.

Porque\theta=45°,

\begin{align*} x &= x^\prime \cos(45°)−y^\prime \sin(45°) \\[4pt] x &= x^\prime \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)−y^\prime \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \\[4pt] x &=\dfrac{x^\prime −y^\prime }{\sqrt{2}} \end{align*}

e

\begin{align*} y &= x^\prime \sin(45°)+y^\prime \cos(45°) \\[4pt] y &= x^\prime \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) + y^\prime \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \\[4pt] y &= \dfrac{x^\prime +y^\prime }{\sqrt{2}} \end{align*}

Substituax=x^\prime \cos\theta−y^\prime \sin\theta ey=x^\prime \sin \theta+y^\prime \cos \theta entre2x^2−xy+2y^2−30=0.

2{\left(\dfrac{x^\prime −y^\prime }{\sqrt{2}}\right)}^2−\left(\dfrac{x^\prime −y^\prime }{\sqrt{2}}\right)\left(\dfrac{x^\prime +y^\prime }{\sqrt{2}}\right)+2{\left(\dfrac{x^\prime +y^\prime }{\sqrt{2}}\right)}^2−30=0

Simplifique.

\begin{array}{rl} 2\dfrac{(x^\prime−y^\prime )(x^\prime −y^\prime )}{2}−\dfrac{(x^\prime −y^\prime )(x^\prime +y^\prime )}{2}+2\dfrac{(x^\prime +y^\prime )(x^\prime +y^\prime )}{2}−30=0 & \text{FOIL method} \\[4pt] {x^\prime }^2−2x^\prime y^\prime +{y^\prime }^2−\dfrac{({x^\prime }^2−{y^\prime }^2)}{2}+{x^\prime }^2+2x^\prime y^\prime +{y^\prime }^2−30=0 & \text{Combine like terms.} \\[4pt] 2{x^\prime }^2+2{y^\prime }^2−\dfrac{({x^\prime }^2−{y^\prime }^2)}{2}=30 & \text{Combine like terms.} \\[4pt] 2(2{x^\prime }^2+2{y^\prime }^2−\dfrac{({x^\prime }^2−{y^\prime }^2)}{2})=2(30) & \text{Multiply both sides by 2.} \\[4pt] 4{x^\prime }^2+4{y^\prime }^2−({x^\prime }^2−{y^\prime }^2)=60 & \text{Simplify. } \\[4pt] 4{x^\prime }^2+4{y^\prime }^2−{x^\prime }^2+{y^\prime }2=60 & \text{Distribute.} \\[4pt] \dfrac{3{x^\prime }^2}{60}+\dfrac{5{y^\prime }^2}{60}=\dfrac{60}{60} & \text{Set equal to 1.} \end{array}

Escreva as equações comx^\prime ey^\prime na forma padrão.

\dfrac{{x^\prime }^2}{20}+\dfrac{{y^\prime}^2}{12}=1 \nonumber

Essa equação é uma elipse. A figura\PageIndex{6} mostra o gráfico.

imageedit_10_2436746571.png

Figura\PageIndex{6}

Escrevendo equações de cônicas giradas na forma padrão

Agora que podemos encontrar a forma padrão de uma cônica quando recebemos um ângulo de rotação, aprenderemos como transformar a equação de uma cônica dada na formaAx^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 em forma padrão girando os eixos. Para fazer isso, reescreveremos a forma geral como uma equação no sistema dey^\prime coordenadasx^\prime e sem ox^\prime y^\prime termo, girando os eixos por uma medida\theta que satisfaça

\cot(2\theta)=\dfrac{A−C}{B}

Já aprendemos que qualquer cônica pode ser representada pela equação de segundo grau

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

ondeAB, e nem todosC são zero. No entanto, seB≠0, então temos umxy termo que nos impede de reescrever a equação na forma padrão. Para eliminá-lo, podemos girar os eixos em um ângulo agudo\theta onde\cot(2\theta)=\dfrac{A−C}{B}.

  • Se\cot(2\theta)>0, então2\theta está no primeiro quadrante e\theta está entre(0°,45°).
  • Se\cot(2\theta)<0, então2\theta está no segundo quadrante e\theta está entre(45°,90°).
  • SeA=C, então\theta=45°.
Como: Dada uma equação para uma cônica nox^\prime y^\prime system, rewrite the equation without the x^\prime y^\prime term in terms of x^\prime and y^\prime ,where the x^\prime and y^\prime axes are rotations of the standard axes by \theta degrees
  1. Encontre\cot(2\theta).
  2. Encontre\sin \theta\cos \theta e.
  3. \sin \thetaSubstituax=x^\prime \cos \theta−y^\prime \sin \theta e\cos \theta emy=x^\prime \sin \theta+y^\prime \cos \theta e.
  4. Substitua a expressão porx ey em na equação dada e, em seguida, simplifique.
  5. Escreva as equações comx^\prime ey^\prime na forma padrão em relação aos eixos girados.
Exemplo\PageIndex{3}: Rewriting an Equation with respect to the x^\prime and y^\prime axes without the x^\prime y^\prime Term

Reescreva a equação8x^2−12xy+17y^2=20 nox^\prime y^\prime sistema sem umx^\prime y^\prime termo.

Solução

Primeiro, encontramos\cot(2\theta).

8x^2−12xy+17y^2=20\rightarrow A=8,B=−12 eC=17

imageedit_14_9742345318.png

Figura\PageIndex{7}

Da figura\PageIndex{7}:

\begin{align*} \cot(2\theta) &=\dfrac{A−C}{B}=\dfrac{8−17}{−12} \\[4pt] & =\dfrac{−9}{−12}=\dfrac{3}{4} \end{align*}

\cot(2\theta)=\dfrac{3}{4}=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{opposite}}

Então, a hipotenusa é

\begin{align*} 3^2+4^2 &=h^2 \\[4pt] 9+16 &=h^2 \\[4pt] 25&=h^2 \\[4pt] h&=5 \end{align*}

Em seguida, encontramos\sin \theta\cos \theta e.

\begin{align*} \sin \theta &=\sqrt{\dfrac{1−\cos(2\theta)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1−\dfrac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{5}{5}−\dfrac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\dfrac{5−3}{5}⋅\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{2}{10}}=\sqrt{\dfrac{1}{5}} \\ \sin \theta &= \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\ \cos \theta &= \sqrt{\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{5}{5}+\dfrac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\dfrac{5+3}{5}⋅\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{8}{10}}=\sqrt{\dfrac{4}{5}} \\ \cos \theta &= \dfrac{2}{\sqrt{5}} \end{align*}

Substitua os valores de\sin \thetax=x^\prime \cos \theta−y^\prime \sin \theta e\cos \theta emy=x^\prime \sin \theta+y^\prime \cos \theta e.

\begin{align*} x &=x'\cos \theta−y^\prime \sin \theta \\[4pt] &=x^\prime \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)−y^\prime \left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) \\[4pt] &=\dfrac{2x^\prime −y^\prime }{\sqrt{5}} \end{align*}

e

\begin{align*} y&=x^\prime \sin \theta+y^\prime \cos \theta \\[4pt] &=x^\prime \left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)+y^\prime \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) \\[4pt] &=\dfrac{x^\prime +2y^\prime }{\sqrt{5}} \end{align*}

Substitua as expressões porx ey em na equação dada e, em seguida, simplifique.

\begin{align*} 8{\left(\dfrac{2x^\prime −y^\prime }{\sqrt{5}}\right)}^2−12\left(\dfrac{2x^\prime −y^\prime }{\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{x^\prime +2y^\prime }{\sqrt{5}}\right)+17{\left(\dfrac{x^\prime +2y^\prime }{\sqrt{5}}\right)}^2&=20 \\[4pt] 8\left(\dfrac{(2x^\prime −y^\prime )(2x^\prime −y^\prime )}{5}\right)−12\left(\dfrac{(2x^\prime −y^\prime )(x^\prime +2y^\prime )}{5}\right)+17\left(\dfrac{(x^\prime +2y^\prime )(x^\prime +2y^\prime )}{5}\right)&=20 \\[4pt] 8(4{x^\prime }^2−4x^\prime y^\prime +{y^\prime }^2)−12(2{x^\prime }^2+3x^\prime y^\prime −2{y^\prime }^2)+17({x^\prime }^2+4x^\prime y^\prime +4{y^\prime }^2)&=100 \\[4pt] 32{x^\prime }^2−32x^\prime y^\prime +8{y^\prime }^2−24{x^\prime }^2−36x^\prime y^\prime +24{y^\prime }^2+17{x^\prime }^2+68x^\prime y^\prime +68{y^\prime }^2&=100 \\[4pt] 25{x^\prime }^2+100{y^\prime }^2&=100 \\[4pt] \dfrac{25}{100}{x^\prime }^2+\dfrac{100}{100}{y^\prime }^2&=\dfrac{100}{100} \end{align*}

Escreva as equações comx^\prime ey^\prime na forma padrão em relação ao novo sistema de coordenadas.

\dfrac{{x^\prime }^2}{4}+\dfrac{{y^\prime }^2}{1}=1 \nonumber

A figura\PageIndex{8} mostra o gráfico da elipse.

imageedit_18_8476133234.png

Figura\PageIndex{8}

Exercício\PageIndex{2}

Reescreva o13x^2−6\sqrt{3}xy+7y^2=16 nox^\prime y^\prime sistema sem ox^\prime y^\prime termo.

Resposta

\dfrac{{x^\prime }^2}{4}+\dfrac{{y^\prime }^2}{1}=1

Exemplo\PageIndex{4} :Graphing an Equation That Has No x^\prime y^\prime Terms

Faça um gráfico da seguinte equação em relação aox^\prime y^\prime sistema:

x^2+12xy−4y^2=30

Solução

Primeiro, encontramos\cot(2\theta).

x^2+12xy−4y^2=20\rightarrow A=1,B=12, eC=−4

\begin{align*} \cot(2\theta) &= \dfrac{A−C}{B} \\ \cot(2\theta) &= \dfrac{1−(−4)}{12} \\ \cot(2\theta) &= \dfrac{5}{12} \end{align*}

Porque\cot(2\theta)=\dfrac{5}{12} podemos desenhar um triângulo de referência como na Figura\PageIndex{9}.

imageedit_22_9251267068.png

Figura\PageIndex{9}

\cot(2\theta)=\dfrac{5}{12}=\dfrac{adjacent}{opposite}

Assim, a hipotenusa é

\begin{align*} 5^2+{12}^2&=h^2 \\[4pt] 25+144 &=h^2 \\[4pt] 169 &=h^2 \\[4pt] h&=13 \end{align*}

Em seguida, encontramos\sin \theta\cos \theta e. Usaremos identidades de meio ângulo.

\sin \theta=\sqrt{\dfrac{1−\cos(2\theta)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1−\dfrac{5}{13}}{2}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{13}{13}−\dfrac{5}{13}}{2}}=\sqrt{\dfrac{8}{13}⋅\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}

\cos \theta=\sqrt{\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{5}{13}}{2}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{13}{13}+\dfrac{5}{13}}{2}}=\sqrt{\dfrac{18}{13}⋅\dfrac{1}{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}

Agora encontramosxy e.

x=x^\prime \cos \theta−y^\prime \sin \theta

x=x^\prime \left(\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)−y^\prime \left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)

x=\dfrac{3x^\prime −2y^\prime }{\sqrt{13}}

e

y=x^\prime \sin \theta+y^\prime \cos \theta

y=x^\prime \left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)+y^\prime \left(\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)

y=\dfrac{2x^\prime +3y^\prime }{\sqrt{13}}

Agora substituímosx=\dfrac{3x^\prime −2y^\prime }{\sqrt{13}} ey=\dfrac{2x^\prime +3y^\prime }{\sqrt{13}} entramosx^2+12xy−4y^2=30.

\begin{array}{rl} {\left(\dfrac{3x^\prime −2y^\prime }{\sqrt{13}}\right)}^2+12\left(\dfrac{3x^\prime −2y^\prime }{\sqrt{13}}\right)\left(\dfrac{2x^\prime +3y^\prime }{\sqrt{13}}\right)−4{\left(\dfrac{2x^\prime +3y^\prime }{\sqrt{13}}\right)}^2=30 \\ \left(\dfrac{1}{13}\right)[ {(3x^\prime −2y^\prime )}^2+12(3x^\prime −2y^\prime )(2x^\prime +3y^\prime )−4{(2x^\prime +3y^\prime )}^2 ]=30 & \text{Factor.} \\ \left(\dfrac{1}{13}\right)[ 9{x^\prime }^2−12x^\prime y^\prime +4{y^\prime }^2+12(6{x^\prime }^2+5x^\prime y^\prime −6{y^\prime }^2)−4(4{x^\prime }^2+12x^\prime y^\prime +9{y^\prime }^2) ]=30 & \text{Multiply.} \\ \left(\dfrac{1}{13}\right)[ 9{x^\prime }^2−12x^\prime y^\prime +4{y^\prime }^2+72{x^\prime }^2+60x^\prime y^\prime −72{y^\prime }^2−16{x^\prime }^2−48x^\prime y^\prime −36{y^\prime }^2 ]=30 & \text{Distribute.} \\ \left(\dfrac{1}{13}\right)[ 65{x^\prime }^2−104{y^\prime }^2 ]=30 & \text{Combine like terms.} \\ 65{x^\prime }^2−104{y^\prime }^2=390 & \text{Multiply.} \\ \dfrac{{x^\prime }^2}{6}−\dfrac{4{y^\prime }^2}{15}=1 & \text{Divide by 390.} \end{array}

A figura\PageIndex{10} mostra o gráfico da hipérbole\dfrac{{x^\prime }^2}{6}−\dfrac{4{y^\prime }^2}{15}=1

imageedit_26_7758236974.png

Figura\PageIndex{10}

Identificação de cônicas sem eixos rotativos

Agora fechamos o círculo. Como identificamos o tipo de cônica descrito por uma equação? O que acontece quando os eixos são girados? Lembre-se, a forma geral de uma cônica é

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

Se aplicarmos as fórmulas de rotação a essa equação, obtemos a forma

A′{x^\prime }^2+B′x^\prime y^\prime +C′{y^\prime }^2+D′x^\prime +E′y^\prime +F′=0

Pode ser demonstrado que

B^2−4AC={B′}^2−4A′C′

A expressão não varia após a rotação, então chamamos a expressão de invariante. O discriminante,B^2−4AC, é invariante e permanece inalterado após a rotação. Como o discriminante permanece inalterado, observar o discriminante nos permite identificar a seção cônica.

COMO FAZER: USANDO O DISCRIMINANTE PARA IDENTIFICAR UMA CÔNICA

Se a equação

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

é transformado por eixos rotativos na equação

A′{x^\prime }^2+B′x^\prime y^\prime +C′{y^\prime }^2+D′x^\prime +E′y^\prime +F′=0

entãoB^2−4AC={B′}^2−4A′C′

A equaçãoAx^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole, ou um caso degenerado de uma delas. Se o discriminante,B^2−4AC, é

  • <0, a seção cônica é uma elipse
  • =0, a seção cônica é uma parábola
  • >0, a seção cônica é uma hipérbole
Exemplo\PageIndex{5}: Identifying the Conic without Rotating Axes

Identifique a cônica para cada um dos itens a seguir sem eixos rotativos.

  1. 5x^2+2\sqrt{3}xy+2y^2−5=0
  2. 5x^2+2\sqrt{3}xy+12y^2−5=0

Solução

a. Vamos começar determinandoAB,C e.

\underbrace{5}_{A}x^2+\underbrace{2\sqrt{3}}_{B}xy+\underbrace{2}_{C}y^2−5=0

Agora, encontramos o discriminante.

\begin{align*} B^2−4AC &= {(2\sqrt{3})}^2−4(5)(2) \\ &=4(3)−40 \\ &=12−40 \\ &=−28<0 \end{align*}

Portanto,5x^2+2\sqrt{3}xy+2y^2−5=0 representa uma elipse.

b. Novamente, vamos começar determinandoAB,C e.

\underbrace{5}_{A}x^2+\underbrace{2\sqrt{3}}_{B}xy+\underbrace{12}_{C}y^2−5=0 \nonumber

Agora, encontramos o discriminante.

\begin{align*} B^2−4AC &= {(2\sqrt{3})}^2−4(5)(12) \\ &= 4(3)−240 \\ &= 12−240 \\ &=−228<0 \end{align*}

Portanto,5x^2+2\sqrt{3}xy+12y^2−5=0 representa uma elipse.

Exercício\PageIndex{3}

Identifique a cônica para cada um dos itens a seguir sem eixos rotativos.

  1. x^2−9xy+3y^2−12=0
  2. 10x^2−9xy+4y^2−4=0
Responda a um

hipérbole

Resposta b

elipse

Equações chave

Equação de forma geral de uma seção cônica Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
Rotação de uma seção cônica

x=x^\prime \cos \theta−y^\prime \sin \theta

y=x^\prime \sin \theta+y^\prime \cos \theta

Ângulo de rotação \theta, onde\cot(2\theta)=\dfrac{A−C}{B}

Conceitos chave

  • Quatro formas básicas podem resultar da interseção de um avião com um par de cones circulares retos conectados da cauda à cauda. Eles incluem uma elipse, um círculo, uma hipérbole e uma parábola.
  • Uma seção cônica não degenerada tem a forma geralAx^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 ondeAB e nem todasC são zero. Os valores deAB, eC determinam o tipo de cônica. Veja o exemplo\PageIndex{1}.
  • Equações de seções cônicas com umxy termo foram rotacionadas em torno da origem. Veja o exemplo\PageIndex{2}.
  • A forma geral pode ser transformada em uma equação no sistema dey^\prime coordenadasx^\prime e sem ox^\prime y^\prime termo. Veja o exemplo\PageIndex{3} e o exemplo\PageIndex{4}.
  • Uma expressão é descrita como invariante se permanecer inalterada após a rotação. Como o discriminante é invariante, observá-lo nos permite identificar a seção cônica. Veja o exemplo\PageIndex{5}.