9.4: Frações parciais
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Decompõe\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), onde
- \(Q(x)\)tem apenas fatores lineares não repetidos.
- \(Q(x)\)repetiu fatores lineares.
- \(Q(x)\)tem um fator quadrático irredutível não repetido.
- \(Q(x)\)tem um fator quadrático irredutível repetido.
No início deste capítulo, estudamos sistemas de duas equações em duas variáveis, sistemas de três equações em três variáveis e sistemas não lineares. Aqui, apresentamos outra maneira pela qual sistemas de equações podem ser utilizados — a decomposição de expressões racionais. As frações podem ser complicadas; adicionar uma variável no denominador as torna ainda mais complicadas. Os métodos estudados nesta seção ajudarão a simplificar o conceito de uma expressão racional.
Decompondo\(\frac{P(x)}{Q(x)}\) onde\(Q(x)\) tem apenas fatores lineares não repetidos
Lembre-se da álgebra em relação à adição e subtração de expressões racionais. Essas operações dependem de encontrar um denominador comum para que possamos escrever a soma ou a diferença como uma expressão racional única e simplificada. Nesta seção, veremos a decomposição parcial de frações, que é a desrealização do procedimento para adicionar ou subtrair expressões racionais. Em outras palavras, é um retorno da expressão racional simplificada única para as expressões originais, chamadas de frações parciais.
Por exemplo, suponha que adicionemos as seguintes frações:
\[\dfrac{2}{x−3}+\dfrac{−1}{x+2} \nonumber\]
Primeiro, precisaríamos encontrar um denominador comum:\((x+2)(x−3)\).
Em seguida, escreveríamos cada expressão com esse denominador comum e encontraríamos a soma dos termos.
\[\begin{align*} \dfrac{2}{x-3}\left(\dfrac{x+2}{x+2}\right)+\dfrac{-1}{x+2}\left(\dfrac{x-3}{x-3}\right)&= \dfrac{2x+4-x+3}{(x+2)(x-3)}\\[4pt] &= \dfrac{x+7}{x^2-x-6} \end{align*}\]
A decomposição parcial da fração é o inverso desse procedimento. Começaríamos com a solução e a reescreveríamos (decompôssemos) como a soma de duas frações.
\[ \underbrace{\dfrac{x+7}{x^2-x-6}}_{\text{Simplified sum}} = \underbrace{\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{-1}{x+2}}_{\text{Partial fraction decomposition }} \nonumber\]
Investigaremos expressões racionais com fatores lineares e fatores quadráticos no denominador onde o grau do numerador é menor que o grau do denominador. Independentemente do tipo de expressão que estamos decompondo, a primeira e mais importante coisa a fazer é fatorar o denominador.
Quando o denominador da expressão simplificada contém fatores lineares distintos, é provável que cada uma das expressões racionais originais, que foram adicionadas ou subtraídas, tivesse um dos fatores lineares como denominador. Em outras palavras, usando o exemplo acima, os fatores de\(x^2−x−6\) são\((x−3)(x+2)\), os denominadores da expressão racional decomposta. Então, reescreveremos a forma simplificada como a soma das frações individuais e usaremos uma variável para cada numerador. Em seguida, resolveremos para cada numerador usando um dos vários métodos disponíveis para decomposição parcial de frações.
A decomposição parcial da fração de\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) quando\(Q(x)\) tem fatores lineares não repetidos e o grau de\(P(x)\) é menor que o grau de\(Q(x)\) é
\[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\]
- Use uma variável para os numeradores originais, geralmente\(A\)\(B\), ou\(C\), dependendo do número de fatores, coloque cada variável sobre um único fator. Para o propósito desta definição, usamos\(A_n\) para cada numerador
\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\)
- Multiplique os dois lados da equação pelo denominador comum para eliminar frações.
- Expanda o lado direito da equação e colete termos semelhantes.
- Defina coeficientes de termos semelhantes do lado esquerdo da equação iguais aos do lado direito para criar um sistema de equações para resolver os numeradores.
Decomponha a expressão racional dada com fatores lineares distintos.
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}\)
Solução
Separaremos os fatores denominadores e daremos a cada numerador um rótulo simbólico\(A\), como\(B\), ou\(C\).
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{A}{(x+2)}+\dfrac{B}{(x−1)}\)
Multiplique os dois lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
\((x+2)(x−1)\left[ \dfrac{3x}{(x+2)(x−1)} \right]=(x+2)(x−1)\left[\dfrac{A}{(x+2)} \right]+(x+2)(x−1)\left[\dfrac{B}{(x−1)} \right]\)
A equação resultante é
\(3x=A(x−1)+B(x+2)\)
Expanda o lado direito da equação e colete termos semelhantes.
\[\begin{align*} 3x&= Ax-A+Bx+2B\\[4pt] 3x&= (A+B)x-A+2B \end{align*}\]
Configure um sistema de equações associando os coeficientes correspondentes.
\[\begin{align*} 3&= A+B\\[4pt] 0&= -A+2B \end{align*}\]
Adicione as duas equações e resolva para\(B\).
\[\begin{align*} 3&= A+B\\[4pt] \underline{0}&= \underline{-A+2B}\\[4pt] 3&= 0+3B\\[4pt] 1&= B \end{align*}\]
Substitua\(B=1\) em uma das equações originais do sistema.
\[\begin{align*} 3&= A+1\\[4pt] 2&= A \end{align*}\]
Assim, a decomposição parcial da fração é
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{2}{(x+2)}+\dfrac{1}{(x−1)}\)
Outro método a ser usado para resolver\(A\) ou\(B\) é considerar a equação que resultou da eliminação das frações e da substituição de um valor por\(x\) isso fará com que o\(B-\) termo\(A-\) ou seja igual a 0. Se deixarmos\(x=1\), o
\(A-\)termo se torna 0 e podemos simplesmente resolver para\(B\).\[\begin{align*} 3x&= A(x-1)+B(x+2)\\[4pt] 3(1)&= A[(1)-1]+B[(1)+2]\\[4pt] 3&= 0+3B\\[4pt] 1&= B \end{align*}\]
Em seguida, substitua\(B=1\) na equação e resolva\(A\), ou crie o\(B-\) termo\(0\)\(x=−2\) substituindo-o na equação.
\[\begin{align*} 3x&= A(x-1)+B(x+2)\\[4pt] 3(-2)&= A[(-2)-1]+B[(-2)+2]\\[4pt] -6&= -3A+0\\[4pt] \dfrac{-6}{-3}&= A\\[4pt] 2&=A \end{align*}\]
Obtemos os mesmos valores para\(A\) e\(B\) usando qualquer um dos métodos, então as decomposições são as mesmas usando qualquer um dos métodos.
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{2}{(x+2)}+\dfrac{1}{(x−1)}\)
Embora esse método não seja visto com muita frequência em livros didáticos, nós o apresentamos aqui como uma alternativa que pode facilitar algumas decomposições de frações parciais. É conhecido como o método Heaviside, em homenagem a Charles Heaviside, pioneiro no estudo da eletrônica.
Encontre a decomposição parcial da fração da seguinte expressão.
\(\dfrac{x}{(x−3)(x−2)}\)
- Responda
-
\(\dfrac{3}{x−3}−\dfrac{2}{x−2}\)
Decompondo\(\frac{P(x)}{Q(x)}\) onde\(Q(x)\) tem fatores lineares repetidos
Algumas frações que podemos encontrar são casos especiais que podemos decompor em frações parciais com fatores lineares repetidos. Devemos lembrar que contabilizamos fatores repetidos escrevendo cada fator em poderes crescentes.
A decomposição parcial da fração de\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), quando\(Q(x)\) tem um fator linear repetido ocorrendo n vezes e o grau de\(P(x)\) é menor que o grau de\(Q(x)\), é
\[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\]
Escreva as potências do denominador em ordem crescente.
- Use uma variável como\(A\)\(B\), ou\(C\) para os numeradores e considere as potências crescentes dos denominadores. \[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\]
- Multiplique os dois lados da equação pelo denominador comum para eliminar frações.
- Expanda o lado direito da equação e colete termos semelhantes.
- Defina coeficientes de termos semelhantes do lado esquerdo da equação iguais aos do lado direito para criar um sistema de equações para resolver os numeradores.
Decomponha a expressão racional dada com fatores lineares repetidos.
\(\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}\)
Solução
Os fatores denominadores são\(x{(x−2)}^2\). Para permitir o fator repetido de\((x−2)\), a decomposição incluirá três denominadores:\(x\)\((x−2)\),,\({(x−2)}^2\) e. Assim,
\(\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x−2)}+\dfrac{C}{{(x−2)}^2}\)
Em seguida, multiplicamos os dois lados pelo denominador comum.
\[\begin{align*} x{(x-2)}^2\left[ \dfrac{-x^2+2x+4x}{{(x-2)}^2} \right]&= \left[ \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x-2)}+\dfrac{C}{{(x-2)}^2} \right]x{(x-2)}^2\\[4pt] -x^2+2x+4&= A{(x-2)}^2+Bx(x-2)+Cx \end{align*}\]
No lado direito da equação, expandimos e coletamos termos semelhantes.
\[\begin{align*} -x^2+2x+4&= A(x^2-4x+4)+B(x^2-2x)+Cx\\[4pt] &= Ax^2-4Ax+4A+Bx^2-2Bx+Cx\\[4pt] &= (A+B)x^2+(-4A-2B+C)x+4A \end{align*}\]
Em seguida, comparamos os coeficientes de ambos os lados. Isso fornecerá o sistema de equações em três variáveis:
\[\begin{align} -x^2+2x+4 &= (A+B)x^2+(-4A-2B+C)x+4A \\[4pt] A+B &= -1 \label{2.1} \\[4pt] -4A-2B+C &= 2 \label{2.2} \\[4pt] 4A&= 4 \label{2.3} \end{align}\]
Resolvendo para\(A\) na Equação\ ref {2.3}, temos
\[\begin{align*} 4A&= 4\\[4pt] A&= 1 \end{align*}\]
Substitua\(A=1\) na Equação\ ref {2.1}.
\[\begin{align*} A+B&= -1\\[4pt] (1)+B&= -1\\[4pt] B&= -2 \end{align*}\]
Em seguida, para resolver por\(C\), substitua os valores por\(A\) e\(B\) na Equação\ ref {2.2}.
\[\begin{align*} -4A-2B+C&= 2\\[4pt] -4(1)-2(-2)+C&= 2\\[4pt] -4+4+C&= 2\\[4pt] C&= 2 \end{align*}\]
Assim,
\(\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}=\dfrac{1}{x}−\dfrac{2}{(x−2)}+\dfrac{2}{{(x−2)}^2}\)
Encontre a decomposição parcial da fração da expressão com fatores lineares repetidos.
\(\dfrac{6x−11}{{(x−1)}^2}\)
- Responda
-
\[\dfrac{6}{x−1}−\dfrac{5}{{(x−1)}^2} \nonumber\]
Decomposição\(\frac{P(x)}{Q(x)}\), onde\(Q(x)\) tem um fator quadrático irredutível não repetido
Até agora, realizamos a decomposição parcial de frações com expressões que tinham fatores lineares no denominador e aplicamos numeradores\(A\)\(B\), ou\(C\) representando constantes. Agora veremos um exemplo em que um dos fatores no denominador é uma expressão quadrática que não fatora. Isso é conhecido como um fator quadrático irredutível. Em casos como esse, usamos um numerador linear\(Ax+B\), como,\(Bx+C\), etc.
A decomposição parcial da fração de\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) tal que\(Q(x)\) tem um fator quadrático irredutível não repetido e o grau de\(P(x)\) é menor que o grau de\(Q(x)\) é escrita como
\[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1x+B_1}{(a_1x^2+b1_x+c_1)}+\dfrac{A_2x+B_2}{(a_2x^2+b_2x+c_2)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(a_nx^2+b_nx+c_n)}\]
A decomposição pode conter mais expressões racionais se houver fatores lineares. Cada fator linear terá um numerador constante diferente:\(A\),\(B\)\(C\), e assim por diante.
- Use variáveis como\(A\)\(B\), ou\(C\) para os numeradores constantes sobre fatores lineares e expressões lineares como\(A_1x+B_1\),\(A_2x+B_2\), etc., para os numeradores de cada fator quadrático no denominador.
\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{A_1x+B_1}{(a_1x^2+b1_x+c_1)}+\dfrac{A_2x+B_2}{(a_2x^2+b_2x+c_2)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(a_nx^2+b_nx+c_n)}\)
- Multiplique os dois lados da equação pelo denominador comum para eliminar frações.
- Expanda o lado direito da equação e colete termos semelhantes.
- Defina coeficientes de termos semelhantes do lado esquerdo da equação iguais aos do lado direito para criar um sistema de equações para resolver os numeradores.
Encontre uma decomposição parcial da fração da expressão dada.
\(\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}\)
Solução
Temos um fator linear e um fator quadrático irredutível no denominador, então um numerador será uma constante e o outro numerador será uma expressão linear. Assim,
\(\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}=\dfrac{A}{(x+3)}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+x+2)}\)
Seguimos as mesmas etapas dos problemas anteriores. Primeiro, limpe as frações multiplicando os dois lados da equação pelo denominador comum.
\[\begin{align*} (x+3)(x^2+x+2)\left[\dfrac{8x^2+12x-20}{(x+3)(x^2+x+2)}\right]&= \left[\dfrac{A}{(x+3)}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+x+2)}\right](x+3)(x^2+x+2)\\[4pt] 8x^2+12x-20&= A(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3) \end{align*}\]
Observe que poderíamos facilmente resolver isso\(A\) escolhendo um valor\(x\) que tornasse o\(Bx+C\) termo igual\(0\). Deixe\(x=−3\) e substitua-o na equação.
\[\begin{align*} 8x^2+12x-20&= A(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3)\\[4pt] 8{(-3)}^2+12(-3)-20&= A({(-3)}^2+(-3)+2)+(B(-3)+C)((-3)+3)\\[4pt] 16&= 8A\\[4pt] A&= 2 \end{align*}\]
Agora que sabemos o valor de\(A\), substitua-o novamente na equação. Em seguida, expanda o lado direito e colete termos semelhantes.
\[\begin{align*} 8x^2+12x-20&= 2(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3)\\[4pt] 8x^2+12x-20&= 2x^2+2x+4+Bx^2+3B+Cx+3C\\[4pt] 8x^2+12x-20&= (2+B)x^2+(2+3B+C)x+(4+3C) \end{align*}\]
Definir os coeficientes dos termos no lado direito iguais aos coeficientes dos termos no lado esquerdo fornece o sistema de equações.
\[\begin{align} 2+B&= 8 \label{3.1} \\[4pt] 2+3B+C&= 12 \label{3.2} \\[4pt] 4+3C&= -20 \label{3.3} \end{align}\]
Resolva\(B\) o uso da Equação\ ref {3.1}
\ [\ begin {align*} 2+B&= 8\ label {1}\\ [4pt] B&= 6\ end {align*}
e resolva o\(C\) uso da Equação\ ref {3.3}.
\[\begin{align*} 4+3C &= -20 \label{3} \\[4pt] 3C&= -24\\[4pt] C&= -8 \end{align*}\]
Assim, a decomposição parcial da fração da expressão é
\[\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}=\dfrac{2}{(x+3)}+\dfrac{6x−8}{(x^2+x+2)} \nonumber\]
Sim, poderíamos ter resolvido isso configurando um sistema de equações sem resolver\(A\) primeiro. A expansão à direita seria:
\[\begin{align*} 8x^2+12x-20&= Ax^2+Ax+2A+Bx^2+3B+Cx+3C\\[4pt] 8x^2+12x-20&= (A+B)x^2+(A+3B+C)x+(2A+3C) \end{align*}\]
Portanto, o sistema de equações seria:
\[\begin{align*} A+B&= 8\\[4pt] A+3B+C&= 12\\[4pt] 2A+3C&= -20 \end{align*}\]
Encontre a decomposição parcial da fração da expressão com um fator quadrático irredutível não repetido.
\[\dfrac{5x^2−6x+7}{(x−1)(x^2+1)} \nonumber\]
- Responda
-
\(\dfrac{3}{x−1}+\dfrac{2x−4}{x^2+1}\)
Decompondo\(\frac{P(x)}{Q(x)}\) quando\(Q(x)\) tem um fator quadrático irredutível repetido
Agora que podemos decompor uma expressão racional simplificada com um fator quadrático irredutível, aprenderemos como fazer a decomposição parcial de frações quando a expressão racional simplificada tiver repetido fatores quadráticos irredutíveis. A decomposição consistirá em frações parciais com numeradores lineares sobre cada fator quadrático irredutível representado em potências crescentes.
A decomposição parcial da fração de\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), quando\(Q(x)\) tem um fator quadrático irredutível repetido e o grau de\(P(x)\) é menor que o grau de\(Q(x)\), é
\[\dfrac{P(x)}{{(ax^2+bx+c)}^n}=\dfrac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)}+\dfrac{A_2x+B_2}{{(ax^2+bx+c)}^2}+\dfrac{A_3x+B_3}{{(ax^2+bx+c)}^3}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{{(ax^2+bx+c)}^n}\]
Escreva os denominadores em poderes crescentes.
- Use variáveis como\(A\)\(B\), ou\(C\) para os numeradores constantes sobre fatores lineares e expressões lineares como\(A_1x+B_1\),\(A_2x+B_2\), etc., para os numeradores de cada fator quadrático no denominador escrito em potências crescentes, como
\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)}+\dfrac{A_2x+B_2}{{(ax^2+bx+c)}^2}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{{(ax^2+bx+c)}^n}\)
- Multiplique os dois lados da equação pelo denominador comum para eliminar frações.
- Expanda o lado direito da equação e colete termos semelhantes.
- Defina coeficientes de termos semelhantes do lado esquerdo da equação iguais aos do lado direito para criar um sistema de equações para resolver os numeradores.
Decomponha a expressão dada que tem um fator irredutível repetido no denominador.
\(\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}\)
Solução
Os fatores do denominador são\(x\)\((x^2+1)\),\({(x^2+1)}^2\) e. Lembre-se de que, quando um fator no denominador é quadrático que inclui pelo menos dois termos, o numerador deve ter a forma linear\(Ax+B\). Então, vamos começar a decomposição.
\(\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+1)}+\dfrac{Dx+E}{{(x^2+1)}^2}\)
Eliminamos os denominadores multiplicando cada termo por\(x{(x^2+1)}^2\). Assim,
\[\begin{align*} x^4+x^3+x^2-x+1&= A{(x^2+1)}^2+(Bx+C)(x)(x^2+1)+(Dx+E)(x)\\[4pt] x^4+x^3+x^2-x+1&= A(x^4+2x^2+1)+Bx^4+Bx^2+Cx^3+Cx+Dx^2+Ex\qquad \text{Expand the right side.}\\[4pt] &= Ax^4+2Ax^2+A+Bx^4+Bx^2+Cx^3+Cx+Dx^2+Ex \end{align*}\]
Agora, coletaremos termos semelhantes.
\(x^4+x^3+x^2−x+1=(A+B)x^4+(C)x^3+(2A+B+D)x^2+(C+E)x+A\)
Configure o sistema de equações que correspondam aos coeficientes correspondentes em cada lado do sinal de igual.
\[\begin{align*} A+B&= 1\\[4pt] C&= 1\\[4pt] 2A+B+D&= 1\\[4pt] C+E&= -1\\[4pt] A&= 1 \end{align*}\]
Podemos usar a substituição a partir deste ponto. Substitua\(A=1\) na primeira equação.
\[\begin{align*} 1+B&= 1\\[4pt] B&= 0 \end{align*}\]
Substitua\(A=1\) e\(B=0\) na terceira equação.
\[\begin{align*} 2(1)+0+D&= 1\\[4pt] D&= -1 \end{align*}\]
Substitua\(C=1\) na quarta equação.
\[\begin{align*} 1+E&= -1\\[4pt] E&= -2 \end{align*}\]
Agora resolvemos todas as incógnitas no lado direito do sinal de igual. Nós temos\(A=1\)\(B=0\),\(C=1\)\(D=−1\),,\(E=−2\) e. Podemos escrever a decomposição da seguinte forma:
\(\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{(x^2+1)}−\dfrac{x+2}{{(x^2+1)}^2}\)
Encontre a decomposição parcial da fração da expressão com um fator quadrático irredutível repetido.
\[\dfrac{x^3−4x^2+9x−5}{{(x^2−2x+3)}^2} \nonumber\]
- Responda
-
\[\dfrac{x−2}{x^2−2x+3}+\dfrac{2x+1}{{(x^2−2x+3)}^2} \nonumber\]
Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com frações parciais.
Conceitos-chave
- Decomponha\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) escrevendo as frações parciais como\[\dfrac{A}{a_1x+b_1}+\dfrac{B}{a_2x+b_2}. \nonumber\] Resolver, limpando as frações, expandindo o lado direito, coletando termos semelhantes e definindo coeficientes correspondentes iguais entre si e, em seguida, configurando e resolvendo um sistema de equações (veja o exemplo\(\PageIndex{1}\)).
- A decomposição de\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) com fatores lineares repetidos deve levar em conta os fatores do denominador em potências crescentes (veja o exemplo\(\PageIndex{2}\)).
- A decomposição de\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) com um fator quadrático irredutível não repetido precisa de um numerador linear sobre o fator quadrático, como em\(\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{(ax^2+bx+c)}\) (veja o exemplo\(\PageIndex{3}\)).
- Na decomposição de\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), onde\(Q(x)\) tem um fator quadrático irredutível repetido, quando os fatores quadráticos irredutíveis são repetidos, as potências dos fatores denominadores devem ser representadas em potências crescentes, como\[\dfrac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+\dfrac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(ax^2+bx+c)^n} \nonumber\] Veja o exemplo\(\PageIndex{4}\).