Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Latin1Supplement.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

5.E: Funções trigonométricas (exercícios)

5.1: Ângulos

Nesta seção, examinaremos as propriedades dos ângulos.

Verbal

1) Desenhe um ângulo na posição padrão. Identifique o vértice, o lado inicial e o lado terminal.

Resposta

Gráfico de um círculo com um ângulo inscrito, mostrando o lado inicial, o lado terminal e o vértice.

2) Explique por que há um número infinito de ângulos que são coterminais a um determinado ângulo.

3) Declare o que significa um ângulo positivo ou negativo e explique como desenhar cada um.

Resposta

Se o ângulo é positivo ou negativo determina a direção. Um ângulo positivo é desenhado no sentido anti-horário e um ângulo negativo é desenhado no sentido horário.

4) Como a medida radiana de um ângulo se compara à medida do grau? Inclua uma explicação dos1 radianos em seu parágrafo.

5) Explique as diferenças entre a velocidade linear e a velocidade angular ao descrever o movimento ao longo de um caminho circular.

Responda

A velocidade linear é uma medida encontrada pelo cálculo da distância de um arco em comparação com o tempo. A velocidade angular é uma medida encontrada pelo cálculo do ângulo de um arco em comparação com o tempo.

Gráfica

Para os exercícios 6-21, desenhe um ângulo na posição padrão com a medida dada.

6)30

7)300

Responda

Gráfico de um círculo com um ângulo inscrito.

8)80

9)135

Responda

Gráfico de um círculo com um ângulo de 135 graus inscrito.

10)150

11)2π3

Responda

Gráfico de um círculo com um ângulo de 2pi/3 radianos inscrito.

12)7π4

13)5π6

Responda

Gráfico de um círculo com ângulo de 5pi/6 radianos inscrito.

14)π2

15)π10

Responda

Gráfico de um círculo com um ângulo de —pi/10 radianos inscrito.

16)415

17)120

Responda

240

Gráfico de um círculo mostrando a equivalência de dois ângulos.

18)315

19)22π3

Responda

4π3

Gráfico de um círculo mostrando a equivalência de dois ângulos.

20)π6

21)4π3

Responda

2π3

Gráfico de um círculo mostrando a equivalência de dois ângulos.

Para os exercícios 22-23, consulte a Figura abaixo. Arredonde para duas casas decimais.

Gráfico de um círculo com raio de 3 polegadas e ângulo de 140 graus.

22) Encontre o comprimento do arco.

23) Encontre a área do setor.

Responda

27π211.00 in2

Para os exercícios 24-25, consulte a Figura abaixo. Arredonde para duas casas decimais.

Gráfico de um círculo com ângulo de 2pi/5 e raio de 4,5 cm.

24) Encontre o comprimento do arco.

25) Encontre a área do setor.

Responda

81π2012.72 cm2

Algébrico

Para os exercícios 26-32, converta ângulos em radianos em graus.

26)3π4 radianos

27)π9 radianos

Responda

20

28)5π4 radianos

29)π3 radianos

Responda

60

30)7π3 radianos

31)5π12 radianos

Responda

75

32)11π6 radianos

Para os exercícios 33-39, converta ângulos em graus em radianos.

33)90

Responda

π2radianos

34)100

(35)540

Responda

3πradianos

36)120

37)180

Responda

πradianos

38)315

39)150

Responda

5π6radianos

Para os exercícios 40-45, use as informações fornecidas para encontrar o comprimento de um arco circular. Arredonde para duas casas decimais.

40) Encontre o comprimento do arco de um círculo de12 polegadas de raio subtendido por um ângulo central deπ4 radianos.

41) Encontre o comprimento do arco de um círculo de5.02 milhas de raio subtendido pelo ângulo central deπ3.

Responda

5.02π35.26milhas

42) Encontre o comprimento do arco de um círculo de14 metros de diâmetro subtendido pelo ângulo central de5π6.

43) Encontre o comprimento do arco de um círculo de10 centímetros de raio subtendido pelo ângulo central de50.

Responda

25π98.73centímetros

44) Encontre o comprimento do arco de um círculo de5 polegadas de raio subtendido pelo ângulo central de220circ.

45) Determine o comprimento do arco de um círculo de12 metros de diâmetro subtendido pelo ângulo central é63circ.

Responda

21π106.60metros

Para os exercícios 46-49, use as informações fornecidas para encontrar a área do setor. Arredonde para quatro casas decimais.

46) Um setor de um círculo tem um ângulo central de45 e um raio6 cm.

47) Um setor de um círculo tem um ângulo central de30 e um raio de20 cm.

Responda

104.7198cm2

48) Um setor de um círculo com10 pés de diâmetro e um ângulo deπ2 radianos.

49) Um setor de um círculo com raio de0.7 polegadas e um ângulo deπ radianos.

Responda

0.7697in2

Para os exercícios 50-53, determine o ângulo entre0 e360 que é coterminal ao ângulo dado.

50)40

51)110

Responda

250

52)700

53)1400

Responda

320

Para os exercícios 54-57, determine o ângulo entre0 e2π em radianos que é coterminal ao ângulo dado.

54)π9

55)10π3

Responda

4π3

(56)13π6

57)44π9

Responda

8π9

Aplicativos do mundo real

58) Um caminhão com rodas de32 -polegadas de diâmetro está viajando a60 mi/h. Encontre a velocidade angular das rodas em rad/min. Quantas rotações por minuto as rodas fazem?

59) Uma bicicleta com rodas24 de 5 polegadas de diâmetro está viajando a15 mi/h. Encontre a velocidade angular das rodas em rad/min. Quantas rotações por minuto as rodas fazem?

Responda

1320210.085RPM de leitura

60) Uma roda de8 polegadas de raio está girando15/s. Qual é a velocidade linearv, a velocidade angular em RPM e a velocidade angular em rad/s?

61) Uma roda de14 polegadas de raio está girando0.5rad/s. Qual é a velocidade linearv, a velocidade angular em RPM e a velocidade angular em graus/s?

Responda

7em. /s,4.77 RPM,28.65 graus/s

62) Um CD tem diâmetro de120 milímetros. Ao reproduzir áudio, a velocidade angular varia para manter a velocidade linear constante onde o disco está sendo lido. Ao ler ao longo da borda externa do disco, a velocidade angular é de cerca de200 RPM (rotações por minuto). Encontre a velocidade linear.

63) Ao ser gravado em uma unidade de CD-R gravável, a velocidade angular de um CD geralmente é muito mais rápida do que ao reproduzir áudio, mas a velocidade angular ainda varia para manter a velocidade linear constante onde o disco está sendo gravado. Ao escrever ao longo da borda externa do disco, a velocidade angular de uma unidade é de aproximadamente4800 RPM (rotações por minuto). Determine a velocidade linear se o CD tiver um diâmetro de120 milímetros.

Responda

1,809,557.37 mm/min=30.16 m/s

64) Uma pessoa está no equador da Terra (raio de3960 milhas). Quais são suas velocidades lineares e angulares?

65) Encontre a distância ao longo de um arco na superfície da Terra que subtende um ângulo central de5 minutos(1 minute=160 degree). O raio da Terra é de3960 milhas.

Responda

5.76milhas

66) Encontre a distância ao longo de um arco na superfície da Terra que subtende um ângulo central de7 minutos(1 minute=160 degree). O raio da Terra é de3960 milhas.

67) Considere um relógio com um ponteiro das horas e dos minutos. Qual é a medida do ângulo que o ponteiro dos minutos traça em20 minutos?

Responda

120°

Extensões

68) Duas cidades têm a mesma longitude. A latitude da cidade A é9.00 graus norte e a latitude da cidade B é30.00 grau norte. Suponha que o raio da Terra seja de3960 milhas. Encontre a distância entre as duas cidades.

69) Uma cidade está localizada em40 graus de latitude norte. Suponha que o raio da Terra seja de3960 milhas e que a Terra gire uma vez a cada24 hora. Encontre a velocidade linear de uma pessoa que reside nesta cidade.

Responda

794milhas por hora

70) Uma cidade está localizada em75 graus de latitude norte. Suponha que o raio da Terra seja de3960 milhas e que a Terra gire uma vez a cada24 hora. Encontre a velocidade linear de uma pessoa que reside nesta cidade.

71) Encontre a velocidade linear da lua se a distância média entre a Terra e a lua for de239,000 milhas, assumindo que a órbita da lua é circular e requer cerca de28 dias. Resposta expressa em milhas por hora.

Responda

2,234milhas por hora

72) Uma bicicleta tem rodas em28 polegadas de diâmetro. Um tacômetro determina que as rodas estão girando em180 RPM (rotações por minuto). Descubra a velocidade em que a bicicleta está percorrendo a estrada.

73) Um carro viaja3 milhas. Seus pneus fazem2640 revoluções. Qual é o raio de um pneu em polegadas?

Responda

11.5polegadas

74) Uma roda em um trator tem um diâmetro24 de -polegadas. Quantas rotações a roda faz se o trator viajar4 quilômetros?

5.2: Círculo unitário - Funções de seno e cosseno

Verbal

1) Descreva o círculo unitário.

Responda

O círculo unitário é um círculo de raio1 centrado na origem.

2) O que representam asy coordenadasx - e -dos pontos no círculo unitário?

3) Discuta a diferença entre um ângulo coterminal e um ângulo de referência.

Responda

Ângulos coterminais são ângulos que compartilham o mesmo lado terminal. Um ângulo de referência é o tamanho do menor ângulo agudot, formado pelo lado terminal do ângulot e pelo eixo horizontal.

4) Explique como o cosseno de um ângulo no segundo quadrante difere do cosseno de seu ângulo de referência no círculo unitário.

5) Explique como o seno de um ângulo no segundo quadrante difere do seno de seu ângulo de referência no círculo unitário.

Responda

Os valores senoidais são iguais.

Algébrico

Para os exercícios 6-9, use o sinal dado das funções seno e cosseno para encontrar o quadrante no qual o ponto terminal determinado port está.

6) \sin (t)<0 e \cos (t)<0

7) \sin (t)>0 e \cos (t)>0

Responda

\textrm{I}

8) \sin (t)>0 e \cos (t)<0

9) \sin (t)<0 e \cos (t)>0

Responda

\textrm{IV}

Para os exercícios 10-22, encontre o valor exato de cada função trigonométrica.

10)\sin \dfrac{π}{2}

11)\sin \dfrac{π}{3}

Responda

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

12) \cos \dfrac{π}{2}

13) \cos \dfrac{π}{3}

Responda

\dfrac{1}{2}

14) \sin \dfrac{π}{4}

15) \cos \dfrac{π}{4}

Responda

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

16) \sin \dfrac{π}{6}

17) \sin π

Responda

0

18) \sin \dfrac{3π}{2}

19) \cos π

Responda

−1

20) \cos 0

21)cos \dfrac{π}{6}

Responda

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

22) \sin 0

Numérico

Para os exercícios 23-33, indique o ângulo de referência para o ângulo dado.

23)240°

Responda

60°

24)−170°

25)100°

Responda

80°

26)−315°

27)135°

Responda

45°

28)\dfrac{5π}{4}

29)\dfrac{2π}{3}

Responda

\dfrac{π}{3}

30)\dfrac{5π}{6}

31)−\dfrac{11π}{3}

Responda

\dfrac{π}{3}

32)\dfrac{−7π}{4}

33)\dfrac{−π}{8}

Responda

\dfrac{π}{8}

Para os exercícios 34-49, determine o ângulo de referência, o quadrante do lado terminal e o seno e o cosseno de cada ângulo. Se o ângulo não for um dos ângulos do círculo unitário, use uma calculadora e arredonde para três casas decimais.

34)225°

(35)300°

Responda

60°, Quadrante IV, \sin (300°)=−\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos (300°)=\dfrac{1}{2}

36)320°

37)135°

Responda

45°, Quadrante II, \sin (135°)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos (135°)=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}

38)210°

39)120°

Responda

60°, Quadrante II,\sin (120°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\cos (120°)=−\dfrac{1}{2}

40)250°

41)150°

Responda

30°, Quadrante II, \sin (150°)=\frac{1}{2},\cos(150°)=−\dfrac{\sqrt{3}}{2}

(42)\dfrac{5π}{4}

43)\dfrac{7π}{6}

Responda

\dfrac{π}{6}, Quadrante III\sin \left( \dfrac{7π}{6}\right )=−\dfrac{1}{2},\cos \left (\dfrac{7π}{6} \right)=−\dfrac{\sqrt{3}}{2}

44)\dfrac{5π}{3}

45)\dfrac{3π}{4}

Responda

\dfrac{π}{4}, Quadrante II,\sin \left(\dfrac{3π}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\cos\left(\dfrac{4π}{3}\right)=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}

(46)\dfrac{4π}{3}

47)\dfrac{2π}{3}

Responda

\dfrac{π}{3}, Quadrante II, \sin \left(\dfrac{2π}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos \left(\dfrac{2π}{3}\right)=−\dfrac{1}{2}

48)\dfrac{5π}{6}

49)\dfrac{7π}{4}

Resposta

\dfrac{π}{4}, Quadrante IV, \sin \left(\dfrac{7π}{4}\right)=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos \left(\dfrac{7π}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Para os exercícios 50-59, encontre o valor solicitado.

50) Se\cos (t)=\dfrac{1}{7} et estiver no4^{th} quadrante, encontre \sin (t).

51) Se \cos (t)=\dfrac{2}{9} et estiver no1^{st} quadrante, encontre\sin (t).

Responda

\dfrac{\sqrt{77}}{9}

52) Se\sin (t)=\dfrac{3}{8} et estiver no2^{nd} quadrante, encontre \cos (t).

53) Se \sin (t)=−\dfrac{1}{4} et estiver no3^{rd} quadrante, encontre\cos (t).

Responda

−\dfrac{\sqrt{15}}{4}

54) Encontre as coordenadas do ponto em um círculo com raio15 correspondente a um ângulo de220°.

55) Encontre as coordenadas do ponto em um círculo com raio20 correspondente a um ângulo de120°.

Responda

(−10,10\sqrt{3})

56) Encontre as coordenadas do ponto em um círculo com raio8 correspondente a um ângulo de\dfrac{7π}{4}.

57) Encontre as coordenadas do ponto em um círculo com raio16 correspondente a um ângulo de\dfrac{5π}{9}.

Responda

(–2.778,15.757)

58) Declare o domínio das funções seno e cosseno.

59) Declare a faixa das funções seno e cosseno.

Responda

[–1,1]

Gráfica

Para os exercícios 60-79, use o ponto dado no círculo unitário para encontrar o valor do seno e do cosseno det.

60)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (raiz quadrada de 2 sobre 2, raiz quadrada de 2 sobre 2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo

61)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (raiz quadrada negativa de 3 sobre 2, 1/2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

Responda

\sin t=\dfrac{1}{2}, \cos t=−\dfrac{\sqrt{3}}{2}

62)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (1/2, raiz quadrada negativa de 3 sobre 2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

63)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (raiz quadrada negativa de 2 sobre 2, raiz quadrada negativa de 2 sobre 2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

Responda

\sin t=− \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos t=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}

64)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (1/2, raiz quadrada de 3 sobre 2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

65)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (-1/2, raiz quadrada de 3 sobre 2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

Responda

\sin t=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\cos t=−\dfrac{1}{2}

66)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (-1/2, raiz quadrada negativa de 3 sobre 2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

67)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (raiz quadrada de 2 sobre 2, raiz quadrada negativa de 2 sobre 2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

Responda

\sin t=− \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos t=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

68)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (1,0) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

69)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (-1,0) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

Responda

\sin t=0, \cos t=−1

70)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (0,111.0,994) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

71)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (0,803, -0,596) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

Responda

\sin t=−0.596, \cos t=0.803

72)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (raiz quadrada negativa de 2 sobre 2, raiz quadrada de 2 sobre 2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

73)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (raiz quadrada de 3 sobre 2, 1/2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

Responda

\sin t=\dfrac{1}{2}, \cos t= \dfrac{\sqrt{3}}{2}

74)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (raiz quadrada negativa de 3 sobre 2, -1/2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

75)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (raiz quadrada de 3 sobre 2, -1/2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

Responda

\sin t=−\dfrac{1}{2}, \cos t= \dfrac{\sqrt{3}}{2}

76)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (0, -1) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

77)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (-0,649, 0,761) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

Responda

\sin t=0.761, \cos t=−0.649

78)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (-0,948, -0,317) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

79)

Gráfico de um círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (0, 1) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

Responda

\sin t=1, \cos t=0

Tecnologia

Para os exercícios 80-89, use uma calculadora gráfica para avaliar.

80) \sin \dfrac{5π}{9}

81)cos \dfrac{5π}{9}

Responda

−0.1736

(82) \sin \dfrac{π}{10}

83) \cos \dfrac{π}{10}

Responda

0.9511

84) \sin \dfrac{3π}{4}

85)\cos \dfrac{3π}{4}

Responda

−0.7071

86) \sin 98°

87) \cos 98°

Responda

−0.1392

88) \cos 310°

89) \sin 310°

Responda

−0.7660

Extensões

Para os exercícios 90-99, avalie.

90) \sin \left(\dfrac{11π}{3}\right) \cos \left(\dfrac{−5π}{6}\right)

91) \sin \left(\dfrac{3π}{4}\right) \cos \left(\dfrac{5π}{3}\right)

Responda

\dfrac{\sqrt{2}}{4}

(92) \sin \left(− \dfrac{4π}{3}\right) \cos \left(\dfrac{π}{2}\right)

93) \sin \left(\dfrac{−9π}{4}\right) \cos \left(\dfrac{−π}{6}\right)

Responda

−\dfrac{\sqrt{6}}{4}

94) \sin \left(\dfrac{π}{6}\right) \cos \left(\dfrac{−π}{3}\right)

95) \sin \left(\dfrac{7π}{4}\right) \cos \left(\dfrac{−2π}{3}\right)

Responda

\dfrac{\sqrt{2}}{4}

96) \cos \left(\dfrac{5π}{6}\right) \cos \left(\dfrac{2π}{3}\right)

(97) \cos \left(\dfrac{−π}{3}\right) \cos \left(\dfrac{π}{4}\right)

Responda

\dfrac{\sqrt{2}}{4}

98) \sin \left(\dfrac{−5π}{4}\right) \sin \left(\dfrac{11π}{6}\right)

99) \sin (π) \sin \left(\dfrac{π}{6}\right)

Responda

0

Aplicativos do mundo real

Para os exercícios 100-104, use este cenário: uma criança entra em um carrossel que leva um minuto para girar uma vez. A criança entra no ponto(0,1), ou seja, na posição norte devida. Suponha que o carrossel gire no sentido anti-horário.

100) Quais são as coordenadas da criança após45 alguns segundos?

101) Quais são as coordenadas da criança após90 alguns segundos?

Responda

(0,–1)

102) Quais são as coordenadas da criança após125 alguns segundos?

103) Quando a criança terá as coordenadas(0.707,–0.707) se a viagem durar6 minutos? (Há várias respostas.)

Responda

37.5segundos,97.5 segundos,157.5 segundos,217.5 segundos,277.5 segundos,337.5 segundos

104) Quando a criança terá as coordenadas(−0.866,−0.5) se a viagem durar6 minutos?

5.3: As outras funções trigonométricas

Verbal

1) Em um intervalo de[ 0,2π ), os valores de seno e cosseno de uma medida em radianos podem ser iguais? Em caso afirmativo, onde?

Responda

Sim, quando o ângulo de referência é\dfrac{π}{4} e o lado terminal do ângulo está nos quadrantes I e III. Assim, emx=\dfrac{π}{4},\dfrac{5π}{4}, os valores de seno e cosseno são iguais.

2) O que você estimaria o cosseno de\pi graus? Explique seu raciocínio.

3) Para qualquer ângulo no quadrante II, se você soubesse o seno do ângulo, como você poderia determinar o cosseno do ângulo?

Responda

Substitua o seno do ângulo pory no Teorema de Pitágorasx^2+y^2=1. Resolvax e pegue a solução negativa.

4) Descreva a função secante.

5) A tangente e a cotangente têm um período deπ. O que isso nos diz sobre a saída dessas funções?

Responda

As saídas de tangente e cotangente se repetirão a cadaπ unidade.

Algébrico

Para os exercícios 6-17, encontre o valor exato de cada expressão.

6) \tan \dfrac{π}{6}

7)\sec \dfrac{π}{6}

Responda

\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

8) \csc \dfrac{π}{6}

9) \cot \dfrac{π}{6}

Responda

\sqrt{3}

10) \tan \dfrac{π}{4}

11) \sec \dfrac{π}{4}

Responda

\sqrt{2}

12) \csc \dfrac{π}{4}

13) \cot \dfrac{π}{4}

Responda

1

14) \tan \dfrac{π}{3}

15) \sec \dfrac{π}{3}

Responda

2

16) \csc \dfrac{π}{3}

17) \cot \dfrac{π}{3}

Responda

\dfrac{\sqrt{3}}{3}

Para os exercícios 18-48, use ângulos de referência para avaliar a expressão.

18) \tan \dfrac{5π}{6}

19) \sec \dfrac{7π}{6}

Responda

−\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

20) \csc \dfrac{11π}{6}

21) \cot \dfrac{13π}{6}

Responda

\sqrt{3}

22) \tan \dfrac{7π}{4}

23) \sec \dfrac{3π}{4}

Responda

−\sqrt{2}

24) \csc \dfrac{5π}{4}

25) \cot \dfrac{11π}{4}

Responda

−1

26) \tan \dfrac{8π}{3}

27) \sec \dfrac{4π}{3}

Responda

−2

28) \csc \dfrac{2π}{3}

29) \cot \dfrac{5π}{3}

Responda

−\dfrac{\sqrt{3}}{3}

30) \tan 225°

31) \sec 300°

Responda

2

32) \csc 150°

33) \cot 240°

Responda

\dfrac{\sqrt{3}}{3}

34) \tan 330°

(35) \sec 120°

Responda

−2

36) \csc 210°

37) \cot 315°

Responda

−1

38) Se \sin t= \dfrac{3}{4}, et estiver no quadrante II, encontre \cos t, \sec t, \csc t, \tan t, \cot t .

39) Se \cos t=−\dfrac{1}{3}, et estiver no quadrante III, encontre \sin t, \sec t, \csc t, \tan t, \cot t.

Responda

E se\sin t=−\dfrac{2\sqrt{2}}{3}, \sec t=−3, \csc t=−\csc t=−\dfrac{3\sqrt{2}}{4},\tan t=2\sqrt{2}, \cot t= \dfrac{\sqrt{2}}{4}

40) Se\tan t=\dfrac{12}{5}, e0≤t< \dfrac{π}{2}, encontre \sin t, \cos t, \sec t, \csc t,\cot t e.

41) Se \sin t= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sec t, \csc t, \tan t, e \cos t=\dfrac{1}{2}, encontre \cot t e.

Responda

\sec t=2, \csc t=\csc t=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}, \tan t= \sqrt{3}, \cot t= \dfrac{\sqrt{3}}{3}

42) Se \sin 40°≈0.643 \; \cos 40°≈0.766 \; \sec 40°,\csc 40°,\tan 40°, \text{ and } \cot 40°.

43) Se \sin t= \dfrac{\sqrt{2}}{2}, o que é o \sin (−t)?

Responda

−\dfrac{\sqrt{2}}{2}

44) Se \cos t= \dfrac{1}{2}, o que é o \cos (−t)?

45) Se \sec t=3.1, o que é o \sec (−t)?

Responda

3.1

46) Se \csc t=0.34, o que é o \csc (−t)?

47) Se \tan t=−1.4, o que é o \tan (−t)?

Responda

1.4

48) Se \cot t=9.23, o que é o \cot (−t)?

Gráfica

Para os exercícios 49-51, use o ângulo no círculo unitário para encontrar o valor de cada uma das seis funções trigonométricas.

49)

Esta é uma imagem de um gráfico de círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (raiz quadrada de 2 sobre 2, raiz quadrada de 2 sobre 2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

Responda

\sin t= \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos t= \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \tan t=1,\cot t=1,\sec t= \sqrt{2}, \csc t= \csc t= \sqrt{2}

50)

Esta é uma imagem de um gráfico de círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (raiz quadrada de 3 sobre 2, 1/2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

51)

Esta é uma imagem de um gráfico de círculo com ângulo de t inscrito. O ponto de (-1/2, raiz quadrada negativa de 3 sobre 2) está na interseção do lado terminal do ângulo e da borda do círculo.

Responda

\sin t=−\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos t=−\dfrac{1}{2}, \tan t=\sqrt{3}, \cot t= \dfrac{\sqrt{3}}{3}, \sec t=−2, \csc t=−\csc t=−\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

Tecnologia

Para os exercícios 52-61, use uma calculadora gráfica para avaliar.

52) \csc \dfrac{5π}{9}

53) \cot \dfrac{4π}{7}

Responda

–0.228

54) \sec \dfrac{π}{10}

55) \tan \dfrac{5π}{8}

Responda

–2.414

56) \sec \dfrac{3π}{4}

57) \csc \dfrac{π}{4}

Responda

1.414

(58) \tan 98°

(59) \cot 33°

Responda

1.540

60) \cot 140°

61) \sec 310°

Responda

1.556

Extensões

Para os exercícios 62-69, use identidades para avaliar a expressão.

62) Se\tan (t)≈2.7, e \sin (t)≈0.94, encontrar \cos (t).

63) Se \tan (t)≈1.3, e \cos (t)≈0.61, encontre \sin (t).

Responda

\sin (t)≈0.79

64) Se \csc (t)≈3.2, \csc (t)≈3.2, e \cos (t)≈0.95, encontrar \tan (t).

65) Se \cot (t)≈0.58, e \cos (t)≈0.5, encontrar \csc (t).

Responda

\csc (t)≈1.16

66) Determine se a funçãof(x)=2 \sin x \cos x é par, ímpar ou nenhuma.

67) Determine se a funçãof(x)=3 \sin ^2 x \cos x + \sec x é par, ímpar ou nenhuma.

Responda

uniforme

68) Determine se a funçãof(x)= \sin x −2 \cos ^2 x é par, ímpar ou nenhuma.

69) Determine se a funçãof(x)= \csc ^2 x+ \sec x é par, ímpar ou nenhuma.

Responda

uniforme

Para os exercícios 70-71, use identidades para simplificar a expressão.

70) \csc t \tan t

71) \dfrac{\sec t}{ \csc t}

Responda

\dfrac{ \sin t}{ \cos t}= \tan t

Aplicativos do mundo real

72) A quantidade de luz solar em uma determinada cidade pode ser modelada pela funçãoh=15 \cos \left(\dfrac{1}{600}d\right), ondeh representa as horas de luz solar ed é o dia do ano. Use a equação para descobrir quantas horas de luz solar existem em 10 de fevereiro, o42^{nd} dia do ano. Indique o período da função.

73) A quantidade de luz solar em uma determinada cidade pode ser modelada pela funçãoh=16 \cos \left(\dfrac{1}{500}d\right), ondeh representa as horas de luz solar ed é o dia do ano. Use a equação para descobrir quantas horas de luz solar existem em 24 de setembro, o267^{th} dia do ano. Indique o período da função.

Responda

13.77horas, período:1000π

74) A equaçãoP=20 \sin (2πt)+100 modela a pressão arterial,P, ondet representa o tempo em segundos.

  1. Encontre a pressão arterial após15 alguns segundos.
  2. Quais são as pressões arterial máxima e mínima?

75) A altura de um pistãoh, em polegadas, pode ser modelada pela equação emy=2 \cos x+6, quex representa o ângulo da manivela. Encontre a altura do pistão quando o ângulo da manivela estiver55°.

Responda

7.73polegadas

76) A altura de um pistãoh, em polegadas, pode ser modelada pela equação emy=2 \cos x+5, quex representa o ângulo da manivela. Encontre a altura do pistão quando o ângulo da manivela estiver55°.

5.4: Trigonometria do triângulo reto

Verbal

1) Para o triângulo direito fornecido, identifique o lado adjacente, o lado oposto e a hipotenusa para o ângulo indicado.

Um triângulo reto.

Responda

Um triângulo reto com o lado oposto, adjacente e hipotenusa marcada.

2) Quando um triângulo reto com uma hipotenusa de1 é colocado no círculo unitário, quais lados do triângulo correspondem àsy coordenadasx - e -?

3) A tangente de um ângulo compara quais lados do triângulo reto?

Resposta

A tangente de um ângulo é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente.

4) Qual é a relação entre os dois ângulos agudos em um triângulo reto?

5) Explique a identidade da cofunção.

Resposta

Por exemplo, o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complemento; o cosseno de um ângulo é igual ao seno de seu complemento.

Algébrico

Para os exercícios 6-9, use cofunções de ângulos complementares.

6) \cos (34°)= \sin (\_\_°)

7) \cos (\dfrac{π}{3})= \sin (\_\_\_)

Resposta

\dfrac{π}{6}

8) \csc (21°) = \sec (\_\_\_°)

9) \tan (\dfrac{π}{4})= \cot (\_\_)

Resposta

\dfrac{π}{4}

Para os exercícios 10-16, determine o comprimento dos lados faltantes se o ladoa for o ângulo opostoA, o ladob for o ânguloB oposto e o ladoc for a hipotenusa.

10) \cos B= \dfrac{4}{5},a=10

11) \sin B= \dfrac{1}{2}, a=20

Resposta

b= \dfrac{20\sqrt{3}}{3},c= \dfrac{40\sqrt{3}}{3}

12) \tan A= \dfrac{5}{12},b=6

13) \tan A=100,b=100

Resposta

a=10,000,c=10,000.5

14)\sin B=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, a=2

15)a=5, ∡ A=60^∘

Resposta

b=\dfrac{5\sqrt{3}}{3},c=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}

16)c=12, ∡ A=45^∘

Gráfica

Para os exercícios 17-22, use a Figura abaixo para avaliar cada função trigonométrica do ânguloA.

Um triângulo reto com lados 4 e 10 e ângulo de A rotulado que é oposto ao lado rotulado 10.

17)\sin A

Resposta

\dfrac{5\sqrt{29}}{29}

18) \cos A

19) \tan A

Resposta

\dfrac{5}{2}

20)\csc A

21) \sec A

Resposta

\dfrac{\sqrt{29}}{2}

22) \cot A

Para os exercícios 23-,28 use a Figura abaixo para avaliar cada função trigonométrica do ânguloA.

Um triângulo reto com lados de 10 e 8 e ângulo de A rotulado que é oposto ao lado rotulado 10.

23) \sin A

Resposta

\dfrac{5\sqrt{41}}{41}

24) \cos A

25) \tan A

Resposta

\dfrac{5}{4}

26) \csc A

27) \sec A

Resposta

\dfrac{\sqrt{41}}{4}

28)\cot A

Para os exercícios 29-31, resolva os lados desconhecidos de um determinado triângulo.

29)

Um triângulo reto com lados de 7, b e c rotulados. Ângulos de B e 30 graus também identificados. O ângulo de 30 graus é oposto ao lado rotulado 7.

Resposta

c=14, b=7\sqrt{3}

30)

Um triângulo reto com lados de 10, a e c. Ângulos de 60 graus e A também rotulados. O ângulo de 60 graus é oposto ao lado rotulado 10.

31)

Um triângulo reto com cantos rotulados A, B e C. A hipotenusa tem um comprimento de 15 vezes a raiz quadrada de 2. O ângulo B é de 45 graus.

Resposta

a=15, b=15

Tecnologia

Para os exercícios 32-41, use uma calculadora para encontrar o comprimento de cada lado com quatro casas decimais.

32)

Um triângulo reto com lados de 10, a e c. Ângulos de A e 62 graus também são rotulados. O ângulo de 62 graus é oposto ao lado rotulado 10.

33)

Um triângulo reto com lados de 7, b e c. Ângulos de 35 graus e B também são rotulados.

Resposta

b=9.9970, c=12.2041

34)

Um triângulo reto com os lados de a, b e 10 rotulados. Ângulos de 65 graus e B também são rotulados.

35)

Um triângulo reto com os lados a, b e 12. Ângulos de 10 graus e B também são rotulados.

Resposta

a=2.0838, b=11.8177

36)

Um triângulo reto com cantos rotulados A, B e C. Lados identificados como b, c e 16,5. Ângulo de 81 graus também rotulado.

37)b=15, ∡B=15^∘

Resposta

a=55.9808,c=57.9555

38)c=200, ∡B=5^∘

39)c=50, ∡B=21^∘

Resposta

a=46.6790,b=17.9184

40)a=30, ∡A=27^∘

41)b=3.5, ∡A=78^∘

Resposta

a=16.4662,c=16.8341

Extensões

42) Encontrarx.

Um triângulo com ângulos de 63 graus e 39 graus e lado x. Bissetriz em triângulo com comprimento de 82.

43) Encontrarx.

Um triângulo com ângulos de 36 graus e 50 graus e lado x. Bissetriz em triângulo com comprimento de 85.

Resposta

188.3159

44) Encontrex.

Um triângulo reto com lado de 115 e ângulo de 35 graus. Dentro do triângulo reto, há outro triângulo reto com ângulo de 56 graus. A diferença de comprimento lateral entre dois triângulos é x.

45) Encontrarx.

Um triângulo reto com lado 119 e ângulo de 26 graus. Dentro do triângulo reto, há outro triângulo reto com ângulo de 70 graus em vez de 26 graus. A diferença no comprimento lateral entre dois triângulos é x.

Resposta

200.6737

46) Uma torre de rádio está localizada a400 poucos metros de um prédio. De uma janela do prédio, uma pessoa determina que o ângulo de elevação até o topo da torre é36° e que o ângulo de depressão em relação à parte inferior da torre é23°. Qual é a altura da torre?

47) Uma torre de rádio está localizada a325 poucos metros de um prédio. De uma janela do prédio, uma pessoa determina que o ângulo de elevação até o topo da torre é43° e que o ângulo de depressão em relação à parte inferior da torre é31°. Qual é a altura da torre?

Resposta

498.3471pés

48) Um monumento200 de um metro de altura está localizado à distância. De uma janela de um prédio, uma pessoa determina que o ângulo de elevação até o topo do monumento é15° e que o ângulo de depressão em relação ao fundo da torre é. A que distância a pessoa está do monumento?

49) Um monumento400 de um metro de altura está localizado à distância. De uma janela de um prédio, uma pessoa determina que o ângulo de elevação até o topo do monumento é18° e que o ângulo de depressão em relação à parte inferior do monumento é. A que distância a pessoa está do monumento?

Resposta

1060.09pés

50) Há uma antena no topo de um prédio. De um local a300 pés da base do edifício, o ângulo de elevação até o topo do edifício é medido como sendo40°. Do mesmo local, o ângulo de elevação até o topo da antena é medido como sendo43°. Encontre a altura da antena.

51) Há um pára-raios no topo de um prédio. De um local a500 pés da base do edifício, o ângulo de elevação até o topo do edifício é medido como sendo36°. Do mesmo local, o ângulo de elevação até o topo do pára-raios é medido como sendo38°. Encontre a altura do pára-raios.

Resposta

27.372pés

Aplicativos do mundo real

52) Uma escada33 de pés se inclina contra um prédio de forma que o ângulo entre o solo e a escada seja80°. Qual a altura da escada até a lateral do prédio?

53) Uma escada23 de pés se inclina contra um prédio de forma que o ângulo entre o solo e a escada seja80°. Qual a altura da escada até a lateral do prédio?

Resposta

22.6506pés

54) O ângulo de elevação até o topo de um edifício em Nova York é encontrado em9 graus do solo a uma distância de um1 quilômetro da base do edifício. Usando essas informações, encontre a altura do prédio.

55) O ângulo de elevação até o topo de um edifício em Seattle é encontrado em2 graus do solo a uma distância de2 quilômetros da base do edifício. Usando essas informações, encontre a altura do prédio.

Resposta

368.7633pés

56) Supondo que uma sequóia gigante de um370 metro de altura cresça verticalmente, se eu andar uma certa distância da árvore e medir o ângulo de elevação até o topo da árvore60°, a que distância estou da base da árvore?