5.E: Funções trigonométricas (exercícios)
5.1: Ângulos
Nesta seção, examinaremos as propriedades dos ângulos.
Verbal
1) Desenhe um ângulo na posição padrão. Identifique o vértice, o lado inicial e o lado terminal.
- Resposta
2) Explique por que há um número infinito de ângulos que são coterminais a um determinado ângulo.
3) Declare o que significa um ângulo positivo ou negativo e explique como desenhar cada um.
- Resposta
-
Se o ângulo é positivo ou negativo determina a direção. Um ângulo positivo é desenhado no sentido anti-horário e um ângulo negativo é desenhado no sentido horário.
4) Como a medida radiana de um ângulo se compara à medida do grau? Inclua uma explicação dos1 radianos em seu parágrafo.
5) Explique as diferenças entre a velocidade linear e a velocidade angular ao descrever o movimento ao longo de um caminho circular.
- Responda
-
A velocidade linear é uma medida encontrada pelo cálculo da distância de um arco em comparação com o tempo. A velocidade angular é uma medida encontrada pelo cálculo do ângulo de um arco em comparação com o tempo.
Gráfica
Para os exercícios 6-21, desenhe um ângulo na posição padrão com a medida dada.
6)30∘
7)300∘
- Responda
8)−80∘
9)135∘
- Responda
10)−150∘
11)2π3
- Responda
12)7π4
13)5π6
- Responda
14)π2
15)−π10
- Responda
16)415∘
17)−120∘
- Responda
-
240∘
18)−315∘
19)22π3
- Responda
-
4π3
20)−π6
21)−4π3
- Responda
-
2π3
Para os exercícios 22-23, consulte a Figura abaixo. Arredonde para duas casas decimais.
22) Encontre o comprimento do arco.
23) Encontre a área do setor.
- Responda
-
27π2≈11.00 in2
Para os exercícios 24-25, consulte a Figura abaixo. Arredonde para duas casas decimais.
24) Encontre o comprimento do arco.
25) Encontre a área do setor.
- Responda
-
81π20≈12.72 cm2
Algébrico
Para os exercícios 26-32, converta ângulos em radianos em graus.
26)3π4 radianos
27)π9 radianos
- Responda
-
20∘
28)−5π4 radianos
29)π3 radianos
- Responda
-
60∘
30)−7π3 radianos
31)−5π12 radianos
- Responda
-
−75∘
32)11π6 radianos
Para os exercícios 33-39, converta ângulos em graus em radianos.
33)90∘
- Responda
-
π2radianos
34)100∘
(35)−540∘
- Responda
-
−3πradianos
36)−120∘
37)180∘
- Responda
-
πradianos
38)−315∘
39)150∘
- Responda
-
5π6radianos
Para os exercícios 40-45, use as informações fornecidas para encontrar o comprimento de um arco circular. Arredonde para duas casas decimais.
40) Encontre o comprimento do arco de um círculo de12 polegadas de raio subtendido por um ângulo central deπ4 radianos.
41) Encontre o comprimento do arco de um círculo de5.02 milhas de raio subtendido pelo ângulo central deπ3.
- Responda
-
5.02π3≈5.26milhas
42) Encontre o comprimento do arco de um círculo de14 metros de diâmetro subtendido pelo ângulo central de5π6.
43) Encontre o comprimento do arco de um círculo de10 centímetros de raio subtendido pelo ângulo central de50∘.
- Responda
-
25π9≈8.73centímetros
44) Encontre o comprimento do arco de um círculo de5 polegadas de raio subtendido pelo ângulo central de220circ.
45) Determine o comprimento do arco de um círculo de12 metros de diâmetro subtendido pelo ângulo central é63circ.
- Responda
-
21π10≈6.60metros
Para os exercícios 46-49, use as informações fornecidas para encontrar a área do setor. Arredonde para quatro casas decimais.
46) Um setor de um círculo tem um ângulo central de45∘ e um raio6 cm.
47) Um setor de um círculo tem um ângulo central de30∘ e um raio de20 cm.
- Responda
-
104.7198cm2
48) Um setor de um círculo com10 pés de diâmetro e um ângulo deπ2 radianos.
49) Um setor de um círculo com raio de0.7 polegadas e um ângulo deπ radianos.
- Responda
-
0.7697in2
Para os exercícios 50-53, determine o ângulo entre0∘ e360∘ que é coterminal ao ângulo dado.
50)−40∘
51)−110∘
- Responda
-
250∘
52)700∘
53)1400∘
- Responda
-
320∘
Para os exercícios 54-57, determine o ângulo entre0 e2π em radianos que é coterminal ao ângulo dado.
54)−π9
55)10π3
- Responda
-
4π3
(56)13π6
57)44π9
- Responda
-
8π9
Aplicativos do mundo real
58) Um caminhão com rodas de32 -polegadas de diâmetro está viajando a60 mi/h. Encontre a velocidade angular das rodas em rad/min. Quantas rotações por minuto as rodas fazem?
59) Uma bicicleta com rodas24 de 5 polegadas de diâmetro está viajando a15 mi/h. Encontre a velocidade angular das rodas em rad/min. Quantas rotações por minuto as rodas fazem?
- Responda
-
1320210.085RPM de leitura
60) Uma roda de8 polegadas de raio está girando15∘/s. Qual é a velocidade linearv, a velocidade angular em RPM e a velocidade angular em rad/s?
61) Uma roda de14 polegadas de raio está girando0.5rad/s. Qual é a velocidade linearv, a velocidade angular em RPM e a velocidade angular em graus/s?
- Responda
-
7em. /s,4.77 RPM,28.65 graus/s
62) Um CD tem diâmetro de120 milímetros. Ao reproduzir áudio, a velocidade angular varia para manter a velocidade linear constante onde o disco está sendo lido. Ao ler ao longo da borda externa do disco, a velocidade angular é de cerca de200 RPM (rotações por minuto). Encontre a velocidade linear.
63) Ao ser gravado em uma unidade de CD-R gravável, a velocidade angular de um CD geralmente é muito mais rápida do que ao reproduzir áudio, mas a velocidade angular ainda varia para manter a velocidade linear constante onde o disco está sendo gravado. Ao escrever ao longo da borda externa do disco, a velocidade angular de uma unidade é de aproximadamente4800 RPM (rotações por minuto). Determine a velocidade linear se o CD tiver um diâmetro de120 milímetros.
- Responda
-
1,809,557.37 mm/min=30.16 m/s
64) Uma pessoa está no equador da Terra (raio de3960 milhas). Quais são suas velocidades lineares e angulares?
65) Encontre a distância ao longo de um arco na superfície da Terra que subtende um ângulo central de5 minutos(1 minute=160 degree). O raio da Terra é de3960 milhas.
- Responda
-
5.76milhas
66) Encontre a distância ao longo de um arco na superfície da Terra que subtende um ângulo central de7 minutos(1 minute=160 degree). O raio da Terra é de3960 milhas.
67) Considere um relógio com um ponteiro das horas e dos minutos. Qual é a medida do ângulo que o ponteiro dos minutos traça em20 minutos?
- Responda
-
120°
Extensões
68) Duas cidades têm a mesma longitude. A latitude da cidade A é9.00 graus norte e a latitude da cidade B é30.00 grau norte. Suponha que o raio da Terra seja de3960 milhas. Encontre a distância entre as duas cidades.
69) Uma cidade está localizada em40 graus de latitude norte. Suponha que o raio da Terra seja de3960 milhas e que a Terra gire uma vez a cada24 hora. Encontre a velocidade linear de uma pessoa que reside nesta cidade.
- Responda
-
794milhas por hora
70) Uma cidade está localizada em75 graus de latitude norte. Suponha que o raio da Terra seja de3960 milhas e que a Terra gire uma vez a cada24 hora. Encontre a velocidade linear de uma pessoa que reside nesta cidade.
71) Encontre a velocidade linear da lua se a distância média entre a Terra e a lua for de239,000 milhas, assumindo que a órbita da lua é circular e requer cerca de28 dias. Resposta expressa em milhas por hora.
- Responda
-
2,234milhas por hora
72) Uma bicicleta tem rodas em28 polegadas de diâmetro. Um tacômetro determina que as rodas estão girando em180 RPM (rotações por minuto). Descubra a velocidade em que a bicicleta está percorrendo a estrada.
73) Um carro viaja3 milhas. Seus pneus fazem2640 revoluções. Qual é o raio de um pneu em polegadas?
- Responda
-
11.5polegadas
74) Uma roda em um trator tem um diâmetro24 de -polegadas. Quantas rotações a roda faz se o trator viajar4 quilômetros?
5.2: Círculo unitário - Funções de seno e cosseno
Verbal
1) Descreva o círculo unitário.
- Responda
-
O círculo unitário é um círculo de raio1 centrado na origem.
2) O que representam asy coordenadasx - e -dos pontos no círculo unitário?
3) Discuta a diferença entre um ângulo coterminal e um ângulo de referência.
- Responda
-
Ângulos coterminais são ângulos que compartilham o mesmo lado terminal. Um ângulo de referência é o tamanho do menor ângulo agudot, formado pelo lado terminal do ângulot e pelo eixo horizontal.
4) Explique como o cosseno de um ângulo no segundo quadrante difere do cosseno de seu ângulo de referência no círculo unitário.
5) Explique como o seno de um ângulo no segundo quadrante difere do seno de seu ângulo de referência no círculo unitário.
- Responda
-
Os valores senoidais são iguais.
Algébrico
Para os exercícios 6-9, use o sinal dado das funções seno e cosseno para encontrar o quadrante no qual o ponto terminal determinado port está.
6) \sin (t)<0 e \cos (t)<0
7) \sin (t)>0 e \cos (t)>0
- Responda
-
\textrm{I}
8) \sin (t)>0 e \cos (t)<0
9) \sin (t)<0 e \cos (t)>0
- Responda
-
\textrm{IV}
Para os exercícios 10-22, encontre o valor exato de cada função trigonométrica.
10)\sin \dfrac{π}{2}
11)\sin \dfrac{π}{3}
- Responda
-
\dfrac{\sqrt{3}}{2}
12) \cos \dfrac{π}{2}
13) \cos \dfrac{π}{3}
- Responda
-
\dfrac{1}{2}
14) \sin \dfrac{π}{4}
15) \cos \dfrac{π}{4}
- Responda
-
\dfrac{\sqrt{2}}{2}
16) \sin \dfrac{π}{6}
17) \sin π
- Responda
-
0
18) \sin \dfrac{3π}{2}
19) \cos π
- Responda
-
−1
20) \cos 0
21)cos \dfrac{π}{6}
- Responda
-
\dfrac{\sqrt{3}}{2}
22) \sin 0
Numérico
Para os exercícios 23-33, indique o ângulo de referência para o ângulo dado.
23)240°
- Responda
-
60°
24)−170°
25)100°
- Responda
-
80°
26)−315°
27)135°
- Responda
-
45°
28)\dfrac{5π}{4}
29)\dfrac{2π}{3}
- Responda
-
\dfrac{π}{3}
30)\dfrac{5π}{6}
31)−\dfrac{11π}{3}
- Responda
-
\dfrac{π}{3}
32)\dfrac{−7π}{4}
33)\dfrac{−π}{8}
- Responda
-
\dfrac{π}{8}
Para os exercícios 34-49, determine o ângulo de referência, o quadrante do lado terminal e o seno e o cosseno de cada ângulo. Se o ângulo não for um dos ângulos do círculo unitário, use uma calculadora e arredonde para três casas decimais.
34)225°
(35)300°
- Responda
-
60°, Quadrante IV, \sin (300°)=−\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos (300°)=\dfrac{1}{2}
36)320°
37)135°
- Responda
-
45°, Quadrante II, \sin (135°)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos (135°)=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}
38)210°
39)120°
- Responda
-
60°, Quadrante II,\sin (120°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\cos (120°)=−\dfrac{1}{2}
40)250°
41)150°
- Responda
-
30°, Quadrante II, \sin (150°)=\frac{1}{2},\cos(150°)=−\dfrac{\sqrt{3}}{2}
(42)\dfrac{5π}{4}
43)\dfrac{7π}{6}
- Responda
-
\dfrac{π}{6}, Quadrante III\sin \left( \dfrac{7π}{6}\right )=−\dfrac{1}{2},\cos \left (\dfrac{7π}{6} \right)=−\dfrac{\sqrt{3}}{2}
44)\dfrac{5π}{3}
45)\dfrac{3π}{4}
- Responda
-
\dfrac{π}{4}, Quadrante II,\sin \left(\dfrac{3π}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\cos\left(\dfrac{4π}{3}\right)=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}
(46)\dfrac{4π}{3}
47)\dfrac{2π}{3}
- Responda
-
\dfrac{π}{3}, Quadrante II, \sin \left(\dfrac{2π}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos \left(\dfrac{2π}{3}\right)=−\dfrac{1}{2}
48)\dfrac{5π}{6}
49)\dfrac{7π}{4}
- Resposta
-
\dfrac{π}{4}, Quadrante IV, \sin \left(\dfrac{7π}{4}\right)=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos \left(\dfrac{7π}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
Para os exercícios 50-59, encontre o valor solicitado.
50) Se\cos (t)=\dfrac{1}{7} et estiver no4^{th} quadrante, encontre \sin (t).
51) Se \cos (t)=\dfrac{2}{9} et estiver no1^{st} quadrante, encontre\sin (t).
- Responda
-
\dfrac{\sqrt{77}}{9}
52) Se\sin (t)=\dfrac{3}{8} et estiver no2^{nd} quadrante, encontre \cos (t).
53) Se \sin (t)=−\dfrac{1}{4} et estiver no3^{rd} quadrante, encontre\cos (t).
- Responda
-
−\dfrac{\sqrt{15}}{4}
54) Encontre as coordenadas do ponto em um círculo com raio15 correspondente a um ângulo de220°.
55) Encontre as coordenadas do ponto em um círculo com raio20 correspondente a um ângulo de120°.
- Responda
-
(−10,10\sqrt{3})
56) Encontre as coordenadas do ponto em um círculo com raio8 correspondente a um ângulo de\dfrac{7π}{4}.
57) Encontre as coordenadas do ponto em um círculo com raio16 correspondente a um ângulo de\dfrac{5π}{9}.
- Responda
-
(–2.778,15.757)
58) Declare o domínio das funções seno e cosseno.
59) Declare a faixa das funções seno e cosseno.
- Responda
-
[–1,1]
Gráfica
Para os exercícios 60-79, use o ponto dado no círculo unitário para encontrar o valor do seno e do cosseno det.
60)
61)
- Responda
-
\sin t=\dfrac{1}{2}, \cos t=−\dfrac{\sqrt{3}}{2}
62)
63)
- Responda
-
\sin t=− \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos t=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}
64)
65)
- Responda
-
\sin t=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\cos t=−\dfrac{1}{2}
66)
67)
- Responda
-
\sin t=− \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos t=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
68)
69)
- Responda
-
\sin t=0, \cos t=−1
70)
71)
- Responda
-
\sin t=−0.596, \cos t=0.803
72)
73)
- Responda
-
\sin t=\dfrac{1}{2}, \cos t= \dfrac{\sqrt{3}}{2}
74)
75)
- Responda
-
\sin t=−\dfrac{1}{2}, \cos t= \dfrac{\sqrt{3}}{2}
76)
77)
- Responda
-
\sin t=0.761, \cos t=−0.649
78)
79)
- Responda
-
\sin t=1, \cos t=0
Tecnologia
Para os exercícios 80-89, use uma calculadora gráfica para avaliar.
80) \sin \dfrac{5π}{9}
81)cos \dfrac{5π}{9}
- Responda
-
−0.1736
(82) \sin \dfrac{π}{10}
83) \cos \dfrac{π}{10}
- Responda
-
0.9511
84) \sin \dfrac{3π}{4}
85)\cos \dfrac{3π}{4}
- Responda
-
−0.7071
86) \sin 98°
87) \cos 98°
- Responda
-
−0.1392
88) \cos 310°
89) \sin 310°
- Responda
-
−0.7660
Extensões
Para os exercícios 90-99, avalie.
90) \sin \left(\dfrac{11π}{3}\right) \cos \left(\dfrac{−5π}{6}\right)
91) \sin \left(\dfrac{3π}{4}\right) \cos \left(\dfrac{5π}{3}\right)
- Responda
-
\dfrac{\sqrt{2}}{4}
(92) \sin \left(− \dfrac{4π}{3}\right) \cos \left(\dfrac{π}{2}\right)
93) \sin \left(\dfrac{−9π}{4}\right) \cos \left(\dfrac{−π}{6}\right)
- Responda
-
−\dfrac{\sqrt{6}}{4}
94) \sin \left(\dfrac{π}{6}\right) \cos \left(\dfrac{−π}{3}\right)
95) \sin \left(\dfrac{7π}{4}\right) \cos \left(\dfrac{−2π}{3}\right)
- Responda
-
\dfrac{\sqrt{2}}{4}
96) \cos \left(\dfrac{5π}{6}\right) \cos \left(\dfrac{2π}{3}\right)
(97) \cos \left(\dfrac{−π}{3}\right) \cos \left(\dfrac{π}{4}\right)
- Responda
-
\dfrac{\sqrt{2}}{4}
98) \sin \left(\dfrac{−5π}{4}\right) \sin \left(\dfrac{11π}{6}\right)
99) \sin (π) \sin \left(\dfrac{π}{6}\right)
- Responda
-
0
Aplicativos do mundo real
Para os exercícios 100-104, use este cenário: uma criança entra em um carrossel que leva um minuto para girar uma vez. A criança entra no ponto(0,1), ou seja, na posição norte devida. Suponha que o carrossel gire no sentido anti-horário.
100) Quais são as coordenadas da criança após45 alguns segundos?
101) Quais são as coordenadas da criança após90 alguns segundos?
- Responda
-
(0,–1)
102) Quais são as coordenadas da criança após125 alguns segundos?
103) Quando a criança terá as coordenadas(0.707,–0.707) se a viagem durar6 minutos? (Há várias respostas.)
- Responda
-
37.5segundos,97.5 segundos,157.5 segundos,217.5 segundos,277.5 segundos,337.5 segundos
104) Quando a criança terá as coordenadas(−0.866,−0.5) se a viagem durar6 minutos?
5.3: As outras funções trigonométricas
Verbal
1) Em um intervalo de[ 0,2π ), os valores de seno e cosseno de uma medida em radianos podem ser iguais? Em caso afirmativo, onde?
- Responda
-
Sim, quando o ângulo de referência é\dfrac{π}{4} e o lado terminal do ângulo está nos quadrantes I e III. Assim, emx=\dfrac{π}{4},\dfrac{5π}{4}, os valores de seno e cosseno são iguais.
2) O que você estimaria o cosseno de\pi graus? Explique seu raciocínio.
3) Para qualquer ângulo no quadrante II, se você soubesse o seno do ângulo, como você poderia determinar o cosseno do ângulo?
- Responda
-
Substitua o seno do ângulo pory no Teorema de Pitágorasx^2+y^2=1. Resolvax e pegue a solução negativa.
4) Descreva a função secante.
5) A tangente e a cotangente têm um período deπ. O que isso nos diz sobre a saída dessas funções?
- Responda
-
As saídas de tangente e cotangente se repetirão a cadaπ unidade.
Algébrico
Para os exercícios 6-17, encontre o valor exato de cada expressão.
6) \tan \dfrac{π}{6}
7)\sec \dfrac{π}{6}
- Responda
-
\dfrac{2\sqrt{3}}{3}
8) \csc \dfrac{π}{6}
9) \cot \dfrac{π}{6}
- Responda
-
\sqrt{3}
10) \tan \dfrac{π}{4}
11) \sec \dfrac{π}{4}
- Responda
-
\sqrt{2}
12) \csc \dfrac{π}{4}
13) \cot \dfrac{π}{4}
- Responda
-
1
14) \tan \dfrac{π}{3}
15) \sec \dfrac{π}{3}
- Responda
-
2
16) \csc \dfrac{π}{3}
17) \cot \dfrac{π}{3}
- Responda
-
\dfrac{\sqrt{3}}{3}
Para os exercícios 18-48, use ângulos de referência para avaliar a expressão.
18) \tan \dfrac{5π}{6}
19) \sec \dfrac{7π}{6}
- Responda
-
−\dfrac{2\sqrt{3}}{3}
20) \csc \dfrac{11π}{6}
21) \cot \dfrac{13π}{6}
- Responda
-
\sqrt{3}
22) \tan \dfrac{7π}{4}
23) \sec \dfrac{3π}{4}
- Responda
-
−\sqrt{2}
24) \csc \dfrac{5π}{4}
25) \cot \dfrac{11π}{4}
- Responda
-
−1
26) \tan \dfrac{8π}{3}
27) \sec \dfrac{4π}{3}
- Responda
-
−2
28) \csc \dfrac{2π}{3}
29) \cot \dfrac{5π}{3}
- Responda
-
−\dfrac{\sqrt{3}}{3}
30) \tan 225°
31) \sec 300°
- Responda
-
2
32) \csc 150°
33) \cot 240°
- Responda
-
\dfrac{\sqrt{3}}{3}
34) \tan 330°
(35) \sec 120°
- Responda
-
−2
36) \csc 210°
37) \cot 315°
- Responda
-
−1
38) Se \sin t= \dfrac{3}{4}, et estiver no quadrante II, encontre \cos t, \sec t, \csc t, \tan t, \cot t .
39) Se \cos t=−\dfrac{1}{3}, et estiver no quadrante III, encontre \sin t, \sec t, \csc t, \tan t, \cot t.
- Responda
-
E se\sin t=−\dfrac{2\sqrt{2}}{3}, \sec t=−3, \csc t=−\csc t=−\dfrac{3\sqrt{2}}{4},\tan t=2\sqrt{2}, \cot t= \dfrac{\sqrt{2}}{4}
40) Se\tan t=\dfrac{12}{5}, e0≤t< \dfrac{π}{2}, encontre \sin t, \cos t, \sec t, \csc t,\cot t e.
41) Se \sin t= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sec t, \csc t, \tan t, e \cos t=\dfrac{1}{2}, encontre \cot t e.
- Responda
-
\sec t=2, \csc t=\csc t=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}, \tan t= \sqrt{3}, \cot t= \dfrac{\sqrt{3}}{3}
42) Se \sin 40°≈0.643 \; \cos 40°≈0.766 \; \sec 40°,\csc 40°,\tan 40°, \text{ and } \cot 40°.
43) Se \sin t= \dfrac{\sqrt{2}}{2}, o que é o \sin (−t)?
- Responda
-
−\dfrac{\sqrt{2}}{2}
44) Se \cos t= \dfrac{1}{2}, o que é o \cos (−t)?
45) Se \sec t=3.1, o que é o \sec (−t)?
- Responda
-
3.1
46) Se \csc t=0.34, o que é o \csc (−t)?
47) Se \tan t=−1.4, o que é o \tan (−t)?
- Responda
-
1.4
48) Se \cot t=9.23, o que é o \cot (−t)?
Gráfica
Para os exercícios 49-51, use o ângulo no círculo unitário para encontrar o valor de cada uma das seis funções trigonométricas.
49)
- Responda
-
\sin t= \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos t= \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \tan t=1,\cot t=1,\sec t= \sqrt{2}, \csc t= \csc t= \sqrt{2}
50)
51)
- Responda
-
\sin t=−\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos t=−\dfrac{1}{2}, \tan t=\sqrt{3}, \cot t= \dfrac{\sqrt{3}}{3}, \sec t=−2, \csc t=−\csc t=−\dfrac{2\sqrt{3}}{3}
Tecnologia
Para os exercícios 52-61, use uma calculadora gráfica para avaliar.
52) \csc \dfrac{5π}{9}
53) \cot \dfrac{4π}{7}
- Responda
-
–0.228
54) \sec \dfrac{π}{10}
55) \tan \dfrac{5π}{8}
- Responda
-
–2.414
56) \sec \dfrac{3π}{4}
57) \csc \dfrac{π}{4}
- Responda
-
1.414
(58) \tan 98°
(59) \cot 33°
- Responda
-
1.540
60) \cot 140°
61) \sec 310°
- Responda
-
1.556
Extensões
Para os exercícios 62-69, use identidades para avaliar a expressão.
62) Se\tan (t)≈2.7, e \sin (t)≈0.94, encontrar \cos (t).
63) Se \tan (t)≈1.3, e \cos (t)≈0.61, encontre \sin (t).
- Responda
-
\sin (t)≈0.79
64) Se \csc (t)≈3.2, \csc (t)≈3.2, e \cos (t)≈0.95, encontrar \tan (t).
65) Se \cot (t)≈0.58, e \cos (t)≈0.5, encontrar \csc (t).
- Responda
-
\csc (t)≈1.16
66) Determine se a funçãof(x)=2 \sin x \cos x é par, ímpar ou nenhuma.
67) Determine se a funçãof(x)=3 \sin ^2 x \cos x + \sec x é par, ímpar ou nenhuma.
- Responda
-
uniforme
68) Determine se a funçãof(x)= \sin x −2 \cos ^2 x é par, ímpar ou nenhuma.
69) Determine se a funçãof(x)= \csc ^2 x+ \sec x é par, ímpar ou nenhuma.
- Responda
-
uniforme
Para os exercícios 70-71, use identidades para simplificar a expressão.
70) \csc t \tan t
71) \dfrac{\sec t}{ \csc t}
- Responda
-
\dfrac{ \sin t}{ \cos t}= \tan t
Aplicativos do mundo real
72) A quantidade de luz solar em uma determinada cidade pode ser modelada pela funçãoh=15 \cos \left(\dfrac{1}{600}d\right), ondeh representa as horas de luz solar ed é o dia do ano. Use a equação para descobrir quantas horas de luz solar existem em 10 de fevereiro, o42^{nd} dia do ano. Indique o período da função.
73) A quantidade de luz solar em uma determinada cidade pode ser modelada pela funçãoh=16 \cos \left(\dfrac{1}{500}d\right), ondeh representa as horas de luz solar ed é o dia do ano. Use a equação para descobrir quantas horas de luz solar existem em 24 de setembro, o267^{th} dia do ano. Indique o período da função.
- Responda
-
13.77horas, período:1000π
74) A equaçãoP=20 \sin (2πt)+100 modela a pressão arterial,P, ondet representa o tempo em segundos.
- Encontre a pressão arterial após15 alguns segundos.
- Quais são as pressões arterial máxima e mínima?
75) A altura de um pistãoh, em polegadas, pode ser modelada pela equação emy=2 \cos x+6, quex representa o ângulo da manivela. Encontre a altura do pistão quando o ângulo da manivela estiver55°.
- Responda
-
7.73polegadas
76) A altura de um pistãoh, em polegadas, pode ser modelada pela equação emy=2 \cos x+5, quex representa o ângulo da manivela. Encontre a altura do pistão quando o ângulo da manivela estiver55°.
5.4: Trigonometria do triângulo reto
Verbal
1) Para o triângulo direito fornecido, identifique o lado adjacente, o lado oposto e a hipotenusa para o ângulo indicado.
- Responda
2) Quando um triângulo reto com uma hipotenusa de1 é colocado no círculo unitário, quais lados do triângulo correspondem àsy coordenadasx - e -?
3) A tangente de um ângulo compara quais lados do triângulo reto?
- Resposta
-
A tangente de um ângulo é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente.
4) Qual é a relação entre os dois ângulos agudos em um triângulo reto?
5) Explique a identidade da cofunção.
- Resposta
-
Por exemplo, o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complemento; o cosseno de um ângulo é igual ao seno de seu complemento.
Algébrico
Para os exercícios 6-9, use cofunções de ângulos complementares.
6) \cos (34°)= \sin (\_\_°)
7) \cos (\dfrac{π}{3})= \sin (\_\_\_)
- Resposta
-
\dfrac{π}{6}
8) \csc (21°) = \sec (\_\_\_°)
9) \tan (\dfrac{π}{4})= \cot (\_\_)
- Resposta
-
\dfrac{π}{4}
Para os exercícios 10-16, determine o comprimento dos lados faltantes se o ladoa for o ângulo opostoA, o ladob for o ânguloB oposto e o ladoc for a hipotenusa.
10) \cos B= \dfrac{4}{5},a=10
11) \sin B= \dfrac{1}{2}, a=20
- Resposta
-
b= \dfrac{20\sqrt{3}}{3},c= \dfrac{40\sqrt{3}}{3}
12) \tan A= \dfrac{5}{12},b=6
13) \tan A=100,b=100
- Resposta
-
a=10,000,c=10,000.5
14)\sin B=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, a=2
15)a=5, ∡ A=60^∘
- Resposta
-
b=\dfrac{5\sqrt{3}}{3},c=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}
16)c=12, ∡ A=45^∘
Gráfica
Para os exercícios 17-22, use a Figura abaixo para avaliar cada função trigonométrica do ânguloA.
17)\sin A
- Resposta
-
\dfrac{5\sqrt{29}}{29}
18) \cos A
19) \tan A
- Resposta
-
\dfrac{5}{2}
20)\csc A
21) \sec A
- Resposta
-
\dfrac{\sqrt{29}}{2}
22) \cot A
Para os exercícios 23-,28 use a Figura abaixo para avaliar cada função trigonométrica do ânguloA.
23) \sin A
- Resposta
-
\dfrac{5\sqrt{41}}{41}
24) \cos A
25) \tan A
- Resposta
-
\dfrac{5}{4}
26) \csc A
27) \sec A
- Resposta
-
\dfrac{\sqrt{41}}{4}
28)\cot A
Para os exercícios 29-31, resolva os lados desconhecidos de um determinado triângulo.
29)
- Resposta
-
c=14, b=7\sqrt{3}
30)
31)
- Resposta
-
a=15, b=15
Tecnologia
Para os exercícios 32-41, use uma calculadora para encontrar o comprimento de cada lado com quatro casas decimais.
32)
33)
- Resposta
-
b=9.9970, c=12.2041
34)
35)
- Resposta
-
a=2.0838, b=11.8177
36)
37)b=15, ∡B=15^∘
- Resposta
-
a=55.9808,c=57.9555
38)c=200, ∡B=5^∘
39)c=50, ∡B=21^∘
- Resposta
-
a=46.6790,b=17.9184
40)a=30, ∡A=27^∘
41)b=3.5, ∡A=78^∘
- Resposta
-
a=16.4662,c=16.8341
Extensões
42) Encontrarx.
43) Encontrarx.
- Resposta
-
188.3159
44) Encontrex.
45) Encontrarx.
- Resposta
-
200.6737
46) Uma torre de rádio está localizada a400 poucos metros de um prédio. De uma janela do prédio, uma pessoa determina que o ângulo de elevação até o topo da torre é36° e que o ângulo de depressão em relação à parte inferior da torre é23°. Qual é a altura da torre?
47) Uma torre de rádio está localizada a325 poucos metros de um prédio. De uma janela do prédio, uma pessoa determina que o ângulo de elevação até o topo da torre é43° e que o ângulo de depressão em relação à parte inferior da torre é31°. Qual é a altura da torre?
- Resposta
-
498.3471pés
48) Um monumento200 de um metro de altura está localizado à distância. De uma janela de um prédio, uma pessoa determina que o ângulo de elevação até o topo do monumento é15° e que o ângulo de depressão em relação ao fundo da torre é2°. A que distância a pessoa está do monumento?
49) Um monumento400 de um metro de altura está localizado à distância. De uma janela de um prédio, uma pessoa determina que o ângulo de elevação até o topo do monumento é18° e que o ângulo de depressão em relação à parte inferior do monumento é3°. A que distância a pessoa está do monumento?
- Resposta
-
1060.09pés
50) Há uma antena no topo de um prédio. De um local a300 pés da base do edifício, o ângulo de elevação até o topo do edifício é medido como sendo40°. Do mesmo local, o ângulo de elevação até o topo da antena é medido como sendo43°. Encontre a altura da antena.
51) Há um pára-raios no topo de um prédio. De um local a500 pés da base do edifício, o ângulo de elevação até o topo do edifício é medido como sendo36°. Do mesmo local, o ângulo de elevação até o topo do pára-raios é medido como sendo38°. Encontre a altura do pára-raios.
- Resposta
-
27.372pés
Aplicativos do mundo real
52) Uma escada33 de pés se inclina contra um prédio de forma que o ângulo entre o solo e a escada seja80°. Qual a altura da escada até a lateral do prédio?
53) Uma escada23 de pés se inclina contra um prédio de forma que o ângulo entre o solo e a escada seja80°. Qual a altura da escada até a lateral do prédio?
- Resposta
-
22.6506pés
54) O ângulo de elevação até o topo de um edifício em Nova York é encontrado em9 graus do solo a uma distância de um1 quilômetro da base do edifício. Usando essas informações, encontre a altura do prédio.
55) O ângulo de elevação até o topo de um edifício em Seattle é encontrado em2 graus do solo a uma distância de2 quilômetros da base do edifício. Usando essas informações, encontre a altura do prédio.
- Resposta
-
368.7633pés
56) Supondo que uma sequóia gigante de um370 metro de altura cresça verticalmente, se eu andar uma certa distância da árvore e medir o ângulo de elevação até o topo da árvore60°, a que distância estou da base da árvore?