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4.5: Propriedades logarítmicas

Objetivos de
  • Use a regra do produto para logaritmos.
  • Use a regra do quociente para logaritmos.
  • Use a regra de potência para logaritmos.
  • Expanda expressões logarítmicas.
  • Condense expressões logarítmicas.
  • Use a fórmula de mudança de base para logaritmos.

Em química, a escala de pH é usada como uma medida da acidez ou alcalinidade de uma substância. Substâncias com pH menor que7 são consideradas ácidas e substâncias com pH maior do que7 se diz alcalinas. Nosso corpo, por exemplo, deve manter um pH próximo de para que as enzimas7.35 funcionem adequadamente. Para ter uma ideia do que é ácido e alcalino, considere os seguintes níveis de pH de algumas substâncias comuns:

  • Ácido da bateria:0.8
  • Ácido gástrico:2.7
  • Suco de laranja:3.3
  • Água pura:7 em25C
  • Sangue humano:7.35
  • Coco fresco:7.8
  • Hidróxido de sódio (soda cáustica):14

Para determinar se uma solução é ácida ou alcalina, encontramos seu pH, que é uma medida do número de íons de hidrogênio positivos ativos na solução. O pH é definido pela seguinte fórmula, onde[H+] é a concentração de íons de hidrogênio na solução

pH=log([H+])=log(1[H+])

A equivalência das equações\ ref {eq1} e\ ref {eq2} é uma das propriedades logarítmicas que examinaremos nesta seção.

Teste do pH do ácido clorídrico.
Figura4.5.1: O pH do ácido clorídrico é testado com papel tornassol. (crédito: David Berardan).

Usando a regra do produto para logaritmos

Lembre-se de que as funções logarítmica e exponencial “se desfazem”. Isso significa que os logaritmos têm propriedades semelhantes aos expoentes. Algumas propriedades importantes dos logaritmos são dadas aqui. Primeiro, as propriedades a seguir são fáceis de provar.

logb1=0logbb=1

Por exemplo,log51=0 desde50=1. Elog55=1 desde então51=5.

Em seguida, temos a propriedade inversa.

logb(bx)=xblogbx=x,x>0

Por exemplo, para calcularlog(100), podemos reescrever o logaritmo como elog10(102), em seguida, aplicar a propriedade inversalogb(bx)=x para obterlog10(102)=2.

Para calculareln(7), podemos reescrever o logaritmo como eeloge7, em seguida, aplicar a propriedade inversablogbx=x para obtereloge7=7.

Finalmente, temos a propriedade individual.

logbM=logbN if and only if M=N

Podemos usar a propriedade um-para-um para resolver a equaçãolog3(3x)=log3(2x+5) dex. Como as bases são as mesmas, podemos aplicar a propriedade um-para-um definindo os argumentos iguais e resolvendo parax:

3x=2x+5Defina os argumentos iguais.

x=5Subtrair2x.

Mas e a equaçãolog3(3x)+log3(2x+5)=2? A propriedade individual não nos ajuda nesse caso. Antes de resolvermos uma equação como essa, precisamos de um método para combinar termos no lado esquerdo da equação.

Lembre-se de que usamos a regra do produto dos expoentes para combinar o produto dos expoentes adicionando:xaxb=xa+b. Temos uma propriedade similar para logaritmos, chamada de regra do produto para logaritmos, que diz que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos. Como os registros são expoentes e nos multiplicamos como bases, podemos somar os expoentes. Usaremos a propriedade inversa para derivar a regra do produto abaixo.

Dado qualquer número realx e números reais positivosMN, eb, ondeb1, mostraremos

logb(MN)=logb(M)+logb(N).

Deixem=logbMn=logbN e. Na forma exponencial, essas equações sãobm=Mbn=N e. Daqui resulta que

logb(MN)=logb(bmbn)Substitute for M and N=logb(bm+n)Apply the product rule for exponents=m+nApply the inverse property of logs=logb(M)+logb(N)Substitute for m and n

Observe que aplicações repetidas da regra do produto para logaritmos nos permitem simplificar o logaritmo do produto de qualquer número de fatores. Por exemplo, considerelogb(wxyz). Usando a regra do produto para logaritmos, podemos reescrever esse logaritmo de um produto como a soma dos logaritmos de seus fatores:

logb(wxyz)=logbw+logbx+logby+logbz

A regra do produto para logaritmos

A regra do produto para logaritmos pode ser usada para simplificar o logaritmo de um produto reescrevendo-o como uma soma de logaritmos individuais.

logb(MN)=logb(M)+logb(N) for b>0

Como: Dado o logaritmo de um produto, use a regra do produto dos logaritmos para escrever uma soma equivalente de logaritmos
  1. Considere o argumento completamente, expressando cada fator de número inteiro como um produto de números primos.
  2. Escreva a expressão equivalente somando os logaritmos de cada fator.
Exemplo4.5.1: Using the Product Rule for Logarithms

Expandirlog3(30x(3x+4)).

Solução

Começamos considerando completamente o argumento, expressando-o30 como um produto de números primos.

log3(30x(3x+4))=log3(235x(3x+4))

Em seguida, escrevemos a equação equivalente somando os logaritmos de cada fator.

log3(30x(3x+4))=log3(2)+log3(3)+log3(5)+log3(x)+log3(3x+4)

Exercício4.5.1

Expandirlogb(8k).

Responda

logb2+logb2+logb2+logbk=3logb2+logbk

Usando a regra do quociente para logaritmos

Para quocientes, temos uma regra similar para logaritmos. Lembre-se de que usamos a regra do quociente dos expoentes para combinar o quociente dos expoentes subtraindo:xab=xab. A regra do quociente para logaritmos diz que o logaritmo de um quociente é igual a uma diferença de logaritmos.

A regra do quociente para logaritmos

A regra do quociente para logaritmos pode ser usada para simplificar um logaritmo ou um quociente reescrevendo-o como a diferença de logaritmos individuais.

logb(MN)=logbMlogbN

Assim como com a regra do produto, podemos usar a propriedade inversa para derivar a regra do quociente.

Prova

Dado qualquer número realx e números reais positivosMN, b, b, ondeb1, mostraremos

logb(MN)=logb(M)logb(N).

Deixem=logbMn=logbN e. Na forma exponencial, essas equações sãobm=Mbn=N e. Daqui resulta que

logb(MN)=logb(bmbn)Substitute for M and N=logb(bmn)Apply the quotient rule for exponents=mnApply the inverse property of logs=logb(M)logb(N)Substitute for m and n

Por exemplo, para expandirlog(2x2+6x3x+9), precisamos primeiro expressar o quociente em termos mais baixos. Fatorando e cancelando, obtemos,

log(2x2+6x3x+9)=log(2x(x+3)3(x+3))Factor the numerator and denominator=log(2x3)Cancel the common factors

Em seguida, aplicamos a regra do quociente subtraindo o logaritmo do denominador do logaritmo do numerador. Em seguida, aplicamos a regra do produto.

log(2x3)=log(2x)log(3)=log(2)+log(x)log(3)

Como: Dado o logaritmo de um quociente, use a regra do quociente dos logaritmos para escrever uma diferença equivalente de logaritmos
  1. Expresse o argumento em termos mais baixos fatorando o numerador e o denominador e cancelando termos comuns.
  2. Escreva a expressão equivalente subtraindo o logaritmo do denominador do logaritmo do numerador.
  3. Verifique se cada termo está totalmente expandido. Caso contrário, aplique a regra do produto para que os logaritmos se expandam completamente.
Exemplo4.5.2: Using the Quotient Rule for Logarithms

Expandirlog2(15x(x1)(3x+4)(2x)).

Solução

Primeiro, notamos que o quociente é fatorado e em termos mais baixos, então aplicamos a regra do quociente.

log2(15x(x1)(3x+4)(2x))=log2(15x(x1))log2((3x+4)(2x))

Observe que os termos resultantes são logaritmos de produtos. Para expandir completamente, aplicamos a regra do produto, observando que os fatores primos do fator 15 são 3 e 5.

log2(15x(x1))log2((3x+4)(2x))=[log2(3)+log2(5)+log2(x)+log2(x1)][log2(3x+4)+log2(2x)]=log2(3)+log2(5)+log2(x)+log2(x1)log2(3x+4)log2(2x)

Análise

Há exceções a serem consideradas neste e em exemplos posteriores. Primeiro, como os denominadores nunca devem ser zero, essa expressão não está definida parax=43x=2 e. Além disso, como o argumento de um logaritmo deve ser positivo, notamos ao observarmos o logaritmo expandidox>0x>1, quex>43,,x<2 e. A combinação dessas condições está além do escopo desta seção e não as consideraremos aqui ou em exercícios subsequentes.

Exercício4.5.2

Expandirlog3(7x2+21x7x(x1)(x2)).

Responda

log3(x+3)log3(x1)log3(x2)

Usando a regra de potência para logaritmos

Exploramos a regra do produto e a regra do quociente, mas como podemos obter o logaritmo de uma potência, comox2? Um método é o seguinte:

logb(x2)=logb(xx)=logbx+logbx=2logbx

Observe que usamos a regra do produto para logaritmos para encontrar uma solução para o exemplo acima. Ao fazer isso, derivamos a regra de potência para logaritmos, que diz que o log de uma potência é igual ao expoente vezes o log da base. Lembre-se de que, embora a entrada para um logaritmo possa não ser escrita como uma potência, talvez possamos alterá-la para uma potência. Por exemplo,

100=1023=3121e=e1

A regra de potência para logaritmos

A regra de potência para logaritmos pode ser usada para simplificar o logaritmo de uma potência reescrevendo-a como o produto do expoente vezes o logaritmo da base.

logb(Mn)=nlogbM

Como: Dado o logaritmo de uma potência, use a regra da potência dos logaritmos para escrever um produto equivalente de um fator e um logaritmo
  1. Expresse o argumento como um poder, se necessário.
  2. Escreva a expressão equivalente multiplicando o expoente pelo logaritmo da base.
Exemplo4.5.3: Expanding a Logarithm with Powers

Expandirlog2x5.

Solução

O argumento já está escrito como uma potência, então identificamos o expoente, 5 e a basex, e reescrevemos a expressão equivalente multiplicando o expoente pelo logaritmo da base.

log2(x5)=5log2x

Exercício4.5.3

Expandirlnx2.

Responda

2lnx

Exemplo4.5.4: Rewriting an Expression as a Power before Using the Power Rule

Expandalog3(25) usando a regra de energia para registros.

Solução

Expressando o argumento como um poder, nós obtemoslog3(25)=log3(52).

Em seguida2, identificamos o expoente e a base e reescrevemos a expressão equivalente multiplicando o expoente pelo logaritmo da base.5

log3(52)=2log3(5)

Exercício4.5.4

Expandirln(1x2).

Responda

2ln(x)

Exemplo4.5.5: Using the Power Rule in Reverse

Reescreva4ln(x) usando a regra de potência para registros em um único logaritmo com um coeficiente inicial de1.

Solução

Como o logaritmo de uma potência é o produto do expoente vezes o logaritmo da base, conclui-se que o produto de um número e de um logaritmo pode ser escrito como uma potência. Para a expressão4ln(x), identificamos o fator,4, como o expoente e o argumento,x, como a base, e reescrevemos o produto como um logaritmo de uma potência:4ln(x)=ln(x4).

Exercício4.5.5

Reescreva2log34 usando a regra de potência para registros em um único logaritmo com um coeficiente inicial de1.

Responda

log316

Expansão de expressões logarítmicas

Em conjunto, a regra do produto, a regra do quociente e a regra da potência são frequentemente chamadas de “leis dos registros”. Às vezes, aplicamos mais de uma regra para simplificar uma expressão. Por exemplo:

logb(6xy)=logb(6x)logby=logb6+logbxlogby

Podemos usar a regra da potência para expandir expressões logarítmicas envolvendo expoentes negativos e fracionários. Aqui está uma prova alternativa da regra do quociente para logaritmos usando o fato de que um recíproco é uma potência negativa:

logb(AC)=logb(AC1)=logb(A)+logb(C1)=logbA+(1)logbC=logbAlogbC

Também podemos aplicar a regra do produto para expressar uma soma ou diferença de logaritmos como o logaritmo de um produto.

Com a prática, podemos olhar para uma expressão logarítmica e expandi-la mentalmente, escrevendo a resposta final. Lembre-se, no entanto, de que só podemos fazer isso com produtos, quocientes, potências e raízes — nunca com adição ou subtração dentro do argumento do logaritmo.

Exemplo4.5.6: Expanding Logarithms Using Product, Quotient, and Power Rules

Reescrevaln(x4y7) como uma soma ou diferença de registros.

Solução

Primeiro, como temos um quociente de duas expressões, podemos usar a regra do quociente:

ln(x4y7)=ln(x4y)ln(7)

Em seguida, vendo o produto no primeiro período, usamos a regra do produto:

ln(x4y)ln(7)=ln(x4)+ln(y)ln(7)

Finalmente, usamos a regra de potência no primeiro termo:

ln(x4)+ln(y)ln(7)=4ln(x)+ln(y)ln(7)

Exercício4.5.6

Expandirlog(x2y3z4).

Responda

2logx+3logy4logz

Exemplo4.5.7: Using the Power Rule for Logarithms to Simplify the Logarithm of a Radical Expression

Expandirlog(x).

Solução

log(x)=logx(12)=12logx

Exercício4.5.7

Expandirln(3x2).

Responda

23lnx

Perguntas e respostas: Podemos expandirln(x2+y2)?

Não. Não há como expandir o logaritmo de uma soma ou diferença dentro do argumento do logaritmo.

Exemplo4.5.8: Expanding Complex Logarithmic Expressions

Expandirlog6(64x3(4x+1)(2x1)).

Solução

Podemos expandir aplicando as Regras do Produto e do Quociente.

log6(64x3(4x+1)(2x1))=log664+log6x3+log6(4x+1)log6(2x1)Apply the Quotient Rule=log626+log6x3+log6(4x+1)log6(2x1)Simplify by writing 64 as 26=6log62+3log6x+log6(4x+1)log6(2x1)Apply the Power Rule

Exercício4.5.8

Expandirln((x1)(2x+1)2(x29)).

Responda

12ln(x1)+ln(2x+1)ln(x+3)ln(x3)

Expressões logarítmicas de condensação

Podemos usar as regras dos logaritmos que acabamos de aprender para condensar somas, diferenças e produtos com a mesma base de um único logaritmo. É importante lembrar que os logaritmos devem ter a mesma base para serem combinados. Mais tarde, aprenderemos como alterar a base de qualquer logaritmo antes da condensação.

Como: Dada uma soma, diferença ou produto de logaritmos com a mesma base, escrever uma expressão equivalente como um único logaritmo
  1. Aplique a propriedade de energia primeiro. Identifique termos que são produtos de fatores e um logaritmo e reescreva cada um como o logaritmo de uma potência.
  2. Em seguida, aplique a propriedade do produto. Reescreva somas de logaritmos como o logaritmo de um produto.
  3. Aplique a propriedade do quociente por último. Reescreva as diferenças de logaritmos como o logaritmo de um quociente.
Exemplo4.5.9: Using the Product and Quotient Rules to Combine Logarithms

Escrevalog3(5)+log3(8)log3(2) como um único logaritmo.

Solução

Usando as regras do produto e do quociente

log3(5)+log3(8)=log3(58)=log3(40)

Isso reduz nossa expressão original para

log3(40)log3(2)

Em seguida, usando a regra do quociente

log3(40)log3(2)=log3(402)=log3(20)

Exercício4.5.9

Condensarlog3log4+log5log6.

Responda

log(3546); também pode ser escritolog(58) reduzindo a fração para os termos mais baixos.

Exemplo4.5.10: Condensing Complex Logarithmic Expressions

Condensarlog2(x2)+12log2(x1)3log2((x+3)2).

Solução

Nós aplicamos a regra de potência primeiro:

log2(x2)+12log2(x1)3log2((x+3)2)=log2(x2)+log2(x1)log2((x+3)6)

Em seguida, aplicamos a regra do produto à soma:

log2(x2)+log2(x1)log2((x+3)6)=log2(x2x1)log2((x+3)6)

Finalmente, aplicamos a regra do quociente à diferença:

log2(x2x1)log2((x+3)6)=log2x2x1(x+3)6

Exemplo4.5.11: Rewriting as a Single Logarithm

Reescreva2logx4log(x+5)+1xlog(3x+5) como um único logaritmo.

Solução

Nós aplicamos a regra de potência primeiro:

2logx4log(x+5)+1xlog(3x+5)=log(x2)log(x+5)4+log((3x+5)x1)

Em seguida, reorganizamos e aplicamos a regra do produto à soma:

log(x2)log(x+5)4+log((3x+5)x1)=log(x2)+log((3x+5)x1log(x+5)4=log(x2(3x+5)x1)log(x+5)4=logx2(3x+5)x1(x+5)4Apply the quotient rule to the difference

Exercício4.5.10

Reescrevalog(5)+0.5log(x)log(7x1)+3log(x1) como um único logaritmo.

Responda

log5(x1)3x(7x1)

Exercício4.5.11

Condensar4(3log(x)+log(x+5)log(2x+3)).

Responda

logx12(x+5)4(2x+3)4; essa resposta também pode ser escritalog(x3(x+5)(2x+3))4

Exemplo4.5.12: Applying of the Laws of Logs

Lembre-se de que, em química,pH=log[H+]. Se a concentração de íons de hidrogênio em um líquido for dobrada, qual é o efeito no pH?

Solução

Suponha queC seja a concentração original de íons de hidrogênio eP seja o pH original do líquido. EntãoP=–\log(C). Se a concentração for dobrada, a nova concentração será2C. Então, o pH do novo líquido é

pH=−\log(2C)

Usando a regra de registros do produto

pH=−\log(2C)=−(\log(2)+\log(C))=−\log(2)−\log(C)

Desde entãoP=–\log(C), o novo pH é

pH=P−\log(2)≈P−0.301

Exercício\PageIndex{12}

Quando a concentração de íons de hidrogênio é dobrada, o pH diminui em cerca de0.301.

Como o pH muda quando a concentração de íons positivos de hidrogênio diminui pela metade?

Responda

O pH aumenta em cerca de0.301.

Usando a fórmula de mudança de base para logaritmos

A maioria das calculadoras pode avaliar somente registros comuns e naturais. Para avaliar logaritmos com uma base diferente de10 minério, e, usamos a fórmula de mudança de base para reescrever o logaritmo como o quociente de logaritmos de qualquer outra base; ao usar uma calculadora, nós os mudaríamos para registros comuns ou naturais.

Para derivar a fórmula de mudança de base, usamos a propriedade de um para um e a regra de potência para logaritmos.

Dados quaisquer números reais positivosM,b, en, onden≠1 eb≠1, mostramos

{\log}_bM=\dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb}

Deixey={\log}_bM. Ao tomar a base logarítmican de ambos os lados da equação, chegamos a uma forma exponencial, a saberb^y=M. Daqui resulta que

\begin{align*} {\log}_n(b^y)&= {\log}_nM \qquad \text{Apply the one-to-one property}\\[4pt] y{\log}_nb&= {\log}_nM \qquad \text{Apply the power rule for logarithms}\\[4pt] y&= \dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb} \qquad \text{Isolate y}\\[4pt] {\log}_bM&= \dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb} \qquad \text{Substitute for y} \end{align*}

Por exemplo, para avaliar{\log}_536 usando uma calculadora, precisamos primeiro reescrever a expressão como um quociente de registros comuns ou naturais. Usaremos o registro comum.

\begin{align*} {\log}_536&= \dfrac{\log(36)}{\log(5)} \qquad \text{Apply the change of base formula using base 10}\\[4pt] &\approx 2.2266 \qquad \text{Use a calculator to evaluate to 4 decimal places} \end{align*}

A FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE

A fórmula de mudança de base pode ser usada para avaliar um logaritmo com qualquer base.

Para qualquer número real positivoM,b, en, onden≠1 eb≠1,

{\log}_bM=\dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb}

Conclui-se que a fórmula de mudança de base pode ser usada para reescrever um logaritmo com qualquer base como quociente de registros comuns ou naturais.

{\log}_bM=\dfrac{\ln M}{\ln b}

e

{\log}_bM=\dfrac{\log M}{\log b}

Como: Dado um logaritmo com o formulário{\log}_bM, use the change-of-base formula to rewrite it as a quotient of logs with any positive base n, where n≠1
  1. Determine a nova basen, lembrando que o tronco comum\log(x),, tem base 10 e o tronco natural,\ln(x), tem basee.
  2. Reescreva o log como um quociente usando a fórmula de mudança de base
    • O numerador do quociente será um logaritmo com basen e argumentoM.
    • O denominador do quociente será um logaritmo com basen e argumentob.
Exemplo\PageIndex{13}: Changing Logarithmic Expressions to Expressions Involving Only Natural Logs

{\log}_53Mude para um quociente de logaritmos naturais.

Solução

Porque expressaremos{\log}_53 como um quociente de logaritmos naturais, a nova base,n=e.

Nós reescrevemos o log como um quociente usando a fórmula de mudança de base. O numerador do quociente será o logaritmo natural com argumento3. O denominador do quociente será o logaritmo natural com o argumento 5.

{\log}_bM=\dfrac{\ln M}{\ln b}

{\log}_53=\dfrac{\ln3}{\ln5}

Exercício\PageIndex{13}

\log0.58Mude para um quociente de logaritmos naturais.

Responda

\dfrac{\ln8}{\ln 0.5}

Perguntas e respostas: Podemos mudar logaritmos comuns para logaritmos naturais?

Sim. Lembre-se de que isso\log9 significa{\log}_{10}9. Então,\log9=\dfrac{\ln9}{\ln10}.

Exemplo\PageIndex{14}: Using the Change-of-Base Formula with a Calculator

Avalie{\log}_2(10) usando a fórmula de mudança de base com uma calculadora.

Solução

De acordo com a fórmula de mudança de base, podemos reescrever a base logarítmica2 como um logaritmo de qualquer outra base. Como nossas calculadoras podem avaliar o log natural, podemos optar por usar o logaritmo natural, que é a base logarítmicae.

\begin{align*} {\log}_210&= \dfrac{\ln10}{\ln2} \qquad \text{Apply the change of base formula using base } e\\[4pt] &\approx 3.3219 \qquad \text{Use a calculator to evaluate to 4 decimal places} \end{align*}

Exercício\PageIndex{14}

Avalie{\log}_5(100) usando a fórmula de mudança de base.

Responda

\dfrac{\ln100}{\ln5}≈\dfrac{4.6051}{1.6094}=2.861

Mídia

Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com as leis dos logaritmos.

  • As propriedades dos logaritmos
  • Expandir expressões logarítmicas
  • Avalie uma expressão logarítmica natural

Equações chave

A regra do produto para logaritmos {\log}_b(MN)={\log}_b(M)+{\log}_b(N)
A regra do quociente para logaritmos {\log}_b(\dfrac{M}{N})={\log}_bM−{\log}_bN
A regra de potência para logaritmos {\log}_b(M^n)=n{\log}_bM
A fórmula de mudança de base {\log}_bM=\dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb}n>0,n≠1,b≠1

Conceitos chave

  • Podemos usar a regra do produto dos logaritmos para reescrever o log de um produto como uma soma dos logaritmos. Veja o exemplo\PageIndex{1}.
  • Podemos usar a regra do quociente dos logaritmos para reescrever o log de um quociente como uma diferença de logaritmos. Veja o exemplo\PageIndex{2}.
  • Podemos usar a regra de potência para logaritmos para reescrever o log de uma potência como o produto do expoente e o log de sua base. Veja exemplo\PageIndex{3} \PageIndex{4}, exemplo e exemplo\PageIndex{5}.
  • Podemos usar a regra do produto, a regra do quociente e a regra da potência juntas para combinar ou expandir um logaritmo com uma entrada complexa. Veja exemplo\PageIndex{6} \PageIndex{7}, exemplo e exemplo\PageIndex{8}.
  • As regras dos logaritmos também podem ser usadas para condensar somas, diferenças e produtos com a mesma base de um único logaritmo. Veja exemplo\PageIndex{9}, exemplo\PageIndex{10}\PageIndex{11}, exemplo e exemplo\PageIndex{12}.
  • Podemos converter um logaritmo com qualquer base em um quociente de logaritmos com qualquer outra base usando a fórmula de mudança de base. Veja o exemplo\PageIndex{13}.
  • A fórmula de mudança de base é frequentemente usada para reescrever um logaritmo com uma base diferente de 10 ee como o quociente de registros naturais ou comuns. Dessa forma, uma calculadora pode ser usada para avaliar. Veja o exemplo\PageIndex{14}.