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1.5: Transformação de funções

Objetivos de

  • Funções gráficas usando deslocamentos verticais e horizontais.
  • O gráfico funciona usando reflexões sobre o eixo x e o eixo y.
  • Determine se uma função é par, ímpar ou nenhuma em seu gráfico.
  • Funções gráficas usando compressões e alongamentos.
  • Combine transformações.

Todos sabemos que um espelho plano nos permite ver uma imagem precisa de nós mesmos e do que está atrás de nós mesmos. Quando inclinamos o espelho, as imagens que vemos podem mudar horizontal ou verticalmente. Mas o que acontece quando dobramos um espelho flexível? Como um espelho de casa de diversões de carnaval, ele nos apresenta uma imagem distorcida de nós mesmos, esticada ou comprimida horizontal ou verticalmente. Da mesma forma, podemos distorcer ou transformar funções matemáticas para melhor adaptá-las à descrição de objetos ou processos no mundo real. Nesta seção, veremos vários tipos de transformações.

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Figura1.5.1: (crédito: “Misko” /Flickr)

Muitas vezes, quando temos um problema, tentamos modelar o cenário usando matemática na forma de palavras, tabelas, gráficos e equações. Um método que podemos empregar é adaptar os gráficos básicos das funções do kit de ferramentas para criar novos modelos para um determinado cenário. Existem formas sistemáticas de alterar funções para construir modelos apropriados para os problemas que estamos tentando resolver.

Identificação de mudanças verticais

Um tipo simples de transformação envolve deslocar o gráfico inteiro de uma função para cima, para baixo, para a direita ou para a esquerda. O deslocamento mais simples é um deslocamento vertical, movendo o gráfico para cima ou para baixo, porque essa transformação envolve a adição de uma constante positiva ou negativa à função. Em outras palavras, adicionamos a mesma constante ao valor de saída da função, independentemente da entrada. Para uma funçãog(x)=f(x)+k, a funçãof(x) é deslocada verticalmente emk unidades. Veja a Figura1.5.2 para obter um exemplo.

Deslocamento vertical em k=1 da função raiz cúbica f (x) =3√x.
Figura1.5.2: Deslocamento verticalk=1 da função raiz cúbicaf(x)=3x.

Para ajudá-lo a visualizar o conceito de mudança vertical, considere issoy=f(x). Portanto,f(x)+k é equivalentey+k a. Cada unidade dey é substituída pory+k, então oy valor -aumenta ou diminui dependendo do valor dek. O resultado é uma mudança para cima ou para baixo.

Definição: Deslocamento vertical

Dada uma funçãof(x), uma nova funçãog(x)=f(x)+k, ondek é uma constante, é um deslocamento vertical da funçãof(x). Todos os valores de saída mudam pork unidades. Sek for positivo, o gráfico mudará para cima. Sek for negativo, o gráfico se deslocará para baixo.

Exemplo1.5.1: Adding a Constant to a Function

Para regular a temperatura em um prédio verde, as aberturas de fluxo de ar próximas ao telhado abrem e fecham durante todo o dia. A figura1.5.3 mostra a área de aberturas abertasV (em pés quadrados) ao longo do dia em horas após a meia-noite,t. Durante o verão, o gerente das instalações decide tentar regular melhor a temperatura aumentando a quantidade de aberturas abertas em 20 pés quadrados durante o dia e a noite. Esboce um gráfico dessa nova função.

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Figura1.5.3

Solução

Podemos esboçar um gráfico dessa nova função adicionando 20 a cada um dos valores de saída da função original. Isso terá o efeito de deslocar o gráfico verticalmente para cima, conforme mostrado na Figura1.5.4.

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Figura1.5.4

Observe que na Figura1.5.4, para cada valor de entrada, o valor de saída aumentou em 20, portanto, se chamarmos a nova funçãoS(t), poderíamos escrever

S(t)=V(t)+20

Essa notação nos diz que, para qualquer valor det,S(t) pode ser encontrado avaliando a funçãoV na mesma entrada e adicionando 20 ao resultado. Isso defineS como uma transformação da funçãoV, neste caso, um deslocamento vertical até 20 unidades. Observe que, com um deslocamento vertical, os valores de entrada permanecem os mesmos e somente os valores de saída mudam. Veja a tabela1.5.1.

Tabela1.5.1
t 0 8 10 17 19 24
V(t) 0 0 220 220 0 0
S(t) 20 20 240 240 20 20

Como...

Dada uma função tabular, crie uma nova linha para representar um deslocamento vertical.

  1. Identifique a linha ou coluna de saída.
  2. Determine a magnitude da mudança.
  3. Adicione a mudança ao valor em cada célula de saída. Adicione um valor positivo para cima ou um valor negativo para baixo.

Exemplo1.5.2: Shifting a Tabular Function Vertically

Uma funçãof(x) é fornecida na Tabela1.5.2. Crie uma tabela para a funçãog(x)=f(x)3.

Tabela1.5.2
x 2 4 6 8
f(x) 1 3 7 11

Solução

A fórmula nosg(x)=f(x)3 diz que podemos encontrar os valores de saídag de subtraindo 3 dos valores de saída def. Por exemplo:

f(x)=1Giveng(x)=f(x)3Given Transformationg(2)=f(2)3=13=2

Subtraindo 3 de cadaf(x) valor, podemos completar uma tabela de valores parag(x) conforme mostrado na Tabela1.5.3.

Tabela1.5.3
x 2 4 6 8
f(x) 1 3 7 11
g(x) -2 0 4 8

Análise

Como no deslocamento vertical anterior, observe que os valores de entrada permanecem os mesmos e somente os valores de saída mudam.

Exercício1.5.1

A funçãoh(t)=4.9t2+30t fornece a alturah de uma bola (em metros) lançada do chão para cima apóst alguns segundos. Suponha que a bola tenha sido lançada do topo de um prédio de 10 metros. Relacione essa nova função de alturab(t) com eh(t), em seguida, encontre uma fórmula parab(t).

Resposta

b(t)=h(t)+10=4.9t2+30t+10

Identificação de mudanças horizontais

Acabamos de ver que o deslocamento vertical é uma mudança na saída, ou fora, da função. Agora veremos como as mudanças na entrada, no interior da função, alteram seu gráfico e significado. Uma mudança para a entrada resulta em um movimento do gráfico da função para a esquerda ou para a direita no que é conhecido como deslocamento horizontal, mostrado na Figura1.5.4.

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Figura1.5.4: Deslocamento horizontal da funçãof(x)=3x. Observe queh=1 desloca o gráfico para a esquerda, ou seja, em direção a valores negativos dex.

Por exemplo, iff(x)=x2, entãog(x)=(x2)2 é uma nova função. Cada entrada é reduzida em 2 antes de colocar a função ao quadrado. O resultado é que o gráfico é deslocado 2 unidades para a direita, porque precisaríamos aumentar a entrada anterior em 2 unidades para produzir o mesmo valor de saída fornecido emf.

Definição: Deslocamento horizontal

Dada uma funçãof, uma nova funçãog(x)=f(xh), ondeh é uma constante, é um deslocamento horizontal da funçãof. Seh for positivo, o gráfico mudará para a direita. Seh for negativo, o gráfico mudará para a esquerda.

Exemplo1.5.4: Adding a Constant to an Input

Voltando ao nosso exemplo de fluxo de ar do prédio da Figura1.5.2, suponha que no outono o gerente das instalações decida que o plano de ventilação original comece tarde demais e queira iniciar todo o programa de ventilação 2 horas antes. Esboce um gráfico da nova função.

Solução

PodemosV(t) definir como o programa original eF(t) o programa revisado.

V(t)= the original venting plan

F(t)= starting 2 hrs sooner

No novo gráfico, a cada vez, o fluxo de ar é o mesmo da funçãoV original 2 horas depois. Por exemplo, na função originalV, o fluxo de ar começa a mudar às 8 da manhã, enquanto para a funçãoF, o fluxo de ar começa a mudar às 6 da manhã. Os valores de função comparáveis sãoV(8)=F(6). Veja a Figura1.5.5. Observe também que as aberturas abriram pela primeira vez220ft2 às 10h de acordo com o plano original, enquanto no novo plano as aberturas chegam220ft2 às 8h, entãoV(10)=F(8).

Em ambos os casos, vemos isso, porqueF(t) começa 2 horas mais cedo,h=2. Isso significa que os mesmos valores de saída são alcançados quandoF(t)=V(t(2))=V(t+2).

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Figura1.5.5

Análise

Observe que issoV(t+2) tem o efeito de deslocar o gráfico para a esquerda.

Mudanças horizontais ou “mudanças internas” afetam o domínio de uma função (a entrada) em vez do alcance e geralmente parecem contra-intuitivas. A nova funçãoF(t) usa as mesmas saídas deV(t), mas combina essas saídas com as entradas 2 horas antes das deV(t). Dito de outra forma, devemos adicionar 2 horas à entrada deV para encontrar a saída correspondente paraF:F(t)=V(t+2).

Como...

Dada uma função tabular, crie uma nova linha para representar um deslocamento horizontal.

  1. Identifique a linha ou coluna de entrada.
  2. Determine a magnitude da mudança.
  3. Adicione a mudança ao valor em cada célula de entrada.

Exemplo1.5.5: Shifting a Tabular Function Horizontally

Uma funçãof(x) é fornecida na Tabela1.5.4. Crie uma tabela para a funçãog(x)=f(x3).

Tabela1.5.4
x 2 4 6 8
f(x) 1 3 7 11

Solução

A fórmula nosg(x)=f(x3) diz que os valores de saída deg são iguais ao valor de saída def quando o valor de entrada é 3 a menos que o valor original. Por exemplo, sabemos dissof(2)=1. Para obter a mesma saída da funçãog, precisaremos de um valor de entrada 3 maior. Nós inserimos um valor 3 maior parag(x) porque a função retira 3 antes de avaliá-laf.

g(5)=f(53)=f(2)=1

Continuamos com os outros valores para criar a tabela1.5.5.

Tabela1.5.5
x 5 7 9 11
x3 2 4 6 8
f(x) 1 3 7 11
g(x) 1 3 7 11

O resultado é que a funçãog(x) foi deslocada para a direita em 3. Observe que os valores de saída parag(x) permanecem os mesmos que os valores de saída paraf(x), mas os valores de entrada correspondentesx,, foram deslocados para a direita em 3. Especificamente, 2 mudou para 5, 4 mudou para 7, 6 mudou para 9 e 8 mudou para 11.

Análise

1.5.6A figura representa as duas funções. Podemos ver a mudança horizontal em cada ponto.

Gráfico dos pontos da tabela anterior para f (x) e g (x) =f (x-3)
Figura1.5.6: Gráfico dos pontos da tabela anterior paraf(x) eg(x)=f(x3)

Exemplo1.5.6: Identifying a Horizontal Shift of a Toolkit Function

1.5.7A figura representa uma transformação da função do kit de ferramentasf(x)=x2. Relacione essa nova funçãog(x) com ef(x), em seguida, encontre uma fórmula parag(x).

Gráfico de uma parábola
Figura1.5.7: Gráfico de uma parábola

Solução

Observe que o gráfico tem a mesma forma daf(x)=x2 função, mas osx valores -são deslocados para as 2 unidades à direita. O vértice costumava estar em(0,0), mas agora o vértice está em(2,0). O gráfico é a função quadrática básica deslocada 2 unidades para a direita, então

g(x)=f(x2)

Observe como devemos inserir o valorx=2 para obter o valor de saíday=0; osx valores -devem ser 2 unidades maiores devido à mudança de 2 unidades para a direita. Podemos então usar a definição daf(x) função para escrever uma fórmulag(x) por meio da avaliaçãof(x2).

f(x)=x2g(x)=f(x2)g(x)=f(x2)=(x2)2

Análise

Para determinar se a mudança é+2 ou2, considere um único ponto de referência no gráfico. Para uma quadrática, observar o ponto do vértice é conveniente. Na função original,f(0)=0. Em nossa função deslocada,g(2)=0. Para obter o valor de saída de 0 da funçãof, precisamos decidir se um sinal de mais ou menos funcionará para satisfazerg(2)=f(x2)=f(0)=0. Para que isso funcione, precisaremos subtrair 2 unidades dos nossos valores de entrada.

Exemplo1.5.7: Interpreting Horizontal versus Vertical Shifts

A funçãoG(m) fornece o número de galões de gasolina necessários para percorrerm milhas. InterpretarG(m)+10 eG(m+10)

Solução

G(m)+10pode ser interpretado como adicionar 10 à saída, galões. Este é o gás necessário para percorrerm milhas, além de outros 10 galões de gasolina. O gráfico indicaria uma mudança vertical.

G(m+10)pode ser interpretado como adicionar 10 à entrada, milhas. Portanto, esse é o número de galões de gasolina necessários para dirigir 10 milhas a mais do quem milhas. O gráfico indicaria uma mudança horizontal.

Exercício1.5.7

Dada a funçãof(x)=x, represente graficamente a função originalf(x) e a transformaçãog(x)=f(x+2) nos mesmos eixos. Isso é uma mudança horizontal ou vertical? Para que lado o gráfico é deslocado e em quantas unidades?

Resposta

Os gráficos def(x) eg(x) são mostrados abaixo. A transformação é uma mudança horizontal. A função é deslocada para a esquerda em 2 unidades.

Gráfico de uma função de raiz quadrada e uma função de deslocamento horizontal do pé quadrado.
Figura1.5.8

Combinando mudanças verticais e horizontais

Agora que temos duas transformações, podemos combiná-las. Os deslocamentos verticais são mudanças externas que afetam os valores do(y) eixo de saída e deslocam a função para cima ou para baixo. Os deslocamentos horizontais são alterações internas que afetam os valores do(x) eixo de entrada e deslocam a função para a esquerda ou para a direita. A combinação dos dois tipos de mudanças fará com que o gráfico de uma função mude para cima ou para baixo e para a direita ou para a esquerda.

Como...

Dada uma função e um deslocamento vertical e horizontal, desenhe o gráfico.

  1. Identifique os desvios verticais e horizontais da fórmula.
  2. O deslocamento vertical resulta de uma constante adicionada à saída. Mova o gráfico para cima para uma constante positiva e para baixo para uma constante negativa.
  3. O deslocamento horizontal resulta de uma constante adicionada à entrada. Mova o gráfico para a esquerda para uma constante positiva e para a direita para uma constante negativa.
  4. Aplique os deslocamentos ao gráfico em qualquer ordem.

Exemplo1.5.8: Graphing Combined Vertical and Horizontal Shifts

Dadof(x)=|x|, esboce um gráfico deh(x)=f(x+1)3.

Solução

A funçãof é a função de valor absoluto do nosso kit de ferramentas. Sabemos que esse gráfico tem uma forma de V, com o ponto na origem. O gráfico de seh transformouf de duas maneiras:f(x+1) é uma mudança no interior da função, dando um deslocamento horizontal à esquerda em 1, e a subtração em 3 inf(x+1)3 é uma mudança na parte externa da função, dando um deslocamento vertical para baixo em 3. A transformação do gráfico é ilustrada na Figura1.5.9.

Vamos seguir um ponto do gráfico def(x)=|x|.

  • O ponto(0,0) é transformado primeiro deslocando para a esquerda 1 unidade:(0,0)(1,0)
  • O ponto(1,0) é transformado em seguida, deslocando 3 unidades para baixo:(1,0)(1,3)
Gráfico de uma função absoluta, <span translate=\ (y=|x|\) e como foi transformado emy=|x+1|3 "src=” https://math.libretexts.org/@api/dek...01_05_009a.jpg "/>
Figura1.5.9: Gráfico de uma função absoluta e como ela foi transformada emy=|x|y=|x+1|3

A figura1.5.10 mostra o gráfico deh.

A função final <span translate=\ (y=|x+1|-3\).” src=” https://math.libretexts.org/@api/dek...01_05_009b.jpg "/>
Figura1.5.10: A função finaly=|x+1|3.

Exercício1.5.8

Dadof(x)=|x|, esboce um gráfico deh(x)=f(x2)+4.

Resposta
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Figura1.5.11

Exemplo1.5.9: Identifying Combined Vertical and Horizontal Shifts

Escreva uma fórmula para o gráfico mostrado na Figura1.5.12, que é uma transformação da função de raiz quadrada do kit de ferramentas.

Gráfico de uma função de raiz quadrada transposta para a direita uma unidade e acima de 2.
Figura1.5.12: Gráfico de uma função de raiz quadrada transposta para a direita uma unidade e acima de 2.

Solução

O gráfico da função do kit de ferramentas começa na origem, então esse gráfico foi deslocado 1 para a direita e para cima 2. Na notação de função, poderíamos escrever isso como

h(x)=f(x1)+2

Usando a fórmula para a função de raiz quadrada, podemos escrever

h(x)=x1+2

Análise

Observe que essa transformação alterou o domínio e o alcance da função. Esse novo gráfico tem domínio[1,) e alcance[2,).

Exercício1.5.9

Escreva uma fórmula para uma transformação da função recíproca do kit de ferramentasf(x)=1x que desloca o gráfico da função uma unidade para a direita e uma unidade para cima.

Resposta

g(x)=1x1+1

Funções gráficas usando reflexões sobre os eixos

Outra transformação que pode ser aplicada a uma função é uma reflexão sobre o eixo x ou y. Uma reflexão vertical reflete um gráfico verticalmente no eixo x, enquanto uma reflexão horizontal reflete um gráfico horizontalmente no eixo y. As reflexões são mostradas na Figura1.5.13.

Gráfico da reflexão vertical e horizontal de uma função..
Figura1.5.13: Gráfico da reflexão vertical e horizontal de uma função.

Observe que a reflexão vertical produz um novo gráfico que é uma imagem espelhada da base ou do gráfico original sobre o eixo x. A reflexão horizontal produz um novo gráfico que é uma imagem espelhada da base ou gráfico original sobre o eixo y.

Definições: Reflexões

Dada uma funçãof(x), uma nova funçãog(x)=f(x) é um reflexo vertical da funçãof(x), às vezes chamada de reflexão sobre (ou sobre ou através) do eixo x.

Dada uma funçãof(x), uma nova funçãog(x)=f(x) é uma reflexão horizontal da funçãof(x), às vezes chamada de reflexão sobre o eixo y.

Como...

Dada uma função, reflita o gráfico na vertical e na horizontal.

  1. Multiplique todas as saídas por —1 para uma reflexão vertical. O novo gráfico é um reflexo do gráfico original sobre o eixo x.
  2. Multiplique todas as entradas por —1 para uma reflexão horizontal. O novo gráfico é um reflexo do gráfico original sobre o eixo y.

Exemplo1.5.10: Reflecting a Graph Horizontally and Vertically

Reflita o gráfico des(t)=t (a) na vertical e (b) na horizontal.

Solução

a. Refletir o gráfico verticalmente significa que cada valor de saída será refletido sobre o eixo t horizontal, conforme mostrado na Figura1.5.14.

Gráfico da reflexão vertical da função de raiz quadrada.
Figura1.5.14: Gráfico da reflexão vertical da função raiz quadrada.

Como cada valor de saída é o oposto do valor de saída original, podemos escrever

V(t)=s(t) or V(t)=t

Observe que essa é uma alteração externa, ou mudança vertical, que afeta oss(t) valores de saída, portanto, o sinal negativo pertence fora da função.

b. Refletir horizontalmente significa que cada valor de entrada será refletido sobre o eixo vertical, conforme mostrado na Figura1.5.15.

Gráfico da reflexão horizontal da função de raiz quadrada.
Figura1.5.15: Reflexão horizontal da função de raiz quadrada

Como cada valor de entrada é o oposto do valor de entrada original, podemos escrever

H(t)=s(t) or H(t)=t

Observe que essa é uma mudança interna ou horizontal que afeta os valores de entrada, então o sinal negativo está na parte interna da função.

Observe que essas transformações podem afetar o domínio e o alcance das funções. Enquanto a função de raiz quadrada original tem domínio[0,) e alcance[0,), a reflexão vertical dá àV(t) função o alcance(,0] e a reflexão horizontal dá àH(t) função o domínio(,0].

Exercício1.5.5

Reflita o gráfico def(x)=|x1| (a) na vertical e (b) na horizontal.

Resposta

uma.

Gráfico de uma função absoluta refletida verticalmente.
Figura1.5.16: Gráfico de uma função absoluta refletida verticalmente.

b.

O gráfico de uma função absoluta traduziu uma unidade à esquerda.
Figura1.5.17: Gráfico de uma função absoluta traduzida uma unidade à esquerda.

Exemplo1.5.11: Reflecting a Tabular Function Horizontally and Vertically

Uma funçãof(x) é fornecida como Tabela1.5.6. Crie uma tabela para as funções abaixo.

a.g(x)=f(x)
b.h(x)=f(x)

Tabela1.5.6
x 2 4 6 8
f(x) 1 3 7 11

a. Parag(x), o sinal negativo fora da função indica uma reflexão vertical, então os valores de x permanecem os mesmos e cada valor de saída será o oposto do valor de saída original. Veja a tabela1.5.7.

Tabela1.5.7
x 2 4 6 8
g(x) -1 -3 -7 -11

b. Parah(x), o sinal negativo dentro da função indica uma reflexão horizontal, então cada valor de entrada será o oposto do valor de entrada original e osh(x) valores permanecerão iguais aosf(x) valores. Veja a tabela1.5.8.

Tabela1.5.8
x -2 -4 -6 -8
h(x) 1 3 7 11

Exercício1.5.6

Uma funçãof(x) é fornecida como Tabela1.5.9. Crie uma tabela para as funções abaixo.

a.g(x)=f(x)
b.h(x)=f(x)

Tabela1.5.9
x -2 0 2 4
f(x) 5 10 15 20
Resposta

uma.g(x)=f(x)

Tabela1.5.10
x -2 0 2 4
g(x) -5 -10 -15 -20

b.h(x)=f(x)

Tabela1.5.11
x -2 0 2 -4
h(x) 15 10 5 20

Exemplo1.5.12: Applying a Learning Model Equation

Um modelo comum de aprendizagem tem uma equação semelhante ak(t)=2t+1, ondek está a porcentagem de domínio que pode ser alcançada após as sessões det prática. Essa é uma transformação da funçãof(t)=2t mostrada na Figura1.5.18. Esboce um gráfico dek(t).

Gráfico de <span translate=\ (k (t)\)” src=” https://math.libretexts.org/@api/dek..._01_05_016.jpg "/>
Figura1.5.18: Gráfico dek(t)

Solução

Essa equação combina três transformações em uma equação.

  • Uma reflexão horizontal:f(t)=2t
  • Uma reflexão vertical:f(t)=2t
  • Uma mudança vertical:f(t)+1=2t+1

Podemos esboçar um gráfico aplicando essas transformações uma de cada vez à função original. Vamos seguir dois pontos em cada uma das três transformações. Escolheremos os pontos(0,1)(1,2) e.

  • Primeiro, aplicamos uma reflexão horizontal:(0, 1) \; (–1, 2).
  • Então, aplicamos uma reflexão vertical:(0, −1) \; (-1, –2).
  • Finalmente, aplicamos uma mudança vertical:(0, 0) \; (-1, -1).

Isso significa que os pontos originais(0,1) e(1,2) se tornam(0,0) e(-1,-1) depois de aplicarmos as transformações.

Na Figura\PageIndex{19}, o primeiro gráfico resulta de uma reflexão horizontal. O segundo resulta de uma reflexão vertical. O terceiro resulta de uma mudança vertical para cima de 1 unidade.

Gráficos de todas as transformações.
Figura\PageIndex{19}: Gráficos de todas as transformações.

Análise

Como modelo de aprendizagem, essa função seria limitada a um domínio det\geq0, com alcance correspondente\left[0,1\right).

Exercício\PageIndex{7}

Dada a função do kit de ferramentasf(x)=x^2, gráficog(x)=−f(x)h(x)=f(−x) e. Anote qualquer comportamento surpreendente dessas funções.

Resposta
Gráfico de x^2 e seus reflexos.
Figura\PageIndex{20}: Gráficox^2 e suas reflexões.

Aviso:g(x)=f(−x) parece o mesmo quef(x).

Determinando funções pares e ímpares

Algumas funções exibem simetria, de modo que os reflexos resultam no gráfico original. Por exemplo, refletir horizontalmente as funções do kit de ferramentasf(x)=x^2 ouf(x)=|x| resultará no gráfico original. Dizemos que esses tipos de gráficos são simétricos em relação ao eixo y. Funções cujos gráficos são simétricos em relação ao eixo y são chamadas de funções pares.

Se os gráficos def(x)=x^3 ouf(x)=\frac{1}{x} fossem refletidos em ambos os eixos, o resultado seria o gráfico original, conforme mostrado na Figura\PageIndex{21}.

Gráfico de <span translate=\ (x^3\) e suas reflexões.” src=” https://math.libretexts.org/@api/dek..._05_021abc.jpg "/>
Figura\PageIndex{21}: (a) A função cúbica do kit de ferramentas (b) A reflexão horizontal da função cúbica do kit de ferramentas (c) As reflexões horizontais e verticais reproduzem a função cúbica original.

Dizemos que esses gráficos são simétricos quanto à origem. Uma função com um gráfico simétrico em relação à origem é chamada de função ímpar.

Nota: Uma função não pode ser nem par nem ímpar se não exibir nenhuma simetria. Por exemplo, nãof(x)=2^x é par nem ímpar. Além disso, a única função que é par e ímpar é a função constantef(x)=0.

Definições: Funções pares e ímpares

Uma função é chamada de função par se para cada entradax

f(x)=f(−x)

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.

Uma função é chamada de função ímpar se for para cada entradax

f(x)=−f(−x)

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

Como...

Dada a fórmula de uma função, determine se a função é par, ímpar ou nenhuma.

  1. Determine se a função é satisfatóriaf(x)=f(−x). Se isso acontecer, está empatado.
  2. Determine se a função é satisfatóriaf(x)=−f(−x). Se isso acontecer, é estranho.
  3. Se a função não satisfizer nenhuma das regras, ela não será nem par nem ímpar.

Exemplo\PageIndex{13}: Determining whether a Function Is Even, Odd, or Neither

A função éf(x)=x^3+2x par, ímpar ou nenhuma?

Solução

Sem olhar para um gráfico, podemos determinar se a função é par ou ímpar encontrando fórmulas para as reflexões e determinando se elas nos retornam à função original. Vamos começar com a regra para funções pares.

f(−x)=(−x)^3+2(−x)=−x^3−2x \nonumber

Isso não nos retorna à função original, então essa função não é uniforme. Agora podemos testar a regra para funções ímpares.

−f(−x)=−(−x^3−2x)=x^3+2x \nonumber

Porque−f(−x)=f(x) essa é uma função estranha.

Análise

Considere o gráfico def na Figura\PageIndex{22}. Observe que o gráfico é simétrico em relação à origem. Para cada ponto(x,y) no gráfico, o ponto correspondente também(−x,−y) está no gráfico. Por exemplo,(1, 3) está no gráfico def, e o ponto correspondente também(−1,−3) está no gráfico.

Gráfico de <span translate=\ (f (x)\) com pontos rotulados em(1, 3) e(-1, -3) "src=” https://math.libretexts.org/@api/dek..._01_05_039.jpg "/>
Figura\PageIndex{22}: Gráfico def(x) com pontos rotulados em(1, 3)(-1, -3) e.

Exercício\PageIndex{8}

A função éf(s)=s^4+3s^2+7 par, ímpar ou nenhuma?

Resposta

uniforme

Funções gráficas usando alongamentos e compressões

Adicionar uma constante às entradas ou saídas de uma função alterou a posição de um gráfico em relação aos eixos, mas não afetou a forma de um gráfico. Agora, exploramos os efeitos da multiplicação das entradas ou saídas por alguma quantidade.

Podemos transformar o interior (valores de entrada) de uma função ou podemos transformar o exterior (valores de saída) de uma função. Cada alteração tem um efeito específico que pode ser visto graficamente.

Alongamentos e compressões verticais

Quando multiplicamos uma função por uma constante positiva, obtemos uma função cujo gráfico é esticado ou comprimido verticalmente em relação ao gráfico da função original. Se a constante for maior que 1, obtemos um alongamento vertical; se a constante estiver entre 0 e 1, obtemos uma compressão vertical. A figura\PageIndex{23} mostra uma função multiplicada pelos fatores constantes 2 e 0,5 e o alongamento e compressão verticais resultantes.

Gráfico de uma função que mostra o alongamento e a compressão verticais.
Figura\PageIndex{23}: Alongamento e compressão verticais

Definições: alongamentos e compressões verticais

Dada uma funçãof(x), uma nova funçãog(x)=af(x), ondea é uma constante, é um alongamento vertical ou compressão vertical da funçãof(x).

  • Sea>1 sim, então o gráfico será esticado.
  • Se0<a<1 sim, então o gráfico será compactado.
  • Sea<0, então haverá uma combinação de um estiramento ou compressão vertical com uma reflexão vertical.

Como...

Dada uma função, represente graficamente sua extensão vertical.

  1. Identifique o valor dea.
  2. Multiplique todos os valores do intervalo pora
  3. Sea>1, o gráfico é esticado por um fator dea.
  4. Se0<a<1, o gráfico é comprimido por um fator dea.
  5. Sea<0, o gráfico está esticado ou comprimido e também é refletido sobre o eixo x.

Exemplo 1.5.14: Representação gráfica de um trecho vertical

Uma funçãoP(t) modela a população de moscas-das-frutas. O gráfico é mostrado na Figura\PageIndex{24}.

Gráfico para representar o crescimento da população de moscas-das-frutas.
Figura\PageIndex{24}: Gráfico para representar o crescimento da população de moscas-das-frutas.

Um cientista está comparando essa população com outra populaçãoQ, cujo crescimento segue o mesmo padrão, mas é duas vezes maior. Esboce um gráfico dessa população.

Solução

Como a população é sempre duas vezes maior, os valores de saída da nova população são sempre o dobro dos valores de saída da função original. Graficamente, isso é mostrado na Figura\PageIndex{25}.

Se escolhermos quatro pontos de referência(0, 1)(3, 3),,,(6, 2) e(7, 0) multiplicaremos todas as saídas por 2.

O seguinte mostra onde os novos pontos do novo gráfico estarão localizados.

(0, 1)\rightarrow(0, 2)

(3, 3)\rightarrow(3, 6)

(6, 2)\rightarrow(6, 4)

(7, 0)\rightarrow(7, 0)

O gráfico da função populacional dobrou.
Figura\PageIndex{25}: O gráfico da função populacional dobrou.

Simbolicamente, o relacionamento é escrito como

Q(t)=2P(t) \nonumber

Isso significa que, para qualquer entradat, o valor da funçãoQ é o dobro do valor da funçãoP. Observe que o efeito no gráfico é um alongamento vertical do gráfico, em que cada ponto dobra sua distância do eixo horizontal. Os valores de entrada,t, permanecem os mesmos, enquanto os valores de saída são duas vezes maiores do que antes.

Como...

Dada uma função tabular e supondo que a transformação seja um alongamento ou compressão vertical, crie uma tabela para uma compressão vertical.

  1. Determine o valor dea.
  2. Multiplique todos os valores de saída pora.

Exemplo\PageIndex{15}: Finding a Vertical Compression of a Tabular Function

Uma funçãof é fornecida como Tabela\PageIndex{12}. Crie uma tabela para a funçãog(x)=\frac{1}{2}f(x).

Tabela\PageIndex{12}
x 2 4 6 8
f(x) 1 3 7 11

Solução

A fórmula nosg(x)=\frac{1}{2}f(x) diz que os valores de saída deg são metade dos valores de saída def com as mesmas entradas. Por exemplo, sabemos dissof(4)=3. Então

g(4)=\frac{1}{2}f(4)=\frac{1}{2}(3)=\frac{3}{2} \nonumber

Fazemos o mesmo com os outros valores para produzir a Tabela\PageIndex{13}.

Tabela\PageIndex{13}
x 2 4 6 8
g(x) \dfrac{1}{2} \dfrac{3}{2} \dfrac{7}{2} \dfrac{11}{2}

Análise

O resultado é que a funçãog(x) foi comprimida verticalmente por\frac{1}{2}. Cada valor de saída é dividido ao meio, então o gráfico tem metade da altura original.

Exercício\PageIndex{9}

Uma funçãof é fornecida como Tabela\PageIndex{14}. Crie uma tabela para a funçãog(x)=\frac{3}{4}f(x).

Tabela\PageIndex{14}
x 2 4 6 8
f(x) 12 16 20 0
Resposta
Tabela\PageIndex{15}
x 2 4 6 8
g(x) 9 12 15 0

Exemplo\PageIndex{16}: Recognizing a Vertical Stretch

O gráfico na Figura\PageIndex{26} é uma transformação da função do kit de ferramentasf(x)=x^3. Relacione essa nova funçãog(x) com ef(x), em seguida, encontre uma fórmula parag(x).

[Gráfico de uma transformação de <span translate=\ (f (x) =x^3\)” src=” https://math.libretexts.org/@api/dek..._01_05_027.jpg "/>
Figura\PageIndex{26}: Gráfico de uma transformação def(x)=x^3

Ao tentar determinar um alongamento ou desvio vertical, é útil procurar um ponto no gráfico que seja relativamente claro. Neste gráfico, parece queg(2)=2. Com a função cúbica básica na mesma entrada,f(2)=2^3=8. Com base nisso, parece que as saídas deg são\frac{1}{4} as saídas da funçãof porqueg(2)=\frac{1}{4}f(2). A partir disso, podemos concluir isso com bastante segurançag(x)=\frac{1}{4}f(x).

Podemos escrever uma fórmula parag usando a definição da funçãof.

g(x)=\frac{1}{4} f(x)=\frac{1}{4}x^3.

Exercício\PageIndex{1}

Escreva a fórmula para a função que obtemos quando ampliamos a função do kit de ferramentas de identidade em um fator de 3 e, em seguida, diminua-a em 2 unidades.

Resposta

g(x)=3x-2

Alongamentos e compressões horizontais

Agora vamos considerar as mudanças no interior de uma função. Quando multiplicamos a entrada de uma função por uma constante positiva, obtemos uma função cujo gráfico é esticado ou comprimido horizontalmente em relação ao gráfico da função original. Se a constante estiver entre 0 e 1, obtemos um alongamento horizontal; se a constante for maior que 1, obtemos uma compressão horizontal da função.

Gráfico do estiramento vertical e compressão de x^2.
Figura\PageIndex{27}: Gráfico do estiramento vertical e compressão dex^2.

Dada uma funçãoy=f(x), o formulárioy=f(bx) resulta em um alongamento ou compressão horizontal. Considere a funçãoy=x^2. Observe a figura\PageIndex{27}. O gráfico dey=(0.5x)^2 é um trecho horizontal do gráfico da funçãoy=x^2 por um fator de 2. O gráfico dey=(2x)^2 é uma compressão horizontal do gráfico da funçãoy=x^2 por um fator de 2.

Definições: alongamentos e compressões horizontais

Dada uma funçãof(x), uma nova funçãog(x)=f(bx), ondeb é uma constante, é um alongamento horizontal ou compressão horizontal da funçãof(x).

  • Seb>1 sim, então o gráfico será compactado por\frac{1}{b}.
  • Se0<b<1 sim, então o gráfico será esticado por\frac{1}{b}.
  • Seb<0, então, haverá uma combinação de um estiramento ou compressão horizontal com uma reflexão horizontal.

Como...

Dada a descrição de uma função, desenhe uma compressão ou estiramento horizontal.

  1. Escreva uma fórmula para representar a função.
  2. Definag(x)=f(bx) ondeb>1 para uma compressão ou0<b<1 para um alongamento.

Exemplo\PageIndex{17}: Graphing a Horizontal Compression

Suponha que um cientista esteja comparando uma população de moscas-das-frutas com uma população que progride ao longo de sua vida útil duas vezes mais rápido que a população original. Em outras palavras, essa nova população,R, progredirá em 1 hora na mesma quantidade que a população original em 2 horas e, em 2 horas, progredirá tanto quanto a população original em 4 horas. Esboce um gráfico dessa população.

Solução

Simbolicamente, poderíamos escrever

\begin{align} R(1)&=P(2), \\ R(2)&=P(4), &\text{and in general,} \\ R(t)&=P(2t).\end{align}

Veja a Figura\PageIndex{28} para uma comparação gráfica da população original e da população comprimida.

Dois gráficos lado a lado. O primeiro gráfico tem função para a população original cujo domínio é [0,7] e alcance é [0,3]. O valor máximo ocorre em (3,3). O segundo gráfico tem a mesma forma do primeiro, exceto que tem metade da largura. É um gráfico da população transformada, com um domínio de [0, 3,5] e um intervalo de [0,3]. O máximo ocorre em (1,5, 3).
Figura\PageIndex{28}: (a) Gráfico da população original (b) Gráfico da população comprimida

Análise

Observe que o efeito no gráfico é uma compressão horizontal em que todos os valores de entrada são metade da distância original do eixo vertical.

Exemplo\PageIndex{18}: Finding a Horizontal Stretch for a Tabular Function

Uma funçãof(x) é fornecida como Tabela\PageIndex{16}. Crie uma tabela para a funçãog(x)=f(\frac{1}{2}x).

Tabela\PageIndex{16}
x 2 4 6 8
f(x) 1 3 7 11

A fórmula nosg(x)=f(\frac{1}{2}x) diz que os valores de saída parag são iguais aos valores de saída para a funçãof em uma entrada com metade do tamanho. Observe que não temos informações suficientes para determinarg(2) porqueg(2)=f(\frac{1}{2}⋅2)=f(1), e não temos um valor paraf(1) em nossa tabela. Nossos valores de entrada parag precisarão ser duas vezes maiores para obter entradasf que possamos avaliar. Por exemplo, podemos determinarg(4).

g(4)=f(\dfrac{1}{2}⋅4)=f(2)=1

Fazemos o mesmo com os outros valores para produzir a Tabela\PageIndex{17}.

Tabela\PageIndex{17}
x 4 8 12 16
g(x) 1 3 7 11

A figura\PageIndex{29} mostra os gráficos de ambos os conjuntos de pontos.

Gráfico da tabela anterior.
Figura\PageIndex{29}: Gráfico da tabela anterior.

Análise

Como cada valor de entrada foi dobrado, o resultado é que a funçãog(x) foi esticada horizontalmente por um fator de 2.

Exemplo\PageIndex{19}: Recognizing a Horizontal Compression on a Graph

Relacioneg(x) a função com af(x) Figura\PageIndex{30}.

Gráfico de <span translate=\ (f (x)\) sendo compactado verticalmente parag(x).” src=” https://math.libretexts.org/@api/dek..._01_05_032.jpg "/>
Figura\PageIndex{30}: Gráfico def(x) compressão vertical emg(x).

Solução

O gráfico deg(x) se parece com o gráfico de comprimidof(x) horizontalmente. Comof(x) termina em (6,4) eg(x) termina em (2,4), podemos ver que os valores de x foram comprimidos por\frac{1}{3}, porque6(\frac{1}{3})=2. Também podemos notar queg(2)=f(6)g(1)=f(3) e. De qualquer jeito, podemos descrever esse relacionamento comog(x)=f(3x). Esta é uma compressão horizontal de\frac{1}{3}.

Análise

Observe que o coeficiente necessário para um alongamento ou compressão horizontal é o inverso do alongamento ou compressão. Então, para esticar o gráfico horizontalmente por um fator de escala de 4, precisamos de um coeficiente de\frac{1}{4} em nossa função:f(\frac{1}{4}x). Isso significa que os valores de entrada devem ser quatro vezes maiores para produzir o mesmo resultado, exigindo que a entrada seja maior, causando o alongamento horizontal.

Exercício\PageIndex{11}

Escreva uma fórmula para a função de raiz quadrada do kit de ferramentas esticada horizontalmente por um fator de 3.

Resposta

g(x)=f(\frac{1}{3}x), então, usando a função de raiz quadrada, obtemosg(x)=\sqrt{\frac{1}{3}x}

Executando uma sequência de transformações

Ao combinar transformações, é muito importante considerar a ordem das transformações. Por exemplo, deslocar verticalmente em 3 e depois esticar verticalmente em 2 não cria o mesmo gráfico que esticar verticalmente por 2 e depois deslocar verticalmente por 3, porque quando mudamos primeiro, tanto a função original quanto a mudança são esticadas, enquanto somente a função original é esticada quando estique primeiro.

Quando vemos uma expressão como2f(x)+3, com qual transformação devemos começar? A resposta aqui segue muito bem a ordem das operações. Dado o valor de saída def(x), primeiro multiplicamos por 2, causando o alongamento vertical e, em seguida, adicionamos 3, causando a mudança vertical. Em outras palavras, multiplicação antes da adição.

É um pouco mais difícil pensar em transformações horizontais. Quando escrevemosg(x)=f(2x+3), por exemplo, temos que pensar em como as entradas da funçãog se relacionam com as entradas da funçãof. Suponha que sabemosf(7)=12. Qual entradag produziria essa saída? Em outras palavras, que valorx permitiriag(x)=f(2x+3)=12? Nós precisaríamos2x+3=7. Para resolverx, primeiro subtrairíamos 3, resultando em um deslocamento horizontal, e depois dividiríamos por 2, causando uma compressão horizontal.

Esse formato acaba sendo muito difícil de trabalhar, pois geralmente é muito mais fácil esticar horizontalmente um gráfico antes de deslocá-lo. Podemos contornar isso fatorando dentro da função.

f(bx+p)=f(b(x+\frac{p}{b})) \nonumber

Vamos analisar um exemplo.

f(x)=(2x+4)^2 \nonumber

Podemos considerar um 2.

f(x)=(2(x+2))^2 \nonumber

Agora podemos observar com mais clareza um deslocamento horizontal para a esquerda de 2 unidades e uma compressão horizontal. A fatoração dessa maneira nos permite esticar horizontalmente primeiro e depois mudar horizontalmente.

Combinando transformações

  • Ao combinar transformações verticais escritas no formulárioaf(x)+k, primeiro estique-se verticalmentea e depois mude verticalmentek.
  • Ao combinar transformações horizontais escritas no formuláriof(bx+h), primeiro mude horizontalmenteh e, em seguida, estique-se horizontalmente\frac{1}{b}.
  • Ao combinar transformações horizontais escritas no formuláriof(b(x+h)), primeiro estique horizontalmente\frac{1}{b} e depois mude horizontalmenteh.
  • As transformações horizontais e verticais são independentes. Não importa se as transformações horizontais ou verticais são realizadas primeiro.

Exemplo\PageIndex{20}: Finding a Triple Transformation of a Tabular Function

Dada a Tabela\PageIndex{18} para a funçãof(x), crie uma tabela de valores para a funçãog(x)=2f(3x)+1.

Tabela\PageIndex{18}
x 6 12 18 24
f(x) 10 14 15 17

Solução

Há três etapas para essa transformação e trabalharemos de dentro para fora. Começando com as transformações horizontais,f(3x) é uma compressão horizontal por\frac{1}{3}, o que significa que multiplicamos cadax valor -por\frac{1}{3} .Veja a tabela\PageIndex{19}.

Tabela\PageIndex{19}
x 2 4 6 8
f(3x) 10 14 15 17

Olhando agora para as transformações verticais, começamos com o alongamento vertical, que multiplicará os valores de saída por 2. Nós aplicamos isso à transformação anterior. Veja a tabela\PageIndex{20}.

Tabela\PageIndex{20}
x 2 4 6 8
2f(3x) 20 28 30 34

Finalmente, podemos aplicar o deslocamento vertical, que adicionará 1 a todos os valores de saída. Veja a tabela\PageIndex{21}.

Tabela\PageIndex{21}
x 2 4 6 8
g(x)=2f(3x)+1+1 21 29 31 35

Exemplo\PageIndex{21}: Finding a Triple Transformation of a Graph

Use o gráfico def(x) na Figura\PageIndex{31} para esboçar um gráfico dek(x)=f\Big(\frac{1}{2}x+1\Big)−3.

Gráfico de um semicírculo.
Figura\PageIndex{31}: Gráfico de um semicírculo.

Para simplificar, vamos começar considerando o interior da função.

f\Big(\dfrac{1}{2}x+1\Big)−3=f\Big(\dfrac{1}{2}(x+2)\Big)−3

Ao fatorar o interior, podemos primeiro esticar horizontalmente\frac{1}{2} em 2, conforme indicado pela parte interna da função. Lembre-se de que o dobro do tamanho de 0 ainda é 0, então o ponto(0,2) permanece no(0,2) mesmo momento em que o ponto se(2,0) estenderá(4,0). Veja a Figura\PageIndex{32}.

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Figura\PageIndex{32}: Gráfico de um semicírculo com alongamento vertical.

Em seguida, deslocamos horizontalmente para a esquerda em 2 unidades, conforme indicado porx+2. Veja a Figura\PageIndex{33}.

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Figura\PageIndex{33}: Gráfico de um estiramento vertical e semicírculo traduzido.

Por último, diminuímos verticalmente em 3 para completar nosso esboço, conforme indicado pelo −3 na parte externa da função. Veja a Figura\PageIndex{34}.

alt
Figura\PageIndex{34}: Gráfico de um estiramento vertical e semicírculo traduzido.

Equações-chave

  • Deslocamento verticalg(x)=f(x)+k (para cimak>0)
  • Deslocamento horizontalg(x)=f(x−h) (à direita) parah>0
  • Reflexão verticalg(x)=−f(x)
  • Reflexão horizontalg(x)=f(−x)
  • Estiramento verticalg(x)=af(x) (a>0)
  • Compressão verticalg(x)=af(x) (0<a<1)
  • Estiramento horizontalg(x)=f(bx)(0<b<1)
  • Compressão horizontalg(x)=f(bx) (b>1)

Conceitos-chave

  • Uma função pode ser deslocada verticalmente adicionando uma constante à saída.
  • Uma função pode ser deslocada horizontalmente adicionando uma constante à entrada.
  • Relacionar a mudança ao contexto de um problema possibilita comparar e interpretar mudanças verticais e horizontais.
  • As mudanças verticais e horizontais geralmente são combinadas.
  • Uma reflexão vertical reflete um gráfico sobre o eixo x. Um gráfico pode ser refletido verticalmente multiplicando a saída por —1.
  • Uma reflexão horizontal reflete um gráfico sobre o eixo y. Um gráfico pode ser refletido horizontalmente multiplicando a entrada por —1.
  • Um gráfico pode ser refletido tanto na vertical quanto na horizontal. A ordem na qual as reflexões são aplicadas não afeta o gráfico final.
  • Uma função apresentada em forma de tabela também pode ser refletida multiplicando-se os valores nas linhas ou colunas de entrada e saída de forma adequada.
  • Uma função apresentada como uma equação pode ser refletida aplicando transformações uma de cada vez.
  • As funções pares são simétricas em relação ao eixo y, enquanto as funções ímpares são simétricas em relação à origem.
  • Até mesmo as funções satisfazem a condiçãof(x)=f(−x).
  • Funções estranhas satisfazem a condiçãof(x)=−f(−x).
  • Uma função pode ser ímpar, par ou nenhuma delas.
  • Uma função pode ser comprimida ou esticada verticalmente multiplicando a saída por uma constante.
  • Uma função pode ser comprimida ou esticada horizontalmente multiplicando a entrada por uma constante.
  • A ordem na qual diferentes transformações são aplicadas afeta a função final. As transformações verticais e horizontais devem ser aplicadas na ordem indicada. No entanto, uma transformação vertical pode ser combinada com uma transformação horizontal em qualquer ordem.

Glossário

função uniforme

uma função cujo gráfico é inalterado pela reflexão horizontal,f(x)=f(−x), e é simétrico em relação ao eixo y

compressão horizontal:
uma transformação que comprime o gráfico de uma função horizontalmente, multiplicando a entrada por uma constante b>1

reflexão horizontal:
uma transformação que reflete o gráfico de uma função no eixo y multiplicando a entrada por −1

deslocamento horizontal:
uma transformação que desloca o gráfico de uma função para a esquerda ou para a direita ao adicionar uma constante positiva ou negativa à entrada

estiramento horizontal:
uma transformação que estica o gráfico de uma função horizontalmente multiplicando a entrada por uma constante 0<b<1

função ímpar:
uma função cujo gráfico é inalterado pela reflexão horizontal e vertical combinadaf(x)=−f(−x), e é simétrico quanto à origem

compressão vertical
uma transformação de função que comprime o gráfico da função verticalmente multiplicando a saída por uma constante 0<a<1

reflexão vertical:
uma transformação que reflete o gráfico de uma função no eixo x multiplicando a saída por −1

deslocamento vertical -
uma transformação que desloca o gráfico de uma função para cima ou para baixo ao adicionar uma constante positiva ou negativa à saída

estiramento vertical
uma transformação que estica o gráfico de uma função verticalmente multiplicando a saída por uma constante a>1