6.6: Propriedades logarítmicas
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- 189398
- Use a regra do produto para logaritmos.
- Use a regra do quociente para logaritmos.
- Use a regra de potência para logaritmos.
- Expanda expressões logarítmicas.
- Condense expressões logarítmicas.
- Use a fórmula de mudança de base para logaritmos.
Em química, a escala de pH é usada como uma medida da acidez ou alcalinidade de uma substância. Substâncias com pH menor que\(7\) são consideradas ácidas e substâncias com pH maior do que\(7\) se diz alcalinas. Nosso corpo, por exemplo, deve manter um pH próximo de para que as enzimas\(7.35\) funcionem adequadamente. Para ter uma ideia do que é ácido e alcalino, considere os seguintes níveis de pH de algumas substâncias comuns:
- Ácido da bateria:\(0.8\)
- Ácido gástrico:\(2.7\)
- Suco de laranja:\(3.3\)
- Água pura:\(7\) em\(25^\circ C\)
- Sangue humano:\(7.35\)
- Coco fresco:\(7.8\)
- Hidróxido de sódio (soda cáustica):\(14\)
Para determinar se uma solução é ácida ou alcalina, encontramos seu pH, que é uma medida do número de íons de hidrogênio positivos ativos na solução. O pH é definido pela seguinte fórmula, onde\([\ce{H^{+}}]\) é a concentração de íons de hidrogênio na solução
\[\begin{align} {pH}&=−{\log}([\ce{H^{+}}]) \label{eq1} \\[4pt] &={\log}\left(\dfrac{1}{[\ce{H^{+}}]}\right) \label{eq2} \end{align}\]
A equivalência das equações\ ref {eq1} e\ ref {eq2} é uma das propriedades logarítmicas que examinaremos nesta seção.
Usando a regra do produto para logaritmos
Lembre-se de que as funções logarítmica e exponencial “se desfazem”. Isso significa que os logaritmos têm propriedades semelhantes aos expoentes. Algumas propriedades importantes dos logaritmos são dadas aqui. Primeiro, as propriedades a seguir são fáceis de provar.
\[ \begin{align*} \log_b1 &=0 \\[4pt] \log_bb &=1 \end{align*}\]
Por exemplo,\({\log}_51=0\) desde\(5^0=1\). E\({\log}_55=1\) desde então\(5^1=5\).
Em seguida, temos a propriedade inversa.
\[ \begin{align*} \log_b(b^x) &=x \\[4pt] b^{\log_b x} &=x, \,x>0 \end{align*}\]
Por exemplo, para calcular\({\log(100)}\), podemos reescrever o logaritmo como e\({\log}_{10}({10}^2)\), em seguida, aplicar a propriedade inversa\({\log}_b(b^x)=x\) para obter\({\log}_{10}({10}^2)=2\).
Para calcular\(e^{\ln(7)}\), podemos reescrever o logaritmo como e\(e^{{\log}_e7}\), em seguida, aplicar a propriedade inversa\(b^{{\log}_bx}=x\) para obter\(e^{{\log}_e 7}=7\).
Finalmente, temos a propriedade individual.
\[ \log_bM = \log_bN \text{ if and only if } M=N\]
Podemos usar a propriedade um-para-um para resolver a equação\({\log}_3(3x)={\log}_3(2x+5)\) de\(x\). Como as bases são as mesmas, podemos aplicar a propriedade um-para-um definindo os argumentos iguais e resolvendo para\(x\):
\(3x=2x+5\)Defina os argumentos iguais.
\(x=5\)Subtrair\(2x\).
Mas e a equação\({\log}_3(3x)+{\log}_3(2x+5)=2\)? A propriedade individual não nos ajuda nesse caso. Antes de resolvermos uma equação como essa, precisamos de um método para combinar termos no lado esquerdo da equação.
Lembre-se de que usamos a regra do produto dos expoentes para combinar o produto dos expoentes adicionando:\(x^ax^b=x^{a+b}\). Temos uma propriedade similar para logaritmos, chamada de regra do produto para logaritmos, que diz que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos. Como os registros são expoentes e nos multiplicamos como bases, podemos somar os expoentes. Usaremos a propriedade inversa para derivar a regra do produto abaixo.
Dado qualquer número real\(x\) e números reais positivos\(M\)\(N\), e\(b\), onde\(b≠1\), mostraremos
\({\log}_b(MN)={\log}_b(M)+{\log}_b(N)\).
Deixe\(m={\log}_bM\)\(n={\log}_bN\) e. Na forma exponencial, essas equações são\(b^m=M\)\(b^n=N\) e. Daqui resulta que
\[\begin{align*} {\log}_b(MN)&= {\log}_b(b^mb^n) \qquad \text{Substitute for M and N}\\[4pt] &= {\log}_b(b^{m+n}) \qquad \text{Apply the product rule for exponents}\\[4pt] &= m+n \qquad \text{Apply the inverse property of logs}\\[4pt] &= {\log}_b(M)+{\log}_b(N) \qquad \text{Substitute for m and n} \end{align*}\]
Observe que aplicações repetidas da regra do produto para logaritmos nos permitem simplificar o logaritmo do produto de qualquer número de fatores. Por exemplo, considere\({\log}_b(wxyz)\). Usando a regra do produto para logaritmos, podemos reescrever esse logaritmo de um produto como a soma dos logaritmos de seus fatores:
\({\log}_b(wxyz)={\log}_bw+{\log}_bx+{\log}_by+{\log}_bz\)
A regra do produto para logaritmos pode ser usada para simplificar o logaritmo de um produto reescrevendo-o como uma soma de logaritmos individuais.
\[\begin{align} {\log}_b(MN)={\log}_b(M)+{\log}_b(N)\text{ for } b> 0 \end{align}\]
- Considere o argumento completamente, expressando cada fator de número inteiro como um produto de números primos.
- Escreva a expressão equivalente somando os logaritmos de cada fator.
Expandir\({\log}_3(30x(3x+4))\).
Solução
Começamos considerando completamente o argumento, expressando-o\(30\) como um produto de números primos.
\({\log}_3(30x(3x+4))={\log}_3(2⋅3⋅5⋅x⋅(3x+4))\)
Em seguida, escrevemos a equação equivalente somando os logaritmos de cada fator.
\({\log}_3(30x(3x+4))={\log}_3(2)+{\log}_3(3)+{\log}_3(5)+{\log}_3(x)+{\log}_3(3x+4)\)
Expandir\({\log}_b(8k)\).
- Responda
-
\({\log}_b2+{\log}_b2+{\log}_b2+{\log}_bk=3{\log}_b2+{\log}_bk\)
Usando a regra do quociente para logaritmos
Para quocientes, temos uma regra similar para logaritmos. Lembre-se de que usamos a regra do quociente dos expoentes para combinar o quociente dos expoentes subtraindo:\(x^{\frac{a}{b}}=x^{a−b}\). A regra do quociente para logaritmos diz que o logaritmo de um quociente é igual a uma diferença de logaritmos.
A regra do quociente para logaritmos pode ser usada para simplificar um logaritmo ou um quociente reescrevendo-o como a diferença de logaritmos individuais.
\[{\log}_b\left(\dfrac{M}{N}\right)={\log}_bM−{\log}_bN\]
Assim como com a regra do produto, podemos usar a propriedade inversa para derivar a regra do quociente.
Dado qualquer número real\(x\) e números reais positivos\(M\)\(N\), b, b, onde\(b≠1\), mostraremos
\({\log}_b\left(\dfrac{M}{N}\right)={\log}_b(M)−{\log}_b(N)\).
Deixe\(m={\log}_bM\)\(n={\log}_bN\) e. Na forma exponencial, essas equações são\(b^m=M\)\(b^n=N\) e. Daqui resulta que
\[\begin{align*} {\log}_b\left (\dfrac{M}{N} \right )&= {\log}_b\left(\dfrac{b^m}{b^n}\right) \qquad \text{Substitute for M and N}\\[4pt] &= {\log}_b(b^{m-n}) \qquad \text{Apply the quotient rule for exponents}\\[4pt] &= m-n \qquad \text{Apply the inverse property of logs}\\[4pt] &= {\log}_b(M)-{\log}_b(N) \qquad \text{Substitute for m and n} \end{align*}\]
Por exemplo, para expandir\({\log}\left (\dfrac{2x^2+6x}{3x+9} \right )\), precisamos primeiro expressar o quociente em termos mais baixos. Fatorando e cancelando, obtemos,
\[\begin{align*} {\log}\left (\dfrac{2x^2+6x}{3x+9} \right )&= {\log}\left (\dfrac{2x(x+3)}{3(x+3)} \right ) \qquad \text{Factor the numerator and denominator}\\[4pt] &= {\log}\left (\dfrac{2x}{3} \right ) \qquad \text{Cancel the common factors} \end{align*}\]
Em seguida, aplicamos a regra do quociente subtraindo o logaritmo do denominador do logaritmo do numerador. Em seguida, aplicamos a regra do produto.
\[ \begin{align*} {\log}\left(\dfrac{2x}{3}\right) &={\log}(2x)−{\log}(3) \\[4pt] &={\log}(2)+{\log}(x)−{\log}(3) \end{align*}\]
- Expresse o argumento em termos mais baixos fatorando o numerador e o denominador e cancelando termos comuns.
- Escreva a expressão equivalente subtraindo o logaritmo do denominador do logaritmo do numerador.
- Verifique se cada termo está totalmente expandido. Caso contrário, aplique a regra do produto para que os logaritmos se expandam completamente.
Expandir\({log}_2\left(\dfrac{15x(x−1)}{(3x+4)(2−x)}\right)\).
Solução
Primeiro, notamos que o quociente é fatorado e em termos mais baixos, então aplicamos a regra do quociente.
\({\log}_2(\dfrac{15x(x−1)}{(3x+4)(2−x)})={\log}_2(15x(x−1))−{\log}_2((3x+4)(2−x))\)
Observe que os termos resultantes são logaritmos de produtos. Para expandir completamente, aplicamos a regra do produto, observando que os fatores primos do fator 15 são 3 e 5.
\[\begin{align*} {\log}_2(15x(x-1))-{\log}_2((3x+4)(2-x))&= [{\log}_2(3)+{\log}_2(5)+{\log}_2(x)+{\log}_2(x-1)]-[{\log}_2(3x+4)+{\log}_2(2-x)]\\[4pt] &= {\log}_2(3)+{\log}_2(5)+{\log}_2(x)+{\log}_2(x-1)-{\log}_2(3x+4)-{\log}_2(2-x) \end{align*}\]
Análise
Há exceções a serem consideradas neste e em exemplos posteriores. Primeiro, como os denominadores nunca devem ser zero, essa expressão não está definida para\(x=−\dfrac{4}{3}\)\(x=2\) e. Além disso, como o argumento de um logaritmo deve ser positivo, notamos ao observarmos o logaritmo expandido\(x>0\)\(x>1\), que\(x>−\dfrac{4}{3}\),,\(x<2\) e. A combinação dessas condições está além do escopo desta seção e não as consideraremos aqui ou em exercícios subsequentes.
Expandir\({\log}_3\left(\dfrac{7x^2+21x}{7x(x−1)(x−2)}\right)\).
- Responda
-
\({\log}_3(x+3)−{\log}_3(x−1)−{\log}_3(x−2)\)
Usando a regra de potência para logaritmos
Exploramos a regra do produto e a regra do quociente, mas como podemos obter o logaritmo de uma potência, como\(x^2\)? Um método é o seguinte:
\[\begin{align*} {\log}_b(x^2)&= {\log}_b(x\cdot x)\\[4pt] &= {\log}_bx+{\log}_bx\\[4pt] &= 2{\log}_bx \end{align*}\]
Observe que usamos a regra do produto para logaritmos para encontrar uma solução para o exemplo acima. Ao fazer isso, derivamos a regra de potência para logaritmos, que diz que o log de uma potência é igual ao expoente vezes o log da base. Lembre-se de que, embora a entrada para um logaritmo possa não ser escrita como uma potência, talvez possamos alterá-la para uma potência. Por exemplo,
\(100={10}^2\)\(\sqrt{3}=3^{\dfrac{1}{2}}\)\(\dfrac{1}{e}=e^{−1}\)
A regra de potência para logaritmos pode ser usada para simplificar o logaritmo de uma potência reescrevendo-a como o produto do expoente vezes o logaritmo da base.
\[{\log}_b(M^n)=n{\log}_bM\]
- Expresse o argumento como um poder, se necessário.
- Escreva a expressão equivalente multiplicando o expoente pelo logaritmo da base.
Expandir\({\log}_2x^5\).
Solução
O argumento já está escrito como uma potência, então identificamos o expoente, 5 e a base\(x\), e reescrevemos a expressão equivalente multiplicando o expoente pelo logaritmo da base.
\({\log}_2(x^5)=5{\log}_2x\)
Expandir\(\ln x^2\).
- Responda
-
\(2\ln x\)
Expanda\({\log}_3(25)\) usando a regra de energia para registros.
Solução
Expressando o argumento como um poder, nós obtemos\({\log}_3(25)={\log}_3(5^2)\).
Em seguida\(2\), identificamos o expoente e a base e reescrevemos a expressão equivalente multiplicando o expoente pelo logaritmo da base.\(5\)
\({\log}_3(52)=2{\log}_3(5)\)
Expandir\(\ln\left (\dfrac{1}{x^2} \right )\).
- Responda
-
\(−2\ln(x)\)
Reescreva\(4\ln(x)\) usando a regra de potência para registros em um único logaritmo com um coeficiente inicial de\(1\).
Solução
Como o logaritmo de uma potência é o produto do expoente vezes o logaritmo da base, conclui-se que o produto de um número e de um logaritmo pode ser escrito como uma potência. Para a expressão\(4\ln(x)\), identificamos o fator,\(4\), como o expoente e o argumento,\(x\), como a base, e reescrevemos o produto como um logaritmo de uma potência:\(4\ln(x)=\ln(x^4)\).
Reescreva\(2{\log}_34\) usando a regra de potência para registros em um único logaritmo com um coeficiente inicial de\(1\).
- Responda
-
\({\log}_316\)
Expansão de expressões logarítmicas
Em conjunto, a regra do produto, a regra do quociente e a regra da potência são frequentemente chamadas de “leis dos registros”. Às vezes, aplicamos mais de uma regra para simplificar uma expressão. Por exemplo:
\[\begin{align*} {\log}_b \left (\dfrac{6x}{y} \right )&= {\log}_b(6x)-{\log}_by\\[4pt] &= {\log}_b6+{\log}_bx-{\log}_by \end{align*}\]
Podemos usar a regra da potência para expandir expressões logarítmicas envolvendo expoentes negativos e fracionários. Aqui está uma prova alternativa da regra do quociente para logaritmos usando o fato de que um recíproco é uma potência negativa:
\[\begin{align*} {\log}_b\left (\dfrac{A}{C} \right )&= {\log}_b(AC^{-1})\\[4pt] &= {\log}_b(A)+{\log}_b(C^{-1})\\[4pt] &= {\log}_bA+(-1){\log}_bC\\[4pt] &= {\log}_bA−{\log}_bC \end{align*}\]
Também podemos aplicar a regra do produto para expressar uma soma ou diferença de logaritmos como o logaritmo de um produto.
Com a prática, podemos olhar para uma expressão logarítmica e expandi-la mentalmente, escrevendo a resposta final. Lembre-se, no entanto, de que só podemos fazer isso com produtos, quocientes, potências e raízes — nunca com adição ou subtração dentro do argumento do logaritmo.
Reescreva\(ln \left (\dfrac{x^4y}{7} \right )\) como uma soma ou diferença de registros.
Solução
Primeiro, como temos um quociente de duas expressões, podemos usar a regra do quociente:
\(\ln \left (\dfrac{x^4y}{7} \right )=\ln(x^4y)−\ln(7)\)
Em seguida, vendo o produto no primeiro período, usamos a regra do produto:
\(\ln(x^4y)−\ln(7)=\ln(x^4)+\ln(y)−\ln(7)\)
Finalmente, usamos a regra de potência no primeiro termo:
\(\ln(x^4)+\ln(y)−\ln(7)=4\ln(x)+\ln(y)−\ln(7)\)
Expandir\(\log \left (\dfrac{x^2y^3}{z^4} \right )\).
- Responda
-
\(2\log x+3\log y−4\log z\)
Expandir\(\log(x)\).
Solução
\[\begin{align*} \log(\sqrt{x})&= \log x^{\left (\tfrac{1}{2} \right )}\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}\log x \end{align*}\]
Expandir\(\ln(\sqrt[3]{x^2})\).
- Responda
-
\(\dfrac{2}{3}\ln x\)
Não. Não há como expandir o logaritmo de uma soma ou diferença dentro do argumento do logaritmo.
Expandir\({\log}_6 \left (\dfrac{64x^3(4x+1)}{(2x−1)} \right )\).
Solução
Podemos expandir aplicando as Regras do Produto e do Quociente.
\[\begin{align*} {\log}_6\left (\dfrac{64x^3(4x+1)}{(2x-1)} \right )&= {\log}_664+{\log}_6x^3+{\log}_6(4x+1)-{\log}_6(2x-1)\qquad \text{Apply the Quotient Rule}\\[4pt] &= {\log}_626+{\log}_6x^3+{\log}_6(4x+1)-{\log}_6(2x-1) \qquad \text{Simplify by writing 64 as } 2^6\\[4pt] &= 6{\log}_62+3{\log}_6x+{\log}_6(4x+1)-{\log}_6(2x-1) \qquad \text{Apply the Power Rule} \end{align*}\]
Expandir\(\ln \left (\dfrac{\sqrt{(x−1){(2x+1)}^2}}{(x^2−9)}\right )\).
- Responda
-
\(\dfrac{1}{2}\ln(x−1)+\ln(2x+1)−\ln(x+3)−\ln(x−3)\)
Expressões logarítmicas de condensação
Podemos usar as regras dos logaritmos que acabamos de aprender para condensar somas, diferenças e produtos com a mesma base de um único logaritmo. É importante lembrar que os logaritmos devem ter a mesma base para serem combinados. Mais tarde, aprenderemos como alterar a base de qualquer logaritmo antes da condensação.
- Aplique a propriedade de energia primeiro. Identifique termos que são produtos de fatores e um logaritmo e reescreva cada um como o logaritmo de uma potência.
- Em seguida, aplique a propriedade do produto. Reescreva somas de logaritmos como o logaritmo de um produto.
- Aplique a propriedade do quociente por último. Reescreva as diferenças de logaritmos como o logaritmo de um quociente.
Escreva\({\log}_3(5)+{\log}_3(8)−{\log}_3(2)\) como um único logaritmo.
Solução
Usando as regras do produto e do quociente
\({\log}_3(5)+{\log}_3(8)={\log}_3(5⋅8)={\log}_3(40)\)
Isso reduz nossa expressão original para
\({\log}_3(40)−{\log}_3(2)\)
Em seguida, usando a regra do quociente
\({\log}_3(40)−{\log}_3(2)={\log}_3 \left (\dfrac{40}{2} \right )={\log}_3(20)\)
Condensar\({\log}_3−{\log}_4+{\log}_5−{\log}_6\).
- Responda
-
\(\log \left (\dfrac{3⋅5}{4⋅6} \right)\); também pode ser escrito\(\log \left (\dfrac{5}{8} \right )\) reduzindo a fração para os termos mais baixos.
Condensar\({\log}_2(x^2)+\dfrac{1}{2}{\log}_2(x−1)−3{\log}_2({(x+3)}^2)\).
Solução
Nós aplicamos a regra de potência primeiro:
\({\log}_2(x^2)+\dfrac{1}{2}{\log}_2(x−1)−3{\log}_2({(x+3)}^2)={\log}_2(x^2)+{\log}_2(\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)\)
Em seguida, aplicamos a regra do produto à soma:
\({\log}_2(x^2)+{\log}_2(\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)={\log}_2(x^2\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)\)
Finalmente, aplicamos a regra do quociente à diferença:
\({\log}_2(x^2\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)={\log}_2\dfrac{x^2\sqrt{x−1}}{{(x+3)}^6}\)
Reescreva\(2\log x−4\log(x+5)+\dfrac{1}{x}\log(3x+5)\) como um único logaritmo.
Solução
Nós aplicamos a regra de potência primeiro:
\(2\log x−4\log(x+5)+\dfrac{1}{x}\log(3x+5)=\log(x^2)−\log{(x+5)}^4+\log({(3x+5)}^{x^{−1}})\)
Em seguida, reorganizamos e aplicamos a regra do produto à soma:
\[\begin{align*} \log(x^2)-\log{(x+5)}^4+\log({(3x+5)}^{x^{-1}})&= \log(x^2)+\log({(3x+5)}^{x^{-1}}-\log{(x+5)}^4\\[4pt] &= \log(x^2{(3x+5)}^{x^{-1}})-\log{(x+5)}^4\\[4pt] &= \log\dfrac{x^2{(3x+5)}^{x^{-1}}}{{(x+5)}^4} \qquad \text{Apply the quotient rule to the difference} \end{align*}\]
Reescreva\(\log(5)+0.5\log(x)−\log(7x−1)+3\log(x−1)\) como um único logaritmo.
- Responda
-
\(\log \dfrac{5{(x−1)}^3\sqrt{x}}{(7x−1)}\)
Condensar\(4(3\log(x)+\log(x+5)−\log(2x+3))\).
- Responda
-
\(\log\dfrac{x^{12}{(x+5)}^4}{{(2x+3)}^4}\); essa resposta também pode ser escrita\(\log{ \left (\dfrac{x^3(x+5)}{(2x+3)} \right )}^4\)
Lembre-se de que, em química,\({pH}=−\log[H+]\). Se a concentração de íons de hidrogênio em um líquido for dobrada, qual é o efeito no pH?
Solução
Suponha que\(C\) seja a concentração original de íons de hidrogênio e\(P\) seja o pH original do líquido. Então\(P=–\log(C)\). Se a concentração for dobrada, a nova concentração será\(2C\). Então, o pH do novo líquido é
\(pH=−\log(2C)\)
Usando a regra de registros do produto
\(pH=−\log(2C)=−(\log(2)+\log(C))=−\log(2)−\log(C)\)
Desde então\(P=–\log(C)\), o novo pH é
\(pH=P−\log(2)≈P−0.301\)
Quando a concentração de íons de hidrogênio é dobrada, o pH diminui em cerca de\(0.301\).
Como o pH muda quando a concentração de íons positivos de hidrogênio diminui pela metade?
- Responda
-
O pH aumenta em cerca de\(0.301\).
Usando a fórmula de mudança de base para logaritmos
A maioria das calculadoras pode avaliar somente registros comuns e naturais. Para avaliar logaritmos com uma base diferente de\(10\) minério, e, usamos a fórmula de mudança de base para reescrever o logaritmo como o quociente de logaritmos de qualquer outra base; ao usar uma calculadora, nós os mudaríamos para registros comuns ou naturais.
Para derivar a fórmula de mudança de base, usamos a propriedade de um para um e a regra de potência para logaritmos.
Dados quaisquer números reais positivos\(M\),\(b\), e\(n\), onde\(n≠1\) e\(b≠1\), mostramos
\({\log}_bM=\dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb}\)
Deixe\(y={\log}_bM\). Ao tomar a base logarítmica\(n\) de ambos os lados da equação, chegamos a uma forma exponencial, a saber\(b^y=M\). Daqui resulta que
\[\begin{align*} {\log}_n(b^y)&= {\log}_nM \qquad \text{Apply the one-to-one property}\\[4pt] y{\log}_nb&= {\log}_nM \qquad \text{Apply the power rule for logarithms}\\[4pt] y&= \dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb} \qquad \text{Isolate y}\\[4pt] {\log}_bM&= \dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb} \qquad \text{Substitute for y} \end{align*}\]
Por exemplo, para avaliar\({\log}_536\) usando uma calculadora, precisamos primeiro reescrever a expressão como um quociente de registros comuns ou naturais. Usaremos o registro comum.
\[\begin{align*} {\log}_536&= \dfrac{\log(36)}{\log(5)} \qquad \text{Apply the change of base formula using base 10}\\[4pt] &\approx 2.2266 \qquad \text{Use a calculator to evaluate to 4 decimal places} \end{align*}\]
A fórmula de mudança de base pode ser usada para avaliar um logaritmo com qualquer base.
Para qualquer número real positivo\(M\),\(b\), e\(n\), onde\(n≠1\) e\(b≠1\),
\[{\log}_bM=\dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb}\]
Conclui-se que a fórmula de mudança de base pode ser usada para reescrever um logaritmo com qualquer base como quociente de registros comuns ou naturais.
\[{\log}_bM=\dfrac{\ln M}{\ln b}\]
e
\[{\log}_bM=\dfrac{\log M}{\log b}\]
- Determine a nova base\(n\), lembrando que o tronco comum\(\log(x)\),, tem base 10 e o tronco natural,\(\ln(x)\), tem base\(e\).
- Reescreva o log como um quociente usando a fórmula de mudança de base
- O numerador do quociente será um logaritmo com base\(n\) e argumento\(M\).
- O denominador do quociente será um logaritmo com base\(n\) e argumento\(b\).
\({\log}_53\)Mude para um quociente de logaritmos naturais.
Solução
Porque expressaremos\({\log}_53\) como um quociente de logaritmos naturais, a nova base,\(n=e\).
Nós reescrevemos o log como um quociente usando a fórmula de mudança de base. O numerador do quociente será o logaritmo natural com argumento\(3\). O denominador do quociente será o logaritmo natural com o argumento 5.
\({\log}_bM=\dfrac{\ln M}{\ln b}\)
\({\log}_53=\dfrac{\ln3}{\ln5}\)
\(\log0.58\)Mude para um quociente de logaritmos naturais.
- Responda
-
\(\dfrac{\ln8}{\ln 0.5}\)
Sim. Lembre-se de que isso\(\log9\) significa\({\log}_{10}9\). Então,\(\log9=\dfrac{\ln9}{\ln10}\).
Avalie\({\log}_2(10)\) usando a fórmula de mudança de base com uma calculadora.
Solução
De acordo com a fórmula de mudança de base, podemos reescrever a base logarítmica\(2\) como um logaritmo de qualquer outra base. Como nossas calculadoras podem avaliar o log natural, podemos optar por usar o logaritmo natural, que é a base logarítmica\(e\).
\[\begin{align*} {\log}_210&= \dfrac{\ln10}{\ln2} \qquad \text{Apply the change of base formula using base } e\\[4pt] &\approx 3.3219 \qquad \text{Use a calculator to evaluate to 4 decimal places} \end{align*}\]
Avalie\({\log}_5(100)\) usando a fórmula de mudança de base.
- Responda
-
\(\dfrac{\ln100}{\ln5}≈\dfrac{4.6051}{1.6094}=2.861\)
Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com as leis dos logaritmos.
- As propriedades dos logaritmos
- Expandir expressões logarítmicas
- Avalie uma expressão logarítmica natural
Equações chave
| A regra do produto para logaritmos | \({\log}_b(MN)={\log}_b(M)+{\log}_b(N)\) |
| A regra do quociente para logaritmos | \({\log}_b(\dfrac{M}{N})={\log}_bM−{\log}_bN\) |
| A regra de potência para logaritmos | \({\log}_b(M^n)=n{\log}_bM\) |
| A fórmula de mudança de base | \({\log}_bM=\dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb}\)\(n>0\),\(n≠1\),\(b≠1\) |
Conceitos chave
- Podemos usar a regra do produto dos logaritmos para reescrever o log de um produto como uma soma dos logaritmos. Veja o exemplo\(\PageIndex{1}\).
- Podemos usar a regra do quociente dos logaritmos para reescrever o log de um quociente como uma diferença de logaritmos. Veja o exemplo\(\PageIndex{2}\).
- Podemos usar a regra de potência para logaritmos para reescrever o log de uma potência como o produto do expoente e o log de sua base. Veja exemplo\(\PageIndex{3}\) \(\PageIndex{4}\), exemplo e exemplo\(\PageIndex{5}\).
- Podemos usar a regra do produto, a regra do quociente e a regra da potência juntas para combinar ou expandir um logaritmo com uma entrada complexa. Veja exemplo\(\PageIndex{6}\) \(\PageIndex{7}\), exemplo e exemplo\(\PageIndex{8}\).
- As regras dos logaritmos também podem ser usadas para condensar somas, diferenças e produtos com a mesma base de um único logaritmo. Veja exemplo\(\PageIndex{9}\), exemplo\(\PageIndex{10}\)\(\PageIndex{11}\), exemplo e exemplo\(\PageIndex{12}\).
- Podemos converter um logaritmo com qualquer base em um quociente de logaritmos com qualquer outra base usando a fórmula de mudança de base. Veja o exemplo\(\PageIndex{13}\).
- A fórmula de mudança de base é frequentemente usada para reescrever um logaritmo com uma base diferente de 10 e\(e\) como o quociente de registros naturais ou comuns. Dessa forma, uma calculadora pode ser usada para avaliar. Veja o exemplo\(\PageIndex{14}\).