2.6: Equações quadráticas
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- Resolva equações quadráticas por fatoração.
- Resolva equações quadráticas pela propriedade da raiz quadrada.
- Resolva equações quadráticas completando o quadrado.
- Resolva equações quadráticas usando a fórmula quadrática.
O monitor do computador à esquerda na Figura\(\PageIndex{1}\) é um modelo de\(23.6\) -polegadas e o da direita é um modelo de\(27\) -polegadas. Proporcionalmente, os monitores parecem muito parecidos. Se houver uma quantidade limitada de espaço e desejarmos o maior monitor possível, como decidimos qual deles escolher? Nesta seção, aprenderemos como resolver problemas como esse usando quatro métodos diferentes.
Resolvendo equações quadráticas por fatoração
Uma equação contendo um polinômio de segundo grau é chamada de equação quadrática. Por exemplo, equações como\(2x^2 +3x−1=0\) e\(x^2−4= 0\) são equações quadráticas. Eles são usados de inúmeras maneiras nas áreas de engenharia, arquitetura, finanças, ciências biológicas e, claro, matemática.
Muitas vezes, o método mais fácil de resolver uma equação quadrática é fatorar. Fatorar significa encontrar expressões que podem ser multiplicadas juntas para dar a expressão em um lado da equação.
Se uma equação quadrática puder ser fatorada, ela será escrita como um produto de termos lineares. A resolução por fatoração depende da propriedade do produto zero, que afirma que se\(a⋅b=0\), então\(a = 0\) ou\(b =0\), onde a e b são números reais ou expressões algébricas. Em outras palavras, se o produto de dois números ou duas expressões for igual a zero, um dos números ou uma das expressões deverá ser igual a zero porque zero multiplicado por qualquer coisa é igual a zero.
A multiplicação dos fatores expande a equação para uma sequência de termos separados por sinais de mais ou menos. Então, nesse sentido, a operação de multiplicação desfaz a operação de fatoração. Por exemplo, expanda a expressão fatorada\((x−2)(x+3)\) multiplicando os dois fatores juntos.
\[\begin{align*} (x-2)(x+3)&= x^2+3x-2x-6\\ &= x^2+x-6\\ \end{align*}\]
O produto é uma expressão quadrática. Definido igual a zero,\(x^2+x−6= 0\) é uma equação quadrática. Se fôssemos fatorar a equação, recuperaríamos os fatores que multiplicamos.
O processo de fatorar uma equação quadrática depende do coeficiente principal, seja ele\(1\) ou outro inteiro. Examinaremos as duas situações; mas primeiro, queremos confirmar que a equação está escrita na forma padrão\(ax^2+bx+c=0\), onde\(a\)\(b\), e\(c\) são números reais,\(a≠0\) e. A equação\(x^2 +x−6= 0\) está na forma padrão.
Podemos usar a propriedade de produto zero para resolver equações quadráticas nas quais primeiro precisamos fatorar o maior fator comum (GCF) e para equações que também têm fórmulas de fatoração especiais, como a diferença dos quadrados, que veremos mais adiante nesta seção.
Os estados da propriedade de produto zero
Se\(a⋅b=0\), então\(a=0\) ou\(b=0\),
onde\(a\) e\(b\) são números reais ou expressões algébricas.
Uma equação quadrática é uma equação contendo um polinômio de segundo grau; por exemplo
\[ax^2+bx+c=0\]
onde\(a\)\(b\), e\(c\) são números reais e, se\(a≠0\), estão na forma padrão.
Resolvendo quadráticas com um coeficiente principal de\(1\)
Na equação quadrática\(x^2 +x−6=0\), o coeficiente principal, ou o coeficiente de\(x^2\), é\(1\). Temos um método para fatorar equações quadráticas nesta forma.
- Encontre dois números cujo produto seja igual\(c\) e cuja soma seja igual\(b\).
- Use esses números para escrever dois fatores da forma\((x+k)\) ou\((x−k)\), onde k é um dos números encontrados na etapa 1. Use os números exatamente como estão. Em outras palavras, se os dois números forem\(1\) e\(−2\), os fatores são\((x+1)(x−2)\).
- Resolva usando a propriedade de produto zero definindo cada fator igual a zero e resolvendo para a variável.
Fatore e resolva a equação:\(x^2+x−6=0\).
Solução
Para fatorar\(x^2 +x−6=0\), procuramos dois números cujo produto seja igual\(−6\) e cuja soma seja igual\(1\). Comece examinando os possíveis fatores de\(−6\).
\[1⋅(−6) \nonumber \]
\[(−6)⋅1 \nonumber \]
\[2⋅(−3) \nonumber \]
\[3⋅(−2) \nonumber \]
O último par,\(3⋅(−2)\) somado a\(1\), então esses são os números. Observe que apenas um par de números funcionará. Em seguida, escreva os fatores.
\[(x−2)(x+3)=0 \nonumber \]
Para resolver essa equação, usamos a propriedade de produto zero. Defina cada fator igual a zero e resolva.
\[\begin{align*} (x-2)(x+3)&= 0\\ (x-2)&= 0\\ x&= 2\\ (x+3)&= 0\\ x&= -3 \end{align*}\]
As duas soluções são\(2\)\(−3\) e. Podemos ver como as soluções se relacionam com o gráfico na Figura\(\PageIndex{2}\). As soluções são as interceptações x de\(x^2 +x−6=0\).
Fatore e resolva a equação quadrática:\(x^2−5x−6=0\).
- Resposta
-
\((x−6)(x+1)=0\),\(x=6\),\(x=−1\)
Resolva a equação quadrática fatorando:\(x^2+8x+15=0\).
Solução
Encontre dois números cujo produto seja igual\(15\) e cuja soma seja igual\(8\). Liste os fatores de\(15\).
\[1⋅15 \nonumber \]
\[3⋅5 \nonumber \]
\[(−1)⋅(−15) \nonumber \]
\[(−3)⋅(−5) \nonumber \]
Os números somados\(8\) são\(3\)\(5\) e. Em seguida, escreva os fatores, defina cada fator igual a zero e resolva.
\[\begin{align*} (x+3)(x+5)&= 0\\ (x+3)&= 0\\ x&= -3\\ (x+5)&= 0\\ x&= -5 \end{align*}\]
As soluções são\(−3\)\(−5\) e.
Resolva a equação quadrática fatorando:\(x^2−4x−21=0\).
- Resposta
-
\((x−7)(x+3)=0\),\(x=7\),\(x=−3\)
Resolva a equação da diferença dos quadrados usando a propriedade de produto zero:\(x^2−9=0\).
Solução
Reconhecendo que a equação representa a diferença dos quadrados, podemos escrever os dois fatores tomando a raiz quadrada de cada termo, usando um sinal de menos como operador em um fator e um sinal de mais como operador no outro. Resolva usando a propriedade de fator zero.
\[\begin{align*} x^2-9&= 0\\ (x-3)(x+3)&= 0\\ x-3&= 0\\ x&= 3\\ (x+3)&= 0\\ x&= -3 \end{align*}\]
As soluções são\(3\)\(−3\) e.
Resolva fatorando:\(x^2−25=0\).
- Resposta
-
\((x+5)(x−5)=0, x=−5, x=5\)
Fatorando e resolvendo uma equação quadrática de ordem superior
Quando o coeficiente principal não é\(1\), fatoramos uma equação quadrática usando o método chamado agrupamento, que requer quatro termos.
Com a equação na forma padrão, vamos revisar os procedimentos de agrupamento
- Com o quadrático na forma padrão\(ax^2+bx+c=0\), multiplique\(a⋅c\).
- Encontre dois números cujo produto seja igual a ac e cuja soma seja igual\(b\).
- Reescreva a equação substituindo o\(bx\) termo por dois termos usando os números encontrados na etapa\(1\) como coeficientes de\(x\).
- Fator os dois primeiros termos e depois fatore os dois últimos termos. As expressões entre parênteses devem ser exatamente as mesmas para usar o agrupamento.
- Considere a expressão entre parênteses.
- Defina as expressões como iguais a zero e resolva a variável.
Use o agrupamento para fatorar e resolver a equação quadrática:\(4x^2+15x+9=0\).
Solução
Primeiro, multiplique\(ac:4(9)=36\). Em seguida, liste os fatores de\(36\).
\[1⋅36 \nonumber\]
\[2⋅18 \nonumber\]
\[3⋅12 \nonumber\]
\[4⋅9 \nonumber\]
\[6⋅6 \nonumber\]
O único par de fatores que somam\(15\) é\(3+12\). Reescreva a equação substituindo o termo b\(15x\),, por dois termos usando\(3\) e\(12\) como coeficientes de\(x\). Fator os dois primeiros termos e depois fatore os dois últimos termos.
\[\begin{align*} 4x^2+3x+12x+9&= 0\\ x(4x+3)+3(4x+3)&= 0\\ (4x+3)(x+3)&= 0 \qquad \text{Solve using the zero-product property}\\ (4x+3)&= 3\\ x&= -\dfrac{3}{4}\\ (x+3)&= 0\\ x&= -3 \end{align*}\]
As soluções são\(−\dfrac{3}{4}\),\(−3\) e. Veja a Figura\(\PageIndex{3}\).
Resolva usando fatoração por agrupamento:\(12x^2+11x+2=0\).
- Resposta
-
\((3x+2)(4x+1)=0\),\(x=−\dfrac{2}{3}\),\(x=−\dfrac{1}{4}\)
Resolva a equação fatorando:\(−3x^3−5x^2−2x=0\).
Solução
Essa equação não parece quadrática, pois a maior potência não é\(3\)\(2\). Lembre-se de que a primeira coisa que queremos fazer ao resolver qualquer equação é considerar o GCF, se houver. E isso acontece aqui. Podemos considerar todos os termos e, em seguida, prosseguir com o agrupamento.\(−x\)
\ [\ begin {align*}
-3x^3-5x^2-2x&= 0\\
-x (3x^2+5x+2) &= 0\\
-x (3x^2+3x+2x+2) &= 0\ qquad\ text {Use o agrupamento na expressão entre parênteses}\\
-x [3x (x+1) +2 (x+1)] &= 0\\
-x (3x+2) (x+1) &= 0\
\\ text {Agora, usamos a propriedade do produto zero. Observe que temos três fatores.} \\
-x&= 0\\
x&= 0\\
3x+2&= 0\\
x&= -\ dfrac {2} {3}\\
x+1&= 0\\
x&= -1
\ end {align*}\]
As soluções são\(0\)\(−\dfrac{2}{3}\),\(−1\) e.
Resolva fatorando:\(x^3+11x^2+10x=0\).
- Resposta
-
\(x=0, x=−10, x=−1\)
Usando a propriedade de raiz quadrada
Quando não há um termo linear na equação, outro método para resolver uma equação quadrática é usando a propriedade raiz quadrada, na qual isolamos o\(x^2\) termo e pegamos a raiz quadrada do número do outro lado do sinal de igual. Lembre-se de que às vezes podemos ter que manipular a equação para isolar o\(x^2\) termo para que a propriedade da raiz quadrada possa ser usada.
Com o\(x^2\) termo isolado, a propriedade da raiz quadrada afirma que:
onde\(k\) é um número real diferente de zero.
- Isole o\(x^2\) termo em um lado do sinal de igual.
- Pegue a raiz quadrada dos dois lados da equação, colocando um\(±\) sinal antes da expressão no lado oposto ao termo quadrado.
- Simplifique os números na lateral com o\(±\) sinal.
Resolva a quadrática usando a propriedade de raiz quadrada:\(x^2=8\).
Solução
Pegue a raiz quadrada dos dois lados e depois simplifique o radical. Lembre-se de usar um\(±\) sinal antes do símbolo radical.
\[\begin{align*} x^2&= 8\\ x&= \pm \sqrt{8}\\ &= \pm 2\sqrt{2} \end{align*}\]
As soluções são\(2\sqrt{2}\),\(-2\sqrt{2}\)
Resolva a equação quadrática:\(4x^2+1=7\).
Solução
Primeiro, isole o\(x^2\) termo. Em seguida, pegue a raiz quadrada dos dois lados.
\[\begin{align*} 4x^2+1&= 7\\ 4x^2&= 6\\ x^2&= \dfrac{6}{4}\\ x&= \pm \dfrac{\sqrt{6}}{2} \end{align*}\]
As soluções são\(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\),\(-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) e.
Resolva a equação quadrática usando a propriedade da raiz quadrada:\(3{(x−4)}^2=15\).
- Resposta
-
\(x=4±\sqrt{5}\)
Completando a Praça
Nem todas as equações quadráticas podem ser fatoradas ou resolvidas em sua forma original usando a propriedade raiz quadrada. Nesses casos, podemos usar um método para resolver uma equação quadrática conhecida como completar o quadrado. Usando esse método, adicionamos ou subtraímos termos em ambos os lados da equação até termos um trinômio quadrado perfeito em um lado do sinal de igual. Em seguida, aplicamos a propriedade raiz quadrada. Para completar o quadrado, o coeficiente principal,\(a\), deve ser igual\(1\). Se isso não acontecer, divida a equação inteira por\(a\). Em seguida, podemos usar os procedimentos a seguir para resolver uma equação quadrática completando o quadrado.
Usaremos o exemplo\(x^2+4x+1=0\) para ilustrar cada etapa.
Dada uma equação quadrática que não pode ser fatorada, e com\(a=1\), first add or subtract the constant term to the right sign of the equal sign.
\ [\ begin {align*}
x^2+4x+1&= 0\\
x^2+4x&= -1\ qquad\ text {Multiplique o termo b}\ text {por}\ dfrac {1} {2}\ text {e quadre-o.} \\
\ dfrac {1} {2} (4) &= 2\\
2^2&= 4\ qquad\ text {Add}\ left ({\ dfrac {1} {2}}\ right) ^2\ text {em ambos os lados do sinal de igual e simplifique o lado direito. Temos}\\
x^2+4x+4&= -1+4\\
x^2+4x+4&= 3\ qquad\ text {O lado esquerdo da equação agora pode ser fatorado como um quadrado perfeito.} \\
{(x+2)} ^2&=3\\
\ sqrt {{(x+2)} ^2} &=\ pm\ sqrt {3}\ qquad\ text {Use a propriedade da raiz quadrada e resolva.} \\
\ sqrt {{(x+2)} ^2} &=\ pm\ sqrt {3}\\
x+2&=\ pm\ sqrt {3}\\
x&= -2\ pm\ sqrt {3}
\ end {align*}\]
As soluções são\(−2+\sqrt{3}\),\(−2−\sqrt{3}\) e.
Resolva a equação quadrática completando o quadrado:\(x^2−3x−5=0\).
Solução
Primeiro, mova o termo constante para o lado direito do sinal de igual.
\ [\ begin {align*}
x^2-3x&= 5\ qquad\ text {Então, pegue}\ dfrac {1} {2}\ text {do termo b e coloque-o ao quadrado.} \\
\ dfrac {1} {2} (-3) &= -\ dfrac {3} {2}\\
{\ left (-\ dfrac {3} {2}\ direita)} ^2=\ dfrac {9} {4}\
x^2-3x+ {\ left (-\ dfrac {3} {2}\ direita)} ^2&= 5+ {\ left (-\ dfrac {3} {2}\ right)} ^2\ qquad\ text {Adicione o resultado aos dois lados do sinal de igual.} \\
x^2-3x+\ dfrac {9} {4} &= 5+\ dfrac {9} {4}\
\ text {Considere o lado esquerdo como um quadrado perfeito e simplifique o lado direito.} \\
{\ left (x-\ dfrac {3} {2}\ right)} ^2&=\ dfrac {29} {4}\\
(x-\ dfrac {3} {2}) &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {29}} {2}\ qquad\ text {Use a propriedade da raiz quadrada e resolva.} \\
x&=\ dfrac {3} {2}\ pm\ dfrac {\ sqrt {29}} {2}\
\ end {align*}\]
As soluções são\(\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{29}}{2}\), e\(\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{29}}{2}\)
Resolva completando o quadrado:\(x^2−6x=13\).
- Resposta
-
\(x=3±\sqrt{22}\)
Usando a fórmula quadrática
O quarto método para resolver uma equação quadrática é usando a fórmula quadrática, uma fórmula que resolverá todas as equações quadráticas. Embora a fórmula quadrática funcione em qualquer equação quadrática na forma padrão, é fácil cometer erros ao substituir os valores na fórmula. Preste muita atenção ao substituir e use parênteses ao inserir um número negativo.
Podemos derivar a fórmula quadrática completando o quadrado. Vamos assumir que o coeficiente principal é positivo; se for negativo, podemos multiplicar a equação por\(−1\) e obter um positivo a. Dado\(ax^2+bx+c=0, a≠0\), completaremos o quadrado da seguinte forma:
Primeiro, mova o termo constante para o lado direito do sinal de igual:
\[ax^2+bx=−c \nonumber \]
Como queremos que o coeficiente principal seja igual\(1\), divida por\(a\):
\[x^2+\dfrac{b}{a}x=−\dfrac{c}{a} \nonumber \]
Em seguida, encontre\(\dfrac{1}{2}\) o termo intermediário e adicione\({(\dfrac{1}{2}\dfrac{b}{a})}^2=\dfrac{b^2}{4a^2}\) aos dois lados do sinal de igual:
\[x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a} \nonumber \]
Em seguida, escreva o lado esquerdo como um quadrado perfeito. Encontre o denominador comum do lado direito e escreva-o como uma única fração:
\[{(x+\dfrac{b}{2a})}^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \nonumber \]
Agora, use a propriedade de raiz quadrada, que fornece
\[x+\dfrac{b}{2a}=±\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}} \nonumber \]
\[x+\dfrac{b}{2a}=\dfrac{±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \nonumber \]
Finalmente, adicione\(-\dfrac{b}{2a}\) os dois lados da equação e combine os termos no lado direito. Assim,
\[x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \nonumber \]
Escrita na forma padrão\(ax^2+bx+c=0\), qualquer equação quadrática pode ser resolvida usando a fórmula quadrática:
\[x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]onde\(a\)\(b\), e\(c\) são números reais\(a≠0\) e.
Dada uma equação quadrática, resolva-a usando a fórmula quadrática
- Certifique-se de que a equação esteja na forma padrão:\(ax^2+bx+c=0\).
- Anote os valores dos coeficientes e do termo constante\(a\)\(b\),,\(c\) e.
- Substitua cuidadosamente os valores anotados na etapa 2 na equação. Para evitar erros desnecessários, use parênteses ao redor de cada entrada de número na fórmula.
- Calcule e resolva.
Resolva a equação quadrática:\(x^2+5x+1=0\).
Solução
Identifique os coeficientes:\(a=1,b=5,c=1\). Em seguida, use a fórmula quadrática.
\[\begin{align*} x&= \dfrac{-(5) \pm \sqrt{(5)^2-4(1)(1)}}{2(1)}\\ &= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-4}}{2}\\ &= \dfrac{-5 \pm \sqrt{21}}{2} \end{align*}\]
Use a fórmula quadrática para resolver\(x^2+x+2=0\).
Solução
Primeiro, identificamos os coeficientes:\(a=1\)\(b=1\),\(c=2\) e.
Substitua esses valores na fórmula quadrática.
\[\begin{align*} x&= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ &= \dfrac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2-4(1)(2)}}{2(1)}\\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{1-8}}{2}\\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2}\\ &= \dfrac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2} \end{align*}\]
Resolva a equação quadrática usando a fórmula quadrática:\(9x^2+3x−2=0\).
- Resposta
-
\(x=-\dfrac{2}{3},x=\dfrac{1}{3}\)
O discriminante
A fórmula quadrática não apenas gera as soluções para uma equação quadrática, ela nos fala sobre a natureza das soluções quando consideramos o discriminante, ou a expressão sob o radical\(b^2−4ac\). O discriminante nos diz se as soluções são números reais ou números complexos e quantas soluções de cada tipo esperar. A tabela\(\PageIndex{1}\) relaciona o valor do discriminante às soluções de uma equação quadrática.
| Valor do discriminante | Resultados |
|---|---|
| \(b^2−4ac=0\) | Uma solução racional (solução dupla) |
| \(b^2−4ac>0\), quadrado perfeito | Duas soluções racionais |
| \(b^2−4ac>0\), não é um quadrado perfeito | Duas soluções irracionais |
| \(b^2−4ac<0\) | Duas soluções complexas |
Para\(ax^2+bx+c=0\), onde\(a\),\(b\), e\(c\) são números reais, o discriminante é a expressão sob o radical na fórmula quadrática:\(b^2−4ac\). Ele nos diz se as soluções são números reais ou números complexos e quantas soluções de cada tipo esperar.
Use o discriminante para encontrar a natureza das soluções para as seguintes equações quadráticas:
- \(x^2+4x+4=0\)
- \(8x^2+14x+3=0\)
- \(3x^2−5x−2=0\)
- \(3x^2−10x+15=0\)
Solução
Calcule o discriminante\(b^2−4ac\) para cada equação e indique o tipo de solução esperado.
uma.
\(x^2+4x+4=0\)
\(b^2-4ac={(4)}^2-4(1)(4)=0\)Haverá uma solução dupla racional.
b.
\(8x^2+14x+3=0\)
\(b^2-4ac={(14)}^2-4(8)(3)=100\)Como\(100\) é um quadrado perfeito, haverá duas soluções racionais.
c.
\(3x^2−5x−2=0\)
\(b^2-4ac={(-5)}^2-4(3)(-2)=49\)Como\(49\) é um quadrado perfeito, haverá duas soluções racionais.
d.
\(3x^2−10x+15=0\)
\(b^2-4ac={(-10)}^2-4(3)(15)=-80\)Haverá duas soluções complexas.
Usando o teorema de Pitágoras
Uma das fórmulas mais famosas da matemática é o Teorema de Pitágoras. É baseado em um triângulo reto e afirma a relação entre os comprimentos dos lados como\(a^2+b^2=c^2\), onde\(a\) e\(b\) se refere às pernas de um triângulo reto adjacente ao\(90°\) ângulo, e\(c\) se refere à hipotenusa. Tem usos imensuráveis em arquitetura, engenharia, ciências, geometria, trigonometria e álgebra, e em aplicações diárias.
Usamos o Teorema de Pitágoras para resolver o comprimento de um lado de um triângulo quando temos os comprimentos dos outros dois. Como cada um dos termos é quadrado no teorema, quando estamos resolvendo um lado de um triângulo, temos uma equação quadrática. Podemos usar os métodos para resolver equações quadráticas que aprendemos nesta seção para resolver o lado ausente.
O teorema de Pitágoras é dado como
\[a^2+b^2=c^2\]
onde\(a\) e\(b\) se refere às pernas de um triângulo reto adjacente ao\(90°\) ângulo, e\(c\) se refere à hipotenusa, conforme mostrado em.
Encontre o comprimento do lado ausente do triângulo direito na Figura\(\PageIndex{5}\).
Solução
Como temos as medidas do lado\(b\) e da hipotenusa, o lado que falta é\(a\).
\[\begin{align*} a^2+b^2&= c^2\\ a^2+{(4)}^2&= {(12)}^2\\ a^2+16&= 144\\ a^2&= 128\\ a&= \sqrt{128}\\ &= 8\sqrt{2} \end{align*}\]
Use o Teorema de Pitágoras para resolver o problema do triângulo reto: a perna a mede 4 unidades, a perna b mede 3 unidades. Encontre o comprimento da hipotenusa.
- Resposta
-
\(5\)unidades
Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com equações quadráticas.
- Resolvendo equações quadráticas por fatoração
- A propriedade de produto zero
- Completando a Praça
- Fórmula quadrática com duas soluções racionais
- Comprimento de uma perna de um triângulo reto
Equações-chave
| fórmula quadrática | \(x=\dfrac{−b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) |
Conceitos-chave
- Muitas equações quadráticas podem ser resolvidas fatorando quando a equação tem um coeficiente inicial de\(1\) ou se a equação é uma diferença de quadrados. A propriedade do fator zero é então usada para encontrar soluções. Veja exemplo, exemplo e exemplo.
- Muitas equações quadráticas com um coeficiente principal diferente de\(1\) podem ser resolvidas por fatoração usando o método de agrupamento. Veja o exemplo e o exemplo.
- Outro método para resolver o quadrático é a propriedade da raiz quadrada. A variável é quadrada. Isolamos o termo quadrado e pegamos a raiz quadrada de ambos os lados da equação. A solução produzirá uma solução positiva e negativa. Veja o exemplo e o exemplo.
- Completar o quadrado é um método de resolver equações quadráticas quando a equação não pode ser fatorada. Veja o exemplo.
- Um método altamente confiável para resolver equações quadráticas é a fórmula quadrática, com base nos coeficientes e no termo constante na equação. Veja o exemplo.
- O discriminante é usado para indicar a natureza das raízes que a equação quadrática produzirá: reais ou complexas, racionais ou irracionais e quantas de cada uma. Veja o exemplo.
- O Teorema de Pitágoras, entre os teoremas mais famosos da história, é usado para resolver problemas do triângulo reto e tem aplicações em vários campos. Resolver o comprimento de um lado de um triângulo reto requer a resolução de uma equação quadrática. Veja o exemplo.