Matemática essencial
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Aritmética exponencial
A notação exponencial é usada para expressar números muito grandes e muito pequenos como um produto de dois números. O primeiro número do produto, o termo do dígito, geralmente é um número não inferior a 1 e não maior que 10. O segundo número do produto, o termo exponencial, é escrito como 10 com um expoente. Alguns exemplos de notação exponencial são:
1000&=1×10^3\\
100&=1×10^2\\
10&=1×10^1\\
1&=1×10^0\\
0.1&=1×10^{−1}\\
0.001&=1×10^{−3}\\
2386&=2.386×1000=2.386×10^3\\
0.123&=1.23×0.1=1.23×10^{−1}
\end{align}\]
A potência (expoente) de 10 é igual ao número de casas em que o decimal é deslocado para dar o número do dígito. O método exponencial é uma notação particularmente útil para todos os números grandes e muito pequenos. Por exemplo, 1.230.000.000 = 1,23 × 10 9 e 0,000000036 × 10 −10.
Adição de exponenciais
Converta todos os números na mesma potência de 10, adicione os termos dos dígitos e, se apropriado, converta o termo do dígito novamente em um número entre 1 e 10 ajustando o termo exponencial.
Adicionando exponenciais, adicione 5,00 × 10 −5 e 3,00 × 10 −3.
Solução em
3.00×10^{−3}&=300×10^{−5}\\
(5.00×10^{−5})+(300×10^{−5})&=305×10^{−5}=3.05×10^{−3}
\end{align}\]
Subtração de exponenciais
Converta todos os números na mesma potência de 10, calcule a diferença dos termos dos dígitos e, se apropriado, converta o termo do dígito novamente em um número entre 1 e 10 ajustando o termo exponencial.
Subtraindo exponenciais Subtraia 4,0 × 10 −7 de 5,0 × 10 −6.
Solução em
(5.0×10^{−6})−(0.40×10^{−6})=4.6×10^{−6}\]
Multiplicação de exponenciais
Multiplique os termos dos dígitos da maneira usual e adicione os expoentes dos termos exponenciais.
Multiplicando exponenciais Multiplique 4,2 × 10 −8 por 2,0 × 10 3.
Solução em
Divisão de exponenciais
Divida o termo do dígito do numerador pelo termo do dígito do denominador e subtraia os expoentes dos termos exponenciais.
Dividindo exponenciais Divida 3,6 × 10 5 por 6,0 × 10 −4.
Solução em
Quadratura dos exponenciais
Faça o quadrado do termo do dígito da maneira usual e multiplique o expoente do termo exponencial por 2.
Quadrando exponenciais ao quadrado o número 4,0 × 10 −6.
Solução em
Cubagem de exponenciais
Cube o termo do dígito da maneira usual e multiplique o expoente do termo exponencial por 3.
Cubinando exponenciais Cube o número 2 × 10 4.
Solução em
Obtendo raízes quadradas de exponenciais
Se necessário, diminua ou aumente o termo exponencial para que a potência de 10 seja uniformemente divisível por 2. Extraia a raiz quadrada do termo do dígito e divida o termo exponencial por 2.
Encontrando a raiz quadrada dos exponenciais Encontre a raiz quadrada de 1,6 × 10 −7.
Solução em
1.6×10^{−7}&=16×10^{−8}\\
\sqrt{16×10^{−8}}=\sqrt{16}×\sqrt{10^{−8}}&=\sqrt{16}×10^{−\large{\frac{8}{2}}}=4.0×10^{−4}
\end{align}\]
Números significativos
Um apicultor relata que ele tem 525.341 abelhas. Os últimos três números do número são obviamente imprecisos, pois durante o tempo em que o guardião estava contando as abelhas, algumas delas morreram e outras eclodiram; isso torna muito difícil determinar o número exato de abelhas. Teria sido mais preciso se o apicultor tivesse relatado o número 525.000. Em outras palavras, os últimos três números não são significativos, exceto para definir a posição do ponto decimal. Seus valores exatos não têm significado útil nessa situação. Ao relatar qualquer informação como números, use apenas tantos números significativos quanto a precisão da medição garantir.
A importância de números significativos está em sua aplicação à computação fundamental. Além da adição e subtração, a soma ou diferença deve conter tantos dígitos à direita do decimal quanto os do menor número usado no cálculo (indicado por sublinhado no exemplo a seguir).
Adição e subtração com números significativos Adicione 4,383 g e 0,0023 g.
Solução em
&\mathrm{4.38\underline{3}\:g}\\
&\mathrm{\underline{0.002\underline{3}\:g}}\\
&\mathrm{4.38\underline{5}\:g}
\end{align}\]
Na multiplicação e divisão, o produto ou quociente não deve conter mais dígitos do que o fator que contém o menor número de números significativos.
Multiplicação e divisão com números significativos Multiplique 0,6238 por 6,6.
Solução em
Ao arredondar números, aumente o dígito retido em 1 se ele for seguido por um número maior que 5 (“arredondar para cima”). Não altere o dígito retido se os dígitos seguintes forem menores que 5 (“arredondar para baixo”). Se o dígito retido for seguido por 5, arredonde para cima se o dígito retido for ímpar ou para baixo se for par (após o arredondamento, o dígito retido sempre será par).
O uso de logaritmos e números exponenciais
O logaritmo comum de um número (log) é a potência à qual 10 deve ser aumentado para igualar esse número. Por exemplo, o logaritmo comum de 100 é 2, porque 10 deve ser elevado à segunda potência para ser igual a 100. Veja a seguir exemplos adicionais.
| Logaritmos e números exponenciais | ||
|---|---|---|
| Número | Número expresso exponencialmente | Logaritmo comum |
| 1000 | 10 3 | 3 |
| 10 | 10 1 | 1 |
| 1 | 10 0 | 0 |
| 0.1 | 10 −1 | −1 |
| 0,001 | 10 −3 | −3 |
Qual é o logaritmo comum de 60? Como 60 está entre 10 e 100, que têm logaritmos de 1 e 2, respectivamente, o logaritmo de 60 é 1,7782; ou seja,
O logaritmo comum de um número menor que 1 tem um valor negativo. O logaritmo de 0,03918 é −1,4069, ou
Para obter o logaritmo comum de um número, use o botão de registro na sua calculadora. Para calcular um número a partir de seu logaritmo, pegue o log inverso do logaritmo ou calcule 10 x (onde x é o logaritmo do número).
O logaritmo natural de um número (ln) é a potência à qual e deve ser elevado para igualar o número; e é a constante 2,7182818. Por exemplo, o logaritmo natural de 10 é 2,303; ou seja,
Para obter o logaritmo natural de um número, use o botão ln na sua calculadora. Para calcular um número a partir de seu logaritmo natural, insira o logaritmo natural e pegue o inverso ln do logaritmo natural ou calcule e x (onde x é o logaritmo natural do número).
Os logaritmos são expoentes; portanto, as operações que envolvem logaritmos seguem as mesmas regras das operações que envolvem expoentes.
- O logaritmo de um produto de dois números é a soma dos logaritmos dos dois números.\[\log xy= \log x + \log y, \textrm{ and }\ln xy=\ln x + \ln y\]
- O logaritmo do número resultante da divisão de dois números é a diferença entre os logaritmos dos dois números.\[\log\dfrac{x}{y}=\log x-\log y,\textrm{ and } \ln\dfrac{x}{y}=\ln x-\ln y\]
- O logaritmo de um número elevado a um expoente é o produto do expoente e o logaritmo do número.\[\log x^n=n\log x \textrm{ and }\ln x^n=n\ln x\]
A solução de equações quadráticas
As funções matemáticas dessa forma são conhecidas como polinômios de segunda ordem ou, mais comumente, funções quadráticas.
A solução ou raízes de qualquer equação quadrática podem ser calculadas usando a seguinte fórmula:
Solução de equações quadráticas Resolva a equação quadrática 3 x 2 + 13 x − 10 = 0.
Solução Substituindo os valores a = 3, b = 13, c = −10 na fórmula, obtemos
As duas raízes são, portanto,
As equações quadráticas construídas em dados físicos sempre têm raízes reais e, dessas raízes reais, geralmente apenas aquelas com valores positivos têm alguma importância.
Gráficos bidimensionais (x - y)
A relação entre quaisquer duas propriedades de um sistema pode ser representada graficamente por um gráfico de dados bidimensional. Esse gráfico tem dois eixos: um horizontal correspondente à variável independente, ou a variável cujo valor está sendo controlado (x), e um eixo vertical correspondente à variável dependente, ou a variável cujo valor está sendo observado ou medido (y).
Quando o valor de y está mudando em função de x (ou seja, valores diferentes de x correspondem a diferentes valores de y), um gráfico dessa mudança pode ser plotado ou esboçado. O gráfico pode ser produzido usando valores específicos para pares de dados (x, y).
Representando graficamente a dependência de y em x
| x | y |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 2 | 10 |
| 3 | 7 |
| 4 | 14 |
Esta tabela contém os seguintes pontos: (1,5), (2,10), (3,7) e (4,14). Cada um desses pontos pode ser plotado em um gráfico e conectado para produzir uma representação gráfica da dependência de y em x.
Se a função que descreve a dependência de y em x for conhecida, ela poderá ser usada para calcular pares de dados x, y que podem ser plotados posteriormente.
Traçando pares de dados Se soubermos que y = x 2 + 2, podemos produzir uma tabela de alguns valores (x, y) e, em seguida, traçar a linha com base nos dados mostrados aqui.
| x | y = x 2 + 2 |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 11 |
| 4 | 18 |
