13.5: Interpretação dos coeficientes de regressão - Elasticidade e transformação logarítmica

Como vimos, o coeficiente de uma equação estimado usando a análise de regressão OLS fornece uma estimativa da inclinação de uma linha reta que é assumida como a relação entre a variável dependente e pelo menos uma variável independente. A partir do cálculo, a inclinação da linha é a primeira derivada e nos diz a magnitude do impacto de uma mudança de uma unidade na\(X\) variável sobre o valor da\(Y\) variável medida nas unidades da\(Y\) variável. Como vimos no caso de variáveis fictícias, isso pode aparecer como uma mudança paralela na linha estimada ou até mesmo uma mudança na inclinação da linha por meio de uma variável interativa. Aqui, queremos explorar o conceito de elasticidade e como podemos usar uma análise de regressão para estimar as várias elasticidades nas quais os economistas têm interesse.

O conceito de elasticidade é emprestado da engenharia e da física, onde é usado para medir a capacidade de resposta de um material a uma força, normalmente uma força física, como uma força de estiramento/tração. É a partir daqui que obtemos o termo faixa “elástica”. Em economia, a força em questão é alguma força de mercado, como uma mudança no preço ou na renda. A elasticidade é medida como uma porcentagem de alteração/resposta em aplicações de engenharia e em economia. O valor da medição em termos percentuais é que as unidades de medida não desempenham um papel no valor da medição e, portanto, permitem a comparação direta entre elasticidades. Como exemplo, se o preço da gasolina aumentou, digamos, 50 centavos de um preço inicial de $3,00 e gerou um declínio no consumo mensal para um consumidor de 50 galões para 48 galões, calculamos a elasticidade em 0,25. A elasticidade do preço é a variação percentual na quantidade resultante de alguma mudança percentual no preço. Um aumento de 16% no preço gerou apenas uma redução de 4% na demanda: 16% de mudança de preço\(\rightarrow\) 4% de mudança de quantidade ou\(.04/.16 = .25\). Isso é chamado de demanda inelástica, o que significa uma pequena resposta à mudança de preço. Isso acontece porque existem poucos ou nenhum substituto real para a gasolina; talvez transporte público, bicicleta ou caminhada. Tecnicamente, é claro, a variação percentual na demanda em decorrência de um aumento de preço é um declínio na demanda, portanto, a elasticidade do preço é um número negativo. A convenção comum, no entanto, é falar sobre elasticidade como o valor absoluto do número. Alguns produtos têm muitos substitutos: peras para maçãs para ameixas, para uvas, etc., etc. A elasticidade desses produtos é maior que uma e é chamada de elástica na demanda. Aqui, uma pequena variação percentual no preço induzirá uma grande mudança percentual na quantidade exigida. O consumidor transferirá facilmente a demanda para o substituto próximo.

Embora essa discussão tenha sido sobre mudanças de preço, qualquer uma das variáveis independentes em uma equação de demanda terá uma elasticidade associada. Assim, há uma elasticidade de renda que mede a sensibilidade da demanda às mudanças na renda: não muito para a demanda por comida, mas muito sensível para iates. Se a equação de demanda contiver um termo para produtos substitutos, por exemplo, barras de chocolate em uma equação de demanda para biscoitos, a capacidade de resposta da demanda por biscoitos a partir de mudanças nos preços das barras de chocolate pode ser medida. Isso é chamado de elasticidade cruzada de preços da demanda e, até certo ponto, pode ser considerado como fidelidade à marca do ponto de vista do marketing. Quão responsiva é a demanda pela Coca-Cola às mudanças no preço da Pepsi?

Agora imagine a demanda por um produto muito caro. Novamente, a medida da elasticidade é em termos percentuais, portanto, a elasticidade pode ser comparada diretamente com a da gasolina: uma elasticidade de 0,25 para a gasolina transmite a mesma informação que uma elasticidade de 0,25 para um carro de $25.000. Ambos os bens são considerados pelo consumidor como tendo poucos substitutos e, portanto, têm curvas de demanda inelásticas, elasticidades menores que um.

As fórmulas matemáticas para várias elasticidades são:

\[\text { Price elasticity: } \eta_{\mathrm{p}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{P})}\nonumber\]

Onde\(\eta\) está a letra minúscula grega eta usada para designar elasticidade. é lida como “mudança”.

\[\text { Income elasticity: } \eta_{\mathrm{Y}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{Y})}\nonumber\]

Onde\(Y\) é usado como símbolo de renda.

\[\text { Cross-Price elasticity: } \eta_{\mathrm{p} 1}=\frac{\left(\% \Delta \mathrm{Q}_{1}\right)}{\left(\% \Delta \mathrm{P}_{2}\right)}\nonumber\]

Onde P2 é o preço do produto substituto.

Examinando mais de perto a elasticidade do preço, podemos escrever a fórmula como:

\[\eta_{\mathrm{p}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{P})}=\frac{\mathrm{d} \mathrm{Q}}{\mathrm{dP}}\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}\right)=\mathrm{b}\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}\right)\nonumber\]

Onde\(b\) está o coeficiente estimado para o preço na regressão do OLS.

A primeira forma da equação demonstra o princípio de que as elasticidades são medidas em termos percentuais. Obviamente, os coeficientes de mínimos quadrados comuns fornecem uma estimativa do impacto de uma mudança unitária na variável independente,\(X\), na variável dependente medida em unidades de\(Y\). Esses coeficientes não são elasticidades, no entanto, e são mostrados na segunda maneira de escrever a fórmula da elasticidade como\(\left(\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} P}\right)\), a derivada da função de demanda estimada, que é simplesmente a inclinação da linha de regressão. A multiplicação dos tempos de inclinação\(\frac{P}{Q}\) fornece uma elasticidade medida em termos percentuais.

Ao longo de uma curva de demanda em linha reta, a variação percentual, portanto, a elasticidade, muda continuamente à medida que a escala muda, enquanto a inclinação, o coeficiente de regressão estimado, permanece constante. Voltando à demanda por gasolina. Uma mudança no preço de $3,00 para $3,50 foi um aumento de 16% no preço. Se o preço inicial fosse de $5,00, o mesmo aumento de 50 centavos seria um aumento de apenas 10%, gerando uma elasticidade diferente. Cada curva de demanda em linha reta tem uma gama de elasticidades começando no canto superior esquerdo, preços altos, com grandes números de elasticidade, demanda elástica e diminuindo à medida que se desce a curva de demanda, demanda inelástica.

Para fornecer uma estimativa significativa da elasticidade da demanda, a convenção é estimar a elasticidade no ponto das médias. Lembre-se de que todas as linhas de regressão do OLS passarão pelo ponto das médias. Neste ponto está o maior peso dos dados usados para estimar o coeficiente. A fórmula para estimar uma elasticidade quando uma curva de demanda do OLS é estimada se torna:

\[\eta_{\mathrm{p}}=\mathrm{b}\left(\frac{\overline{\mathrm{P}}}{\mathrm{Q}}\right)\nonumber\]

Onde\(\overline{\mathrm{P}}\) e\(\overline{\mathrm{Q}}\) estão os valores médios desses dados usados para estimar\(b\), o coeficiente de preço.

O mesmo método pode ser usado para estimar as outras elasticidades da função de demanda usando os valores médios apropriados das outras variáveis; renda e preço de bens substitutos, por exemplo.

Transformação logarítmica dos dados

As estimativas ordinárias de mínimos quadrados normalmente assumem que a relação da população entre as variáveis é linear, portanto, da forma apresentada na Equação de Regressão. Nesta forma, a interpretação dos coeficientes é a discutida acima; simplesmente, o coeficiente fornece uma estimativa do impacto de uma mudança de uma unidade\(X\) em\(Y\) medido em unidades de\(Y\). Não importa exatamente onde ao longo da linha se deseja fazer a medição, porque é uma linha reta com uma inclinação constante, portanto, um nível de impacto estimado constante por mudança de unidade. Pode ser, no entanto, que o analista deseje estimar não o simples impacto unitário medido na\(Y\) variável, mas a magnitude do impacto percentual\(Y\) de uma mudança de uma unidade na\(X\) variável. Esse caso pode ser como uma mudança de unidade na experiência, digamos, um ano, afeta não o valor absoluto do salário de um trabalhador, mas o impacto percentual no salário do trabalhador. Como alternativa, pode ser que a pergunta feita seja o impacto medido por unidade\(Y\) de um aumento percentual específico em X. Um exemplo pode ser “em quantos dólares as vendas aumentarão se a empresa gastar um\(X\) percentual a mais em publicidade?” A terceira possibilidade é o caso da elasticidade discutido acima. Aqui estamos interessados no impacto percentual na quantidade exigida por uma determinada variação percentual no preço, na renda ou talvez no preço de um bem substituto. Todos esses três casos podem ser estimados transformando os dados em logaritmos antes de executar a regressão. Os coeficientes resultantes fornecerão então uma medida de variação percentual da variável relevante.

Para resumir, há quatro casos:

1. \(\text { Unit } \Delta X \rightarrow \text { Unit } \Delta Y\)(Caixa OLS padrão)
2. \(\text { Unit } \Delta X \rightarrow \% \Delta Y\)
3. \(\% \Delta X \rightarrow \text { Unit } \Delta Y\)
4. \(\% \Delta X \rightarrow \% \Delta Y\)(estojo de elasticidade)

Caso 1: O caso dos mínimos quadrados ordinários começa com o modelo linear desenvolvido acima:

\[Y=a+b X\nonumber\]

onde o coeficiente da variável independente\(b=\frac{d Y}{d X}\) é a inclinação de uma linha reta e, portanto, mede o impacto de uma mudança unitária\(X\) na\(Y\) medida em unidades de\(Y\).

Caso 2: A equação estimada subjacente é:

\[\log (\mathrm{Y})=a+b X\nonumber\]

A equação é estimada convertendo os\(Y\) valores em logaritmos e usando técnicas de OLS para estimar o coeficiente da\(X\) variável,\(b\). Isso é chamado de estimativa semilogarítmica. Novamente, diferenciar os dois lados da equação nos permite desenvolver a interpretação do\(X\) coeficiente\(b\):

\[\mathrm{d}\left(\log _{\mathrm{Y}}\right)=b \mathrm{d} X\nonumber\]

\[\frac{\mathrm{d} Y}{Y}=b \mathrm{d} X\nonumber\]

Multiplique por 100 para converter em porcentagens e reorganizar os termos dá:

\[100 b=\frac{\% \Delta Y}{\text { Unit } \Delta X}\nonumber\]

\(100b\)é, portanto, a variação percentual\(Y\) resultante de uma mudança unitária em\(X\).

Caso 3: Nesse caso, a pergunta é “qual é a mudança unitária\(Y\) resultante de uma variação percentual em\(X\)?” Qual é a perda em dólares nas receitas de um aumento de cinco por cento no preço ou qual é o impacto total do custo em dólares de um aumento de cinco por cento nos custos trabalhistas? A equação estimada para esse caso seria:

\[Y=a+B \log (X)\nonumber\]

Aqui, o diferencial de cálculo da equação estimada é:

\[dY=bd(logX)\nonumber\]

\[\mathrm{d} Y=b \frac{\mathrm{d} X}{X}\nonumber\]

Divida por 100 para obter a porcentagem e reorganizar os termos dá:

\[\frac{b}{100}=\frac{\mathrm{d} Y}{100 \frac{\mathrm{d} X}{X}}=\frac{\text { Unit } \Delta \mathrm{Y}}{\% \Delta \mathrm{X}}\nonumber\]

Portanto,\(\frac{b}{100}\) é o aumento\(Y\) medido em unidades a partir de um aumento de um por cento em\(X\).

Caso 4: Este é o caso de elasticidade em que as variáveis dependentes e independentes são convertidas em registros antes da estimativa do OLS. Isso é conhecido como caso log-log ou caso de log duplo e nos fornece estimativas diretas das elasticidades das variáveis independentes. A equação estimada é:

\[logY=a+blogX\nonumber\]

Diferenciando, temos:

\[d(logY)=bd(logX)\nonumber\]

\[\mathrm{d}(\log X)=b \frac{1}{X} \mathrm{d} X\nonumber\]

assim:

\[\frac{1}{Y} \mathrm{d} Y=b \frac{1}{X} \mathrm{d} X \quad \text { OR } \quad \frac{\mathrm{d} Y}{Y}=b \frac{\mathrm{d} X}{X} \quad \text { OR } \quad b=\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X}\left(\frac{X}{Y}\right)\nonumber\]

e\(b=\frac{\% \Delta Y}{\% \Delta X}\) nossa definição de elasticidade. Concluímos que podemos estimar diretamente a elasticidade de uma variável por meio da transformação de log duplo dos dados. O coeficiente estimado é a elasticidade. É comum usar a transformação de log duplo de todas as variáveis na estimativa das funções de demanda para obter estimativas de todas as várias elasticidades da curva de demanda.