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7.0: Introdução ao Teorema do Limite Central

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    Por que estamos tão preocupados com os meios? Dois motivos são: eles nos fornecem um meio termo para comparação e são fáceis de calcular. Neste capítulo, você estudará as médias e o Teorema do Limite Central.

    O Teorema do Limite Central é uma das ideias mais poderosas e úteis em todas as estatísticas. O Teorema do Limite Central é um teorema que significa que NÃO é uma teoria ou apenas uma ideia de alguém sobre como as coisas funcionam. Como teorema, ele se classifica com o Teorema de Pitágoras, ou o teorema que nos diz que a soma dos ângulos de um triângulo deve somar 180. Esses são fatos dos modos do mundo rigorosamente demonstrados com precisão matemática e lógica. Como veremos, esse poderoso teorema determinará exatamente o que podemos e não podemos dizer na estatística inferencial. O Teorema do Limite Central se preocupa em extrair amostras finitas\(n\) de tamanho de uma população com uma média conhecida\(\mu\),, e um desvio padrão conhecido,\(\sigma\). A conclusão é que, se coletarmos amostras de tamanho\(n\) com um “grande o suficiente”\(n\), calcularmos a média de cada amostra e criarmos um histograma (distribuição) dessas médias, a distribuição resultante tenderá a ter uma distribuição normal aproximada.

    O resultado surpreendente é que não importa qual seja a distribuição da população original ou se você precisa mesmo conhecê-la. O fato importante é que a distribuição das médias da amostra tende a seguir a distribuição normal.

    Esta é uma foto de trocar um conjunto de chaves em uma pilha. Parece haver cinco centavos, três quartos, quatro centavos e dois centavos. O chaveiro tem uma baleia de bronze e tem onze chaves.
    Figura\(\PageIndex{1}\) Se você quiser descobrir a distribuição da mudança que as pessoas carregam em seus bolsos, usando o Teorema do Limite Central e assumindo que sua amostra é grande o suficiente, você descobrirá que a distribuição é a função de densidade de probabilidade normal. (crédito: John Lodder)

    O tamanho da amostra,\(n\), que é necessário para ser “grande o suficiente” depende da população original da qual as amostras são retiradas (o tamanho da amostra deve ser de pelo menos 30 ou os dados devem vir de uma distribuição normal). Se a população original estiver longe do normal, mais observações serão necessárias para as médias da amostra. A amostragem é feita aleatoriamente e com substituição no modelo teórico.