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6.3: Estimando o binômio com a distribuição normal

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    Descobrimos anteriormente que várias funções de densidade de probabilidade são as distribuições limitantes de outras; assim, podemos estimar uma com a outra sob certas circunstâncias. Descobriremos aqui que a distribuição normal pode ser usada para estimar um processo binomial. O Poisson foi usado para estimar o binômio anteriormente, e o binômio foi usado para estimar a distribuição hipergeométrica.

    No caso da relação entre a distribuição hipergeométrica e o binômio, tivemos que reconhecer que um processo binomial pressupõe que a probabilidade de sucesso permanece constante de tentativa em tentativa: uma cabeça no último turno não pode afetar a probabilidade de uma cabeça no próximo turno. Na distribuição hipergeométrica, essa é a essência da questão, porque o experimento pressupõe que qualquer “desenho” é insubstituível. Se alguém empatar sem substituição, todos os “sorteios” subsequentes são probabilidades condicionais. Descobrimos que, se o experimento hipergeométrico desenhar apenas uma pequena porcentagem do total de objetos, podemos ignorar o impacto na probabilidade de desenhar em desenho.

    Imagine que há 312 cartas em um baralho composto por 6 baralhos normais. Se o experimento exigiu o sorteio de apenas 10 cartas, menos de 5% do total, aceitaremos a estimativa binomial da probabilidade, mesmo que essa seja na verdade uma distribuição hipergeométrica porque as cartas são presumivelmente sorteadas sem substituição.

    O Poisson também foi considerado uma estimativa apropriada do binômio sob certas circunstâncias. Na Figura\(\PageIndex{11}\) mostra uma distribuição normal simétrica transposta em um gráfico de uma distribuição binomial onde\(p = 0.2\)\(n = 5\) e. A discrepância entre a probabilidade estimada usando uma distribuição normal e a probabilidade da distribuição binomial original é aparente. Os critérios para usar uma distribuição normal para estimar um binômio, portanto, abordam esse problema ao exigir que AMBOS\(np\) E\(n(1 − p)\) sejam maiores que cinco. Novamente, essa é uma regra prática, mas é eficaz e resulta em estimativas aceitáveis da probabilidade binomial.

    Figura\(\PageIndex{11}\)

    \(1-[p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+\ldots+p(X=16)]=p(X>16)=p(Z>2)=0.0228\)