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5.9: Revisão do capítulo

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    5.1 Propriedades das funções contínuas de densidade de probabilidade

    A função de densidade de probabilidade (pdf) é usada para descrever probabilidades para variáveis aleatórias contínuas. A área sob a curva de densidade entre dois pontos corresponde à probabilidade de a variável ficar entre esses dois valores. Em outras palavras, a área sob a curva de densidade entre os pontos a e b é igual\(P(a < x < b)\) a. A função de distribuição cumulativa (cdf) fornece a probabilidade como uma área. Se\(X\) for uma variável aleatória contínua, a função de densidade de probabilidade (pdf)\(f(x)\),, é usada para desenhar o gráfico da distribuição de probabilidade. A área total abaixo do gráfico de\(f(x)\) é um. A área abaixo do gráfico de\(f(x)\) e entre os valores\(a\) e\(b\) fornece a probabilidade\(P(a < x < b)\).

    O gráfico à esquerda mostra uma curva de densidade geral, y = f (x). A região abaixo da curva e acima do eixo x está sombreada. A área da região sombreada é igual a 1. Isso mostra que todos os resultados possíveis são representados pela curva. O gráfico à direita mostra a mesma curva de densidade. As linhas verticais x = a e x = b se estendem do eixo até a curva, e a área entre as linhas é sombreada. A área da região sombreada representa a probabilidade y de que um valor x fique entre a e b.
    Figura\(\PageIndex{21}\)

    A função de distribuição cumulativa (cdf) de\(X\) é definida por\(P(X \leq x)\). É uma função de x que dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a x.

    5.2 A distribuição uniforme

    Se\(X\) tem uma distribuição uniforme onde\(a < x < b\) ou\(a \leq x \leq b\), então\(X\) assume valores entre\(a\) e\(b\) (pode incluir\(a\) e\(b\)). Todos os valores\(x\) são igualmente prováveis. Nós escrevemos\(X \sim U(a, b)\). A média de\(X\) é\(\mu=\frac{a+b}{2}\). O desvio padrão de\(X\) é\(\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^{2}}{12}}\). A função de densidade de probabilidade de\(X\) é\(f(x)=\frac{1}{b-a}\) para\(a \leq x \leq b\). A função de distribuição cumulativa de\(X\) é\(P(X \leq x)=\frac{x-a}{b-a}\). \(X\)é contínuo.

    O gráfico mostra um retângulo com área total igual a 1. O retângulo se estende de x = a a x = b no eixo x e tem uma altura de 1/ (b-a).
    Figura\(\PageIndex{22}\)

    A probabilidade\(P(c < X < d)\) pode ser encontrada computando a área abaixo\(f(x)\), entre\(c\)\(d\) e. Como a área correspondente é um retângulo, a área pode ser encontrada simplesmente multiplicando a largura e a altura.

    5.3 A distribuição exponencial

    Se\(X\) tem uma distribuição exponencial com média\(\mu\), então o parâmetro de decaimento é\(m=\frac{1}{\mu}\). A função de densidade de probabilidade de\(X\) é\(f(x) = me^{-mx}\) (ou equivalentemente)\(f(x)=\frac{1}{\mu} e^{-x / \mu}\). A função de distribuição cumulativa de\(X\) é\(P(X \leq x)=1-e^{-m x}\).