4.2: Distribuição binomial

Uma função de densidade de probabilidade mais valiosa com muitas aplicações é a distribuição binomial. Essa distribuição computará probabilidades para qualquer processo binomial. Um processo binomial, muitas vezes chamado de processo de Bernoulli em homenagem à primeira pessoa a desenvolver totalmente suas propriedades, é qualquer caso em que há apenas dois resultados possíveis em qualquer tentativa, chamados de sucessos e fracassos. Seu nome vem do sistema de números binários, em que todos os números são reduzidos para 1 ou 0, que é a base para a tecnologia de computadores e gravações de música em CD.

Fórmula binomial

\[b(x)=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right) p^{x} q^{n-x}\nonumber\]

onde\(b(x)\) é a probabilidade de\(X\) sucesso em\(n\) testes quando a probabilidade de sucesso em QUALQUER UM TESTE é\(p\). E, claro,\(q=(1-p)\) e é a probabilidade de uma falha em qualquer tentativa.

Agora podemos ver por que a fórmula combinatória também é chamada de coeficiente binomial porque ela reaparece aqui novamente na função de probabilidade binomial. Para que a fórmula binomial funcione, a probabilidade de sucesso em qualquer tentativa deve ser a mesma de tentativa em tentativa, ou em outras palavras, os resultados de cada tentativa devem ser independentes. Jogar uma moeda é um processo binomial porque a probabilidade de obter uma cabeça de uma só vez não depende do que aconteceu nas jogadas ANTERIORES. (Neste momento, deve-se notar que usar\(p\) para o parâmetro da distribuição binomial é uma violação da regra de que os parâmetros populacionais são designados com letras gregas. Em muitos livros didáticos\(\theta\) (pronunciado theta) é usado em vez de p e é assim que deveria ser.

Assim como um conjunto de dados, uma função de densidade de probabilidade tem uma média e um desvio padrão que descrevem o conjunto de dados. Para a distribuição binomial, elas são dadas pelas fórmulas:

\[\mu=np\nonumber\]

\[\sigma=\sqrt{n p q}\nonumber\]

Observe que p é o único parâmetro nessas equações. A distribuição binomial é, portanto, vista como proveniente da família de distribuições de probabilidade de um parâmetro. Em resumo, sabemos tudo o que há para saber sobre o binômio uma vez que conhecemos p, a probabilidade de sucesso em qualquer tentativa.

Na teoria da probabilidade, sob certas circunstâncias, uma distribuição de probabilidade pode ser usada para aproximar outra. Dizemos que uma é a distribuição limitante da outra. Se um número pequeno for retirado de uma grande população, mesmo que não haja substituição, ainda podemos usar o binômio, mesmo que esse não seja um processo binomial. Se não houver substituição, isso viola a regra de independência do binômio. No entanto, podemos usar o binômio para aproximar uma probabilidade que é realmente uma distribuição hipergeométrica se estivermos desenhando menos de 10 por cento da população, ou seja, n é menor que 10 por cento de N na fórmula para a função hipergeométrica. A justificativa para esse argumento é que, ao desenhar uma pequena porcentagem da população, não alteramos a probabilidade de sucesso de empate em empate de forma significativa. Imagine tirar não de um baralho de 52 cartas, mas de 6 baralhos de cartas. A probabilidade de, digamos, empatar um ás não altera a probabilidade condicional do que acontece em um segundo empate da mesma forma que faria se houvesse apenas 4 ases em vez dos 24 ases agora dos quais empatar. Essa capacidade de usar uma distribuição de probabilidade para estimar outras se tornará muito valiosa para nós posteriormente.

Há três características de um experimento binomial.

1. Há um número fixo de testes. Pense nas provações como repetições de um experimento. A letra\(n\) indica o número de ensaios.
2. A variável aleatória\(x\), número de sucessos, é discreta.
3. Há apenas dois resultados possíveis, chamados de “sucesso” e “fracasso”, para cada tentativa. A letra\(p\) indica a probabilidade de sucesso em qualquer tentativa e\(q\) denota a probabilidade de falha em qualquer tentativa. \(p + q = 1\).
4. Os n ensaios são independentes e são repetidos usando condições idênticas. Pense nisso como um desenho COM substituição. Como os n ensaios são independentes, o resultado de um ensaio não ajuda a prever o resultado de outro ensaio. Outra forma de dizer isso é que para cada tentativa individual, a probabilidade,\(p\), de um sucesso e a probabilidade,\(q\), de um fracasso permanecem as mesmas. Por exemplo, adivinhar aleatoriamente uma pergunta de estatística verdadeira e falsa tem apenas dois resultados. Se um sucesso é adivinhar corretamente, então uma falha é adivinhar incorretamente. Suponha que Joe sempre adivinhe corretamente qualquer pergunta estatística verdadeira-falsa com uma probabilidade\(p = 0.6\). Então,\(q = 0.4\). Isso significa que para cada pergunta estatística falsa e verdadeira que Joe responde, sua probabilidade de sucesso (\(p = 0.6\)) e sua probabilidade de falha (\(q = 0.4\)) permanecem as mesmas.

Os resultados de um experimento binomial se encaixam em uma distribuição de probabilidade binomial. A variável aleatória\(X\) = o número de sucessos obtidos nos ensaios\(n\) independentes.

A média,\(\mu\), e a variância\(\sigma^2\),, para a distribuição de probabilidade binomial são\(\mu = np\)\(\sigma^2 = npq\) e. O desvio padrão,\(\sigma\), é então\ sigma =\(\sqrt{n p q}\).

Qualquer experimento que tenha as características três e quatro e que\(n = 1\) seja chamado de Ensaio de Bernoulli (em homenagem a Jacob Bernoulli que, no final dos anos 1600, os estudou extensivamente). Um experimento binomial ocorre quando o número de sucessos é contado em um ou mais Ensaios de Bernoulli.

Exemplo\(\PageIndex{2}\)

Suponha que você jogue um jogo que só pode ganhar ou perder. A probabilidade de você ganhar qualquer jogo é de 55% e a probabilidade de perder é de 45%. Cada jogo que você joga é independente. Se você jogar o jogo 20 vezes, escreva a função que descreve a probabilidade de você ganhar 15 das 20 vezes. Aqui, se você definir\(X\) como o número de vitórias,\(X\) assume os valores 0, 1, 2, 3,..., 20. A probabilidade de sucesso é\(p = 0.55\). A probabilidade de uma falha é\(q = 0.45\). O número de ensaios é\(n = 20\). A questão da probabilidade pode ser declarada matematicamente como\(P(x = 15)\)

Exercício\(\PageIndex{2}\)

Um treinador está ensinando um golfinho a fazer truques. A probabilidade de o golfinho realizar o truque com sucesso é de 35%, e a probabilidade de o golfinho não realizar o truque com sucesso é de 65%. De 20 tentativas, você quer descobrir a probabilidade de o golfinho ter sucesso 12 vezes. Encontre o\(P(X=12)\) usando o binômio Pdf

Exemplo\(\PageIndex{3}\)

Uma moeda justa é lançada 15 vezes. Cada jogada é independente. Qual é a probabilidade de conseguir mais de dez cabeças? Seja\(X\) = o número de cabeças em 15 voltas da moeda justa. \(X\)assume os valores 0, 1, 2, 3,..., 15. Como a moeda é justa,\(p = 0.5\)\(q = 0.5\) e. O número de ensaios é\(n = 15\). Indique a questão probabilística matematicamente.

Resposta

\(P (x > 10)\)

Exemplo\(\PageIndex{4}\)

Aproximadamente 70% dos estudantes de estatística fazem sua lição de casa a tempo para que ela seja coletada e avaliada. Cada aluno faz a lição de casa de forma independente. Em uma aula de estatística de 50 alunos, qual é a probabilidade de que pelo menos 40 façam a lição de casa a tempo? Os alunos são selecionados aleatoriamente.

a. Esse é um problema binomial porque há apenas um sucesso ou um __________, há um número fixo de tentativas e a probabilidade de sucesso é de 0,70 para cada tentativa.

Resposta

a. falha

b. Se estamos interessados no número de estudantes que fazem a lição de casa a tempo, então como definimos\(X\)?

Resposta

b.\(X\) = o número de estudantes de estatística que fazem a lição de casa a tempo

c. Quais valores\(x\) assume?

Resposta

c. 0, 1, 2,..., 50

d. O que é um “fracasso”, em palavras?

Resposta

d. O fracasso é definido como um aluno que não conclui sua lição de casa a tempo.

A probabilidade de sucesso é\(p = 0.70\). O número de ensaios é\(n = 50\).

e. Se\(p + q = 1\), então o que é\(q\)?

Resposta

e.\(q = 0.30\)

f. As palavras “pelo menos” são traduzidas como o tipo de desigualdade para a questão probabilística (\(P(x\)____ 40).

Resposta

f. maior ou igual a (\(\geq\))
A questão da probabilidade é\(P(x \geq 40)\).

Exercício\(\PageIndex{4}\)

Sessenta e cinco por cento das pessoas passam no exame estadual de motorista na primeira tentativa. Um grupo de 50 pessoas que fizeram o exame de direção é selecionado aleatoriamente. Dê duas razões pelas quais esse é um problema binomial

Exercício\(\PageIndex{4}\)

Durante a temporada regular da NBA de 2013, DeAndre Jordan, do Los Angeles Clippers, teve a maior taxa de conclusão de gols de campo da liga. DeAndre marcou com 61,3% de seus chutes. Suponha que você escolha uma amostra aleatória de 80 fotos feitas por DeAndre durante a temporada de 2013. Seja\(X\) = o número de chutes que marcaram pontos.

1. Para que serve a distribuição de probabilidade\(X\)?
2. Usando as fórmulas, calcule a média (i) e (ii) o desvio padrão de\(X\).
3. Encontre a probabilidade de DeAndre ter marcado com 60 desses chutes.
4. Descubra a probabilidade de DeAndre ter marcado com mais de 50 desses chutes.