31.3: Notação científica (Apêndice C)

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Em astronomia (e outras ciências), muitas vezes é necessário lidar com números muito grandes ou muito pequenos. Na verdade, quando os números se tornam realmente grandes na vida cotidiana, como a dívida nacional nos Estados Unidos, nós os chamamos de astronômicos. Entre as ideias com as quais os astrônomos devem lidar rotineiramente está a de que a Terra está a 150.000.000.000.000 metros do Sol e a massa do átomo de hidrogênio é de 0,00000000000000000000167 quilos. Ninguém em sã consciência gostaria de continuar escrevendo tantos zeros!

Em vez disso, os cientistas concordaram com uma espécie de notação abreviada, que não só é mais fácil de escrever, mas (como veremos) torna a multiplicação e divisão de números grandes e pequenos muito menos difíceis. Se você nunca usou essa notação de potências de dez ou notação científica, pode levar um pouco de tempo para se acostumar com ela, mas logo você achará muito mais fácil do que acompanhar todos esses zeros.

Escrevendo números grandes

Em notação científica, geralmente concordamos em ter apenas um número à esquerda do ponto decimal. Se um número não estiver nesse formato, ele deverá ser alterado. O número 6 já está no formato correto, pois, para números inteiros, entendemos que há um ponto decimal à direita deles. Então, 6 é realmente 6., e de fato há apenas um número à esquerda do ponto decimal. Mas o número 965 (que é 965.) tem três números à esquerda do ponto decimal e, portanto, está pronto para conversão.

Para alterar 965 para a forma correta, devemos fazer 9,65 e, em seguida, acompanhar a alteração que fizemos. (Pense no número como um salário semanal e, de repente, faz muita diferença se temos $965 ou $9,65.) Acompanhamos o número de casas em que movemos o ponto decimal, expressando-o como uma potência de dez. Então 965 se torna 9,65 × 10 ² ou 9,65 multiplicado por dez elevado a segunda potência. O pequeno 2 elevado é chamado de expoente e nos diz quantas vezes movemos o ponto decimal para a esquerda.

Observe que 10 ² também designa 10 ao quadrado, ou 10 × 10, que é igual a 100. E 9,65 × 100 é apenas 965, o número com o qual começamos. Outra forma de observar a notação científica é separar os números confusos na frente e deixar as unidades suaves de dez para o expoente indicar. Portanto, um número como 1.372.568 se torna 1,372568 vezes um milhão (10 ⁶) ou 1,372568 vezes 10 multiplicado por si mesmo 6 vezes. Tivemos que mover o ponto decimal seis casas para a esquerda (de seu lugar após o 8) para colocar o número na forma em que há apenas um dígito à esquerda do ponto decimal.

A razão pela qual chamamos essa notação de potências de dez é que nosso sistema de contagem é baseado em aumentos de dez; cada lugar em nosso sistema de numeração é dez vezes maior do que o lugar à direita dele. Como você provavelmente já aprendeu, isso começou porque os seres humanos têm dez dedos e começamos a contar com eles. (É interessante especular que, se algum dia encontrarmos formas de vida inteligentes com apenas oito dedos, seu sistema de contagem provavelmente seria uma notação de potências de oito!)

Então, no exemplo com o qual começamos, o número de metros da Terra ao Sol é 1,5 × 10 ¹¹. Em outra parte do livro, mencionamos que uma corda de 1 ano-luz de comprimento caberia em torno do equador da Terra 236 milhões ou 236.000.000 de vezes. Em notação científica, isso se tornaria 2,36 × 10 ⁸. Agora, se você gosta de expressar coisas em milhões, como fazem os relatórios anuais de empresas bem-sucedidas, talvez queira escrever esse número como 236 × 10 ⁶. No entanto, a convenção usual é ter apenas um número à esquerda do ponto decimal.

Escrevendo números pequenos

Agora, pegue um número como 0,00347, que também não está na forma padrão (acordada) para notação científica. Para colocá-lo nesse formato, devemos fazer com que a primeira parte seja 3,47 movendo o ponto decimal três casas para a direita. Observe que esse movimento à direita é o oposto do movimento à esquerda que discutimos acima. Para acompanhar, chamamos essa mudança de negativa e colocamos um sinal de menos no expoente. Assim, 0,00347 se torna 3,47 × 10 ⁻³.

No exemplo que demos no início, a massa do átomo de hidrogênio seria então escrita como 1,67 × 10 ⁻²⁷ kg. Neste sistema, um é escrito como 10 ⁰, um décimo como 10 ⁻¹, um centésimo como 10 ⁻² e assim por diante. Observe que qualquer número, não importa quão grande ou pequeno, pode ser expresso em notação científica.

Multiplicação e divisão

A notação científica não é apenas compacta e conveniente, mas também simplifica a aritmética. Para multiplicar dois números expressos como potências de dez, você só precisa multiplicar os números na frente e, em seguida, adicionar os expoentes. Se não houver números na frente, como em 100 × 100.000, basta adicionar os expoentes (em nossa notação, 10 ² × 10 ⁵ = 10 ⁷). Quando há números na frente, você precisa multiplicá-los, mas é muito mais fácil lidar com eles do que números com muitos zeros.

Aqui está um exemplo:

\[\left( 3 \times 10^5 \right) \times \left( 2 \times 10^9 \right) = 6 \times 10^{14} \nonumber\]

E aqui está outro exemplo:

\[ \begin{aligned} 0.04 \times 6,000,000 & =\left( 4 \times 10^{−2} \right) \times \left( 6 \times 10^6 \right) \\ & = 24×10^4 \\ & = 2.4×10^5 \end{aligned} \nonumber\]

Observe no segundo exemplo que, quando adicionamos os expoentes, tratamos os expoentes negativos como fazemos na aritmética regular (−2 mais 6 é igual a 4). Além disso, observe que nosso primeiro resultado tinha um 24, que não estava na forma aceitável, com duas casas à esquerda do ponto decimal e, portanto, o alteramos para 2,4 e alteramos o expoente de acordo.

Para dividir, você divide os números à frente e subtrai os expoentes. Aqui estão vários exemplos:

\[ \begin{array}{l} \frac{1,000,000}{1000} = \frac{10^6}{10^3} = 10^{(6-3)} = 10^3 \\ \frac{9 \times 10^{12}}{2 \times 10^3} = 4.5 \times 10^9 \\ \frac{2.8 \times 10^2}{6.2 \times 10^5} =4.52 \times 10^{−4} \end{array} \nonumber\]

No último exemplo, nosso primeiro resultado não estava na forma padrão, então tivemos que transformar 0,452 em 4,52 e alterar o expoente de acordo.

Se esta é a primeira vez que você conhece a notação científica, recomendamos que você pratique muitos exemplos de uso dela. Você pode começar resolvendo os exercícios abaixo. Como qualquer novo idioma, a notação parece complicada no início, mas fica mais fácil à medida que você a pratica.

Exercícios

No final de setembro de 2015, a espaçonave New Horizons (que encontrou Plutão pela primeira vez em julho de 2015) estava a 4,898 bilhões de km da Terra. Converta esse número em notação científica. Quantas unidades astronômicas são essas? (Uma unidade astronômica é a distância da Terra ao Sol, ou cerca de 150 milhões de km.)
Durante os primeiros seis anos de operação, o Telescópio Espacial Hubble circulou a Terra 37.000 vezes, totalizando 1.280.000.000 km. Use a notação científica para encontrar o número de km em uma órbita.
Em um grande refeitório universitário, um hambúrguer de soja e vegetais é oferecido como alternativa aos hambúrgueres comuns. Se 889.875 hambúrgueres foram consumidos durante o ano letivo e 997 deles eram hambúrgueres vegetarianos, que fração e qual porcentagem dos hambúrgueres isso representa?
Em uma pesquisa de 2012 da Kelton Research, 36% dos americanos adultos pensaram que seres alienígenas realmente pousaram na Terra. O número de adultos nos Estados Unidos em 2012 foi de cerca de 222.000.000. Use a notação científica para determinar quantos adultos acreditam que alienígenas visitaram a Terra.
No ano letivo de 2009—2010, faculdades e universidades americanas concederam 2.354.678 graus. Entre eles estavam 48.069 doutorados. Que fração dos diplomas eram doutores? Expresse esse número como uma porcentagem. (Agora vá e encontre um emprego para todos aqueles PhDs!)
Foi descoberto que uma estrela a 60 anos-luz de distância tem um grande planeta orbitando-a. Seu tio quer saber a distância até este planeta em milhas antiquadas. Suponha que a luz viaje 186.000 milhas por segundo, e há 60 segundos em um minuto, 60 minutos em uma hora, 24 horas em um dia e 365 dias em um ano. A quantos quilômetros de distância está aquela estrela?

Respostas

4,898 bilhões são 4,898 × 10 ⁹ km. Uma unidade astronômica (AU) é 150 milhões de km = 1,5 × 10 ⁸ km. Dividindo o primeiro número pelo segundo, obtemos 3,27 × 10 ^{(9 — 8)} = 3,27 × 10 ¹ AU.
$\frac{1.28 \times 10^9 \text{ km}}{3.7 \times 10^4 \text{ orbits}} = 0.346 \times 10^{(9−4)} = 0.346 \times 10^5 = 3.46 \times 10^4 \text{ km per orbit}$.
$\frac{9.97 \times 10^2 \text{ veggie burgers}}{8.90 \times 10^5 \text{ total burgers}} = 1.12 \times 10^{(2−5)} = 1.12 \times 10^{(2−5)} = 1.12 \times 10^{−3}$(ou cerca de um milésimo) dos hambúrgueres eram vegetarianos. Porcentagem significa por cem. Então$\frac{1.12 \times 10^{−3}}{10^{−2}} = 1.12 \times 10^{(−3−(−2))} = 1.12 \times 10^{−1} \text{ percent}$ (o que é aproximadamente um décimo de um por cento).
36% é 36 centésimos ou 0,36 ou 3,6 × 10 ⁻¹. Multiplique isso por 2,22 × 10 ⁸ e você terá cerca de 7,99 × 10 ^{(−1 + 8)} = 7,99 × 10 ⁷ ou quase 80 milhões de pessoas que acreditam que alienígenas pousaram em nosso planeta. Precisamos de mais cursos de astronomia para educar todas essas pessoas.
$\frac{4.81 \times 10^4}{2.35 \times 10^6} = 2.05 \times 10^{(4−6)} = 2.05 \times 10^{−2} = \text{ about} 2 \%$. (Observe que nesses exemplos estamos arredondando alguns números para que não tenhamos mais de 2 casas após o ponto decimal.)
Um ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano. (Normalmente, usamos unidades métricas e não o antigo sistema britânico que os Estados Unidos ainda usam, mas vamos agradar seu tio e ficar com milhas.) Se a luz viajar 186.000 milhas a cada segundo, ela viajará 60 vezes mais em um minuto, 60 vezes mais em uma hora, 24 vezes mais em um dia e 365 vezes mais em um ano. Portanto, temos 1,86 × 10 ⁵ × 6,0 × 10 ¹ × 6,0 × 10 ¹ × 2,4 × 10 ¹ × 3,65 × 10 ². Então, multiplicamos todos os números à frente e somamos todos os expoentes. Obtemos 586,57 × ^{10 10} = 5,86 × 10 ¹² milhas em um ano-luz (que é aproximadamente 6 trilhões de milhas - muitas milhas). Portanto, se a estrela estiver a 60 anos-luz de distância, sua distância em milhas é de 6 × 10 ¹ × 5,86 × 10 ¹² = 35,16 × 10 ¹³ = 3,516 × 10 ¹⁴ milhas.