11: Sistemas de equações e desigualdades
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Neste capítulo, investigaremos matrizes e seus inversos e várias maneiras de usar matrizes para resolver sistemas de equações. Primeiro, no entanto, estudaremos sistemas de equações sozinhos: lineares e não lineares e, em seguida, frações parciais.
- 11.0: Prelúdio de sistemas de equações e desigualdades
- Neste capítulo, investigaremos matrizes e seus inversos e várias maneiras de usar matrizes para resolver sistemas de equações. Primeiro, no entanto, estudaremos sistemas de equações sozinhos: lineares e não lineares e, em seguida, frações parciais. Não decifraremos nenhum código secreto aqui, mas estabeleceremos as bases para cursos futuros.
- 11.1: Sistemas de equações lineares - duas variáveis
- Um sistema de equações lineares consiste em duas ou mais equações compostas por duas ou mais variáveis, de forma que todas as equações no sistema sejam consideradas simultaneamente. A solução para um sistema de equações lineares em duas variáveis é qualquer par ordenado que satisfaça cada equação de forma independente. Os sistemas de equações são classificados como independentes com uma solução, dependentes de um número infinito de soluções ou inconsistentes com nenhuma solução.
- 11.2: Sistemas de equações lineares com três variáveis
- Um conjunto de soluções é um triplo ordenado que representa a interseção de três planos no espaço. Um sistema de três equações em três variáveis pode ser resolvido usando uma série de etapas que força a eliminação de uma variável. As etapas incluem trocar a ordem das equações, multiplicar os dois lados de uma equação por uma constante diferente de zero e adicionar um múltiplo diferente de zero de uma equação a outra equação. Sistemas de três equações em três variáveis são úteis para resolver problemas do mundo real.
- 11.3: Sistemas de equações e desigualdades não lineares - duas variáveis
- Nesta seção, consideraremos a interseção de uma parábola e uma linha, um círculo e uma linha e um círculo e uma elipse. Os métodos para resolver sistemas de equações não lineares são semelhantes aos de equações lineares.
- 11.4: Frações parciais
- Decomponha uma proporção de polinômios escrevendo as frações parciais. Resolva limpando as frações, expandindo o lado direito, coletando termos semelhantes e definindo coeficientes correspondentes iguais entre si, depois configurando e resolvendo um sistema de equações. A decomposição com fatores lineares repetidos deve levar em conta os fatores do denominador em potências crescentes. A decomposição com um fator quadrático irredutível não repetido precisa de um numerador linear sobre o fator quadrático.
- 11.5: Matrizes e operações matriciais
- Para resolver um sistema de equações, podemos usar uma matriz, que é uma matriz retangular de números. Uma linha em uma matriz é um conjunto de números alinhados horizontalmente. Uma coluna em uma matriz é um conjunto de números alinhados verticalmente. Cada número é uma entrada, às vezes chamada de elemento, da matriz. As matrizes (plural) estão entre [] ou () e geralmente são nomeadas com letras maiúsculas.
- 11.6: Resolvendo sistemas com eliminação gaussiana
- Uma matriz pode servir como um dispositivo para representar e resolver um sistema de equações. Para expressar um sistema em forma de matriz, extraímos os coeficientes das variáveis e das constantes, que se tornam as entradas da matriz. Usamos uma linha vertical para separar as entradas do coeficiente das constantes, substituindo essencialmente os sinais de igualdade. Quando um sistema é escrito dessa forma, nós o chamamos de matriz aumentada.
- 11.7: Resolvendo sistemas com inversas
- Uma matriz que tem um inverso multiplicativo é chamada de matriz invertível. Somente uma matriz quadrada pode ter um inverso multiplicativo, pois a reversibilidade é um requisito. Nem todas as matrizes quadradas têm um inverso. Veremos dois métodos para encontrar o inverso de uma matriz 2 × 2 e um terceiro método que pode ser usado em matrizes 2 × 2 e 3 × 3.
- 11.8: Resolvendo sistemas com a regra de Cramer
- Nesta seção, estudaremos mais duas estratégias para resolver sistemas de equações. Um determinante é um número real que pode ser muito útil em matemática porque tem várias aplicações, como calcular área, volume e outras quantidades. Aqui, usaremos determinantes para revelar se uma matriz é invertível usando as entradas de uma matriz quadrada para determinar se há uma solução para o sistema de equações. Regra de Cramer para resolver um sistema de equações em duas e três variáveis.
Miniatura: Possíveis tipos de soluções para os pontos de interseção de um círculo e uma elipse.