5.5: Zeros de funções polinomiais

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Objetivos de

Avalie um polinômio usando o Teorema do Restante.
Use o Teorema do Fator para resolver uma equação polinomial.
Use o Teorema do Zero Racional para encontrar zeros racionais.
Encontre zeros de uma função polinomial.
Use o Teorema da Fatoração Linear para encontrar polinômios com zeros dados.
Use a Regra de Sinais de Descartes.
Resolva aplicações reais de equações polinomiais

Uma nova padaria oferece bolos decorados para festas de aniversário de crianças e outras ocasiões especiais. A padaria quer que o volume de um bolo pequeno seja de 351 polegadas cúbicas. O bolo tem a forma de um sólido retangular. Eles querem que o comprimento do bolo seja quatro polegadas maior que a largura do bolo e que a altura do bolo seja um terço da largura. Quais devem ser as dimensões da forma de bolo?

Esse problema pode ser resolvido escrevendo uma função cúbica e resolvendo uma equação cúbica para o volume do bolo. Nesta seção, discutiremos uma variedade de ferramentas para escrever funções polinomiais e resolver equações polinomiais.

Cálculo de um polinômio usando o teorema do resto

Na última seção, aprendemos como dividir polinômios. Agora podemos usar a divisão polinomial para avaliar polinômios usando o Teorema do Restante. Se o polinômio for dividido por$x–k$, o restante pode ser encontrado rapidamente avaliando a função polinomial em$k$, ou seja,$f(k)$. Vamos examinar a prova do teorema.

Lembre-se de que o Algoritmo de Divisão afirma que, dado um dividendo polinomial$f(x)$ e um divisor polinomial diferente de zero,$d(x)$ onde o grau de$d(x)$ é menor ou igual ao grau de$f(x)$, existem polinômios únicos$q(x)$ e$r(x)$ tais que

\[f(x)=d(x)q(x)+r(x) \nonumber\]

Se o divisor,$d(x)$, for$x−k$, isso assume a forma

\[f(x)=(x−k)q(x)+r \nonumber\]

Desde o divisor$x−k$

é linear, o restante será uma constante,$r$. E, se avaliarmos isso para$x=k$, temos

\[\begin{align*} f(k)&=(k−k)q(k)+r \\[4pt] &=0{\cdot}q(k)+r \\[4pt] &=r \end{align*}\]

Em outras palavras,$f(k)$ é o restante obtido dividindo$f(x)$ por$x−k$.

O Teorema do Restante

Se um polinômio$f(x)$ for dividido por$x−k$, o restante será o valor$f(k)$.

$alt$ Dada uma função polinomial$f$,$f(x)$ calcule$x=k$ usando o Teorema do Restante.

Use a divisão sintética para dividir o polinômio por$x−k$.
O restante é o valor$f(k)$.

Exemplo$\PageIndex{1}$: Using the Remainder Theorem to Evaluate a Polynomial

Use o Teorema do Restante para avaliar$f(x)=6x^4−x^3−15x^2+2x−7$ em$x=2$.

Solução

Para encontrar o restante usando o Teorema do Restante, use a divisão sintética para dividir o polinômio por$x−2$.

\[ 2 \begin{array}{|ccccc} \; 6 & −1 & −15 & 2 & −7 \\ \text{} & 12 & 22 & 14 & 32 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{ccccc} 6 & 11 & \; 7 & \;\;16 & \;\; 25 \end{array} \]

O restante é 25. Portanto,$f(2)=25$.

Análise

Podemos verificar nossa resposta avaliando$f(2)$.

\[\begin{align*} f(x)&=6x^4−x^3−15x^2+2x−7 \\ f(2)&=6(2)^4−(2)^3−15(2)^2+2(2)−7 \\ &=25 \end{align*}\]

Exercício$\PageIndex{1}$

Use o Teorema do Restante para avaliar$f(x)=2x^5−3x^4−9x^3+8x^2+2$ em$x=−3$.

Responda: $f(−3)=−412$

Usando o teorema do fator para resolver uma equação polinomial

O Teorema do Fator é outro teorema que nos ajuda a analisar equações polinomiais. Ele nos diz como os zeros de um polinômio estão relacionados aos fatores. Lembre-se de que o algoritmo de divisão.

\[f(x)=(x−k)q(x)+r\]

Se$k$ for zero, então o restante$r$ é$f(k)=0$ e$f (x)=(x−k)q(x)+0$ ou$f(x)=(x−k)q(x)$.

Aviso, escrito neste formulário,$x−k$ é um fator de$f(x)$. Podemos concluir que se$k$ é zero de$f(x)$, então$x−k$ é um fator de$f(x)$.

Da mesma forma, se$x−k$ for um fator de$f(x)$, então o restante do algoritmo de divisão$f(x)=(x−k)q(x)+r$ é$0$. Isso nos diz que$k$ é um zero.

Esse par de implicações é o Teorema do Fator. Como veremos em breve, um polinômio de grau$n$ no sistema numérico complexo terá$n$ zeros. Podemos usar o Teorema do Fator para fatorar completamente um polinômio no produto dos$n$ fatores. Uma vez que o polinômio tenha sido completamente fatorado, podemos determinar facilmente os zeros do polinômio.

O TEOREMA DO FATOR

De acordo com o Teorema do Fator,$k$ é um zero de$f(x)$ se e somente se$(x−k)$ é um fator de$f(x)$.

Como: Dado um fator e um polinômio de terceiro grau, use o Teorema do Fator para fatorar o polinômio

Use a divisão sintética para dividir o polinômio por$(x−k)$.
Confirme se o restante é$0$.
Escreva o polinômio como o produto$(x−k)$ e o quociente quadrático.
Se possível, fatore a quadrática.
Escreva o polinômio como produto de fatores.

Exemplo$\PageIndex{2}$: Using the Factor Theorem to Solve a Polynomial Equation

Mostre que isso$(x+2)$ é um fator de$x^3−6x^2−x+30$. Encontre os fatores restantes. Use os fatores para determinar os zeros do polinômio.

Solução

Podemos usar a divisão sintética para mostrar que$(x+2)$ é um fator do polinômio.

\[ -2 \begin{array}{|cccc} \; 1 & −6 & −1 & 30 \\ \text{} & -2 & 16 & -30 \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 1 & -8 & \; 15 & \;\;0 \end{array} \]

O restante é zero, assim$(x+2)$ como um fator do polinômio. Podemos usar o Algoritmo de Divisão para escrever o polinômio como o produto do divisor e do quociente:

\[(x+2)(x^2−8x+15)\]

Podemos fatorar o fator quadrático para escrever o polinômio como

\[(x+2)(x−3)(x−5)\]

Pelo Teorema do Fator, os zeros de$x^3−6x^2−x+30$ são —2, 3 e 5.

Exercício$\PageIndex{2}$

Use o Teorema do Fator para encontrar os zeros de um$f(x)=x^3+4x^2−4x−16$ dado que$(x−2)$ é um fator do polinômio.

Responda: Os zeros são 2, —2 e —4.

Usando o teorema do zero racional para encontrar zeros racionais

Outro uso do Teorema do Restante é testar se um número racional é zero para um determinado polinômio. Mas primeiro precisamos de um conjunto de números racionais para testar. O Teorema do Zero Racional nos ajuda a reduzir o número de zeros racionais possíveis usando a razão dos fatores do termo constante e os fatores do coeficiente principal do polinômio

Considere uma função quadrática com dois zeros$x=\frac{2}{5}$$x=\frac{3}{4}$ e. Pelo Teorema do Fator, esses zeros têm fatores associados a eles. Vamos definir cada fator igual a 0 e, em seguida, construir a função quadrática original sem seu fator de alongamento.

$alt$

Observe que dois dos fatores do termo constante, 6, são os dois numeradores das raízes racionais originais: 2 e 3. Da mesma forma, dois dos fatores do coeficiente principal, 20, são os dois denominadores das raízes racionais originais: 5 e 4.

Podemos inferir que os numeradores das raízes racionais sempre serão fatores do termo constante e os denominadores serão fatores do coeficiente principal. Essa é a essência do Teorema do Zero Racional; é um meio de nos dar um conjunto de possíveis zeros racionais.

O TEOREMA DO ZERO RACIONAL

O Teorema do Zero Racional afirma que, se o polinômio$f(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+...+a_1x+a_0$ tiver coeficientes inteiros, todo zero racional de$f(x)$ tem a forma em$\frac{p}{q}$ que$p$ é um fator do termo constante$a_0$ e$q$ é um fator do coeficiente principal$a_n$.

Quando o coeficiente principal é 1, os possíveis zeros racionais são os fatores do termo constante.

Como: Dada uma função polinomial$f(x)$, use the Rational Zero Theorem to find rational zeros.

Determine todos os fatores do termo constante e todos os fatores do coeficiente principal.
Determine todos os valores possíveis de$\dfrac{p}{q}$, onde$p$ é um fator do termo constante e$q$ é um fator do coeficiente principal. Certifique-se de incluir candidatos positivos e negativos.
Determine quais zeros possíveis são zeros reais avaliando cada caso de$f(\frac{p}{q})$.

Exemplo$\PageIndex{3}$: Listing All Possible Rational Zeros

Liste todos os possíveis zeros racionais de$f(x)=2x^4−5x^3+x^2−4$.

Solução

Os únicos zeros racionais possíveis de$f(x)$ são os quocientes dos fatores do último termo, —4, e os fatores do coeficiente principal, 2.

O termo constante é —4; os fatores de —4 são$p=±1,±2,±4$.

O coeficiente principal é 2; os fatores de 2 são$q=±1,±2$.

Se qualquer um dos quatro zeros reais forem zeros racionais, eles serão de um dos seguintes fatores de —4 dividido por um dos fatores de 2.

\[\dfrac{p}{q}=±\dfrac{1}{1},±\dfrac{1}{2} \; \; \; \; \; \; \frac{p}{q}=±\dfrac{2}{1},±\dfrac{2}{2} \; \; \; \; \; \; \dfrac{p}{q}=±\dfrac{4}{1},±\dfrac{4}{2} \nonumber\]

Observe isso$\frac{2}{2}=1$ e$\frac{4}{2}=2$, que já foram listados. Assim, podemos encurtar nossa lista.

\[\dfrac{p}{q} = \dfrac{\text{Factors of the last}}{\text{Factors of the first}}=±1,±2,±4,±\dfrac{1}{2}\nonumber \]

Exemplo$\PageIndex{4}$: Using the Rational Zero Theorem to Find Rational Zeros

Use o Teorema do Zero Racional para encontrar os zeros racionais de$f(x)=2x^3+x^2−4x+1$.

Solução

O Teorema do Zero Racional nos diz que se$\frac{p}{q}$ é zero de$f(x)$, então$p$ é um fator de 1 e$q$ é um fator de 2.

\[ \begin{align*} \dfrac{p}{q}=\dfrac{factor\space of\space constant\space term}{factor\space of\space leading\space coefficient} \\[4pt] &=\dfrac{factor\space of\space 1}{factor\space of\space 2} \end{align*}\]

Os fatores de 1 são ±1 e os fatores de 2 são ±1 e ±2. Os valores possíveis para$\frac{p}{q}$ são ±1$±\frac{1}{2}$ e. Esses são os possíveis zeros racionais para a função. Podemos determinar quais dos zeros possíveis são zeros reais substituindo esses valores por$x$ in$f(x)$.

\[f(−1)=2{(−1)}^3+{(−1)}^2−4(−1)+1=4\]

\[f(1)=1{(1)}^3+{(1)}^2−4(1)+1=0\]

\[f(−\dfrac{1}{2})=2{(−\dfrac{1}{2})}^3+{(−\dfrac{1}{2})}^2−4(−\dfrac{1}{2})+1=3\]

\[f(\dfrac{1}{2})=2{(\dfrac{1}{2})}^3+{(\dfrac{1}{2})}^2−4(\dfrac{1}{2})+1=−\dfrac{1}{2}\]

Desses,$−1$$−\dfrac{1}{2}$, e não$\dfrac{1}{2}$ são zeros de$f(x)$. 1 é o único zero racional de$f(x)$.

Exercício$\PageIndex{3}$

Use o Teorema do Zero Racional para encontrar os zeros racionais de$f(x)=x^3−5x^2+2x+1$.

Responda: Não há zeros racionais.

Encontrando os zeros de funções polinomiais

O Teorema do Zero Racional nos ajuda a restringir a lista de possíveis zeros racionais para uma função polinomial. Depois de fazer isso, podemos usar a divisão sintética repetidamente para determinar todos os zeros de uma função polinomial.

Como: Dada uma função polinomial$f$, use synthetic division to find its zeros.

Use o Teorema do Zero Racional para listar todos os zeros racionais possíveis da função.
Use a divisão sintética para avaliar um determinado zero possível dividindo sinteticamente o candidato no polinômio. Se o restante for 0, o candidato será zero. Se o restante não for zero, descarte o candidato.
Repita a etapa dois usando o quociente encontrado com a divisão sintética. Se possível, continue até que o quociente seja quadrático.
Encontre os zeros da função quadrática. Dois métodos possíveis para resolver o quadrático são fatorar e usar a fórmula quadrática.

Exemplo$\PageIndex{5}$: Finding the Zeros of a Polynomial Function with Repeated Real Zeros

Encontre os zeros de$f(x)=4x^3−3x−1$.

Solução

O Teorema do Zero Racional nos diz que se$\dfrac{p}{q}$ é zero de$f(x)$, então$p$ é um fator de —1 e$q$ é um fator de 4.

\[\begin{align*}\dfrac{p}{q}=\dfrac{factor\space of\space constant\space term}{factor\space of\space leading\space coefficient} \\[4pt] =\dfrac{factor\space of\space -1}{factor\space of\space 4} \end{align*}\]

Os fatores de —1 são ±1 e os fatores de 4 são ±1, ±2 e ±4. Os valores possíveis para$\dfrac{p}{q}$ são$±1$$±\dfrac{1}{2}$,$±\dfrac{1}{4}$ e. Esses são os possíveis zeros racionais para a função. Usaremos a divisão sintética para avaliar cada zero possível até encontrarmos um que dê um restante de 0. Vamos começar com 1.

Dividir por$(x−1)$ dá um resto de 0, então 1 é um zero da função. O polinômio pode ser escrito como

\[(x−1)(4x^2+4x+1) \nonumber\]

O quadrático é um quadrado perfeito. $f(x)$pode ser escrito como

\[(x−1){(2x+1)}^2\nonumber\]

Já sabemos que 1 é zero. O outro zero terá uma multiplicidade de 2 porque o fator é quadrado. Para encontrar o outro zero, podemos definir o fator igual a 0.

\[ \begin{align*} 2x+1=0 \\[4pt] x &=−\dfrac{1}{2} \end{align*}\]

Os zeros da função são 1 e$−\frac{1}{2}$ com multiplicidade 2.

Análise

Veja o gráfico da função$f$ na Figura$\PageIndex{1}$. Observe que$x =−0.5$, em, o gráfico salta do eixo x, indicando a multiplicidade par (2,4,6...) para o zero −0,5. Em$x=1$, o gráfico cruza o eixo x, indicando a multiplicidade ímpar (1,3,5...) para o zero$x=1$.

Usando o Teorema Fundamental da Álgebra

Agora que podemos encontrar zeros racionais para uma função polinomial, veremos um teorema que discute o número de zeros complexos de uma função polinomial. O Teorema Fundamental da Álgebra nos diz que toda função polinomial tem pelo menos um zero complexo. Esse teorema forma a base para resolver equações polinomiais.

Suponha que$f$ seja uma função polinomial de grau quatro,$f (x)=0$ e. O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que há pelo menos uma solução complexa, chame-a$c_1$. Pelo Teorema do Fator, podemos escrever$f(x)$ como um produto$x−c_1$ e um quociente polinomial. Como$x−c_1$ é linear, o quociente polinomial será de grau três. Agora aplicamos o Teorema Fundamental da Álgebra ao quociente polinomial de terceiro grau. Ele terá pelo menos um zero complexo, chame-o$c_2$. Assim, podemos escrever o quociente polinomial como um produto de$x−c_2$ e um novo quociente polinomial de grau dois. Continue aplicando o Teorema Fundamental da Álgebra até que todos os zeros sejam encontrados. Haverá quatro deles e cada um produzirá um fator de$f(x)$.

O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que, se$f(x)$ for um polinômio de grau$n > 0$, então$f(x)$ tem pelo menos um complexo zero.

Podemos usar esse teorema para argumentar que, se$f(x)$ é um polinômio de grau$n >0$ e a é um número real diferente de zero, então$f(x)$ tem fatores exatamente$n$ lineares

\[f(x)=a(x−c_1)(x−c_2)...(x−c_n)\]

onde$c_1,c_2$,... ,$c_n$ são números complexos. Portanto,$f(x)$ tem$n$ raízes se permitirmos multiplicidades.

Perguntas e respostas: Cada polinômio tem pelo menos um zero imaginário?

Não. Os números reais são um subconjunto de números complexos, mas não o contrário. Um número complexo não é necessariamente imaginário. Os números reais também são números complexos.

Exemplo$\PageIndex{6}$: Finding the Zeros of a Polynomial Function with Complex Zeros

Encontre os zeros de$f(x)=3x^3+9x^2+x+3$.

Solução

O Teorema do Zero Racional nos diz que se$\frac{p}{q}$ é zero de$f(x)$, então$p$ é um fator de 3 e$q$ é um fator de 3.

Os fatores de 3 são ±1 e ±3. Os valores possíveis para e$\dfrac{p}{q}$, portanto, os possíveis zeros racionais para a função são ±3, ±1$±\dfrac{1}{3}$ e. Usaremos a divisão sintética para avaliar cada zero possível até encontrarmos um que dê um restante de 0. Vamos começar com —3.

Dividir por$(x+3)$ dá um resto de 0, então —3 é um zero da função. O polinômio pode ser escrito como

\[(x+3)(3x^2+1) \nonumber\]

Podemos então definir a quadrática igual a 0 e resolver para encontrar os outros zeros da função.

\[ \begin{align*} 3x^2+1=0 \\[4pt] x^2 &=−\dfrac{1}{3} \\[4pt] x&=±−\sqrt{\dfrac{1}{3}} \\[4pt] &=±\dfrac{i\sqrt{3}}{3} \end{align*}\]

Os zeros de$f(x)$ são$–3$$±\dfrac{i\sqrt{3}}{3}$ e.

Análise

Veja o gráfico da função$f$ na Figura$\PageIndex{2}$. Observe que, em$x =−3$, o gráfico cruza o eixo x, indicando uma multiplicidade ímpar (1) para o zero$x=–3$. Observe também a presença dos dois pontos de inflexão. Isso significa que, como existe um polinômio de$3^{rd}$ grau, estamos analisando o número máximo de pontos de inflexão. Portanto, o comportamento final de aumentar sem limite para a direita e diminuir sem limite para a esquerda continuará. Assim, todos os interceptos x da função são mostrados. Então, ou a multiplicidade de$x=−3$ é 1 e há duas soluções complexas, que é o que encontramos, ou a multiplicidade em$x =−3$ é três. De qualquer forma, nosso resultado está correto.

$\PageIndex{4}$

Encontre os zeros de$f(x)=2x^3+5x^2−11x+4$.

Solução

Os zeros são$–4$$\frac{1}{2}$,$1$ e.

Usando o teorema da fatoração linear para encontrar polinômios com zeros dados

Uma implicação vital do Teorema Fundamental da Álgebra, como afirmamos acima, é que uma função polinomial de grau n terá$n$ zeros no conjunto de números complexos, se permitirmos multiplicidades. Isso significa que podemos fatorar a função polinomial em$n$ fatores. O Teorema da Fatoração Linear nos diz que uma função polinomial terá o mesmo número de fatores que seu grau e que cada fator estará na forma$(x−c)$, onde c é um número complexo.

$f$Seja uma função polinomial com coeficientes reais, e suponha que$a +bi$,$b≠0$, seja um zero de$f(x)$. Então, pelo Teorema do Fator,$x−(a+bi)$ é um fator de$f(x)$. $f$Pois ter coeficientes reais, também$x−(a−bi)$ deve ser um fator de$f(x)$. Isso é verdade porque qualquer fator diferente de$x−(a−bi)$, quando multiplicado por$x−(a+bi)$, deixará componentes imaginários no produto. Somente a multiplicação com pares conjugados eliminará as partes imaginárias e resultará em coeficientes reais. Em outras palavras, se uma função polinomial$f$ com coeficientes reais tem um zero complexo$a +bi$, então o conjugado complexo também$a−bi$ deve ser um zero de$f(x)$. Isso é chamado de Teorema do Conjugado Complexo.

TEOREMA DO CONJUGADO COMPLEXO

De acordo com o Teorema da Fatoração Linear, uma função polinomial terá o mesmo número de fatores que seu grau, e cada fator estará na forma$(x−c)$, onde$c$ está um número complexo.

Se a função polinomial$f$ tem coeficientes reais e um zero complexo na forma$a+bi$, então o conjugado complexo do zero,$a−bi$, também é zero.

Como

Dados os zeros de uma função polinomial$f$ e um ponto$(c, f(c))$ no gráfico de$f$, use o Teorema da Fatoração Linear para encontrar a função polinomial.

Use os zeros para construir os fatores lineares do polinômio.
Multiplique os fatores lineares para expandir o polinômio.
Substitua$(c,f(c))$ na função para determinar o coeficiente principal.
Simplifique.

Exemplo$\PageIndex{7}$: Using the Linear Factorization Theorem to Find a Polynomial with Given Zeros

Encontre um polinômio de quarto grau com coeficientes reais que tenha zeros de$–3$,,$2$$i$, de tal forma que$f(−2)=100$.

Solução

Porque$x =i$ é um zero, pelo Teorema do Conjugado Complexo também$x =–i$ é um zero. O polinômio deve ter fatores de$(x+3),(x−2),(x−i)$,$(x+i)$ e. Como estamos procurando um polinômio de grau 4 e agora temos quatro zeros, temos todos os quatro fatores. Vamos começar multiplicando esses fatores.

\[\begin{align} f(x) & =a(x+3)(x−2)(x−i)(x+i) \\ f(x) & =a(x^2+x−6)(x^2+1) \\ f(x) & =a(x^4+x^3−5x^2+x−6) \end{align} \]

Precisamos encontrar$a$ para garantir$f(–2)=100$. Substitua$x=–2$ e$f (-2)=100$ entre$f (x)$.

\[\begin{align} 100=a({(−2)}^4+{(−2)}^3−5{(−2)}^2+(−2)−6) \\ 100=a(−20) \\ −5=a \end{align} \]

Portanto, a função polinomial é

\[f(x)=−5(x^4+x^3−5x^2+x−6)\]

\[f(x)=−5x^4−5x^3+25x^2−5x+30\] Análise

Descobrimos que ambos$i$$−i$ eram zeros, mas apenas um desses zeros precisava ser dado. Se$i$ for um zero de um polinômio com coeficientes reais, então também$−i$ deve ser um zero do polinômio porque$−i$ é o conjugado complexo de$i$.

PERGUNTAS E RESPOSTAS

Se$2+3i$ fosse dado como zero de um polinômio com coeficientes reais,$2−3i$ também precisaria ser zero?

Sim. Quando qualquer número complexo com um componente imaginário é dado como zero de um polinômio com coeficientes reais, o conjugado também deve ser um zero do polinômio.

$\PageIndex{5}$

Encontre um polinômio de terceiro grau com coeficientes reais que tenha zeros de$5$ e$−2i$ tal que$f (1)=10$.

Solução

$f(x)=−\frac{1}{2}x^3+\frac{5}{2}x^2−2x+10$

Usando a Regra de Sinais de Descartes

Existe uma maneira simples de determinar os números possíveis de zeros reais positivos e negativos para qualquer função polinomial. Se o polinômio for escrito em ordem decrescente, a Regra de Sinais de Descartes nos informa sobre uma relação entre o número de mudanças de sinal$f(x)$ e o número de zeros reais positivos. Por exemplo, a função polinomial abaixo tem uma mudança de sinal.

$CNX_Precalc_Figure_03_06_003.jpg$

Isso nos diz que a função deve ter 1 zero real positivo.

Há uma relação semelhante entre o número de mudanças de sinal$f(−x)$ e o número de zeros reais negativos.

$CNX_Precalc_Figure_03_06_004.jpg$

Nesse caso,$f(−x)$ tem 3 alterações de sinal. Isso nos diz que$f(x)$ pode ter 3 ou 1 zeros reais negativos.

A REGRA DOS SINAIS DE DESCARTES

De acordo com a Regra de Sinais de Descartes, se deixarmos$f(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+...+a_1x+a_0$ ser uma função polinomial com coeficientes reais:

O número de zeros reais positivos é igual ao número de alterações de sinal de$f(x)$ ou é menor do que o número de alterações de sinal de um número inteiro par.
O número de zeros reais negativos é igual ao número de alterações de sinal de$f(−x)$ ou é menor do que o número de alterações de sinal de um número inteiro par.

Exemplo$\PageIndex{8}$: Using Descartes’ Rule of Signs

Use a Regra de Sinais de Descartes para determinar os números possíveis de zeros reais positivos e negativos para$f(x)=−x^4−3x^3+6x^2−4x−12$.

Solução

Comece determinando o número de alterações nos sinais.

Há duas mudanças de sinais, então há 2 ou 0 raízes reais positivas. Em seguida, examinamos$f(−x)$ para determinar o número de raízes reais negativas.

\[ \begin{align} f(−x) & =−{(−x)}^4−3{(−x)}^3+6{(−x)}^2−4(−x)−12 \\ f(−x) & =−x^4+3x^3+6x^2+4x−12 \end{align} \]

$A função, f (-x) =-x^4+3x^3+6x^2+4x-12, tem dois sinais de mudança entre -x^4 e 3x^3, e 4x e -12. `$

Novamente, há duas mudanças de sinais, então há 2 ou 0 raízes reais negativas.

Existem quatro possibilidades, como podemos ver na Tabela$\PageIndex{1}$.

Tabela$\PageIndex{1}$
Zeros reais positivos	Zeros reais negativos	Zeros complexos	Total de zeros
2	2	0	4
2	0	2	4
0	2	2	4
0	0	4	4

Análise

Podemos confirmar o número de raízes reais positivas e negativas examinando um gráfico da função. Veja a Figura$\PageIndex{3}$. Podemos ver no gráfico que a função tem 0 raízes reais positivas e 2 raízes reais negativas.

Gráfico de f (x) =-x^4-3x^3+6x^2-4x-12 com interceptos x em -4,42 e -1. — Figura$\PageIndex{3}$.

$\PageIndex{6}$

Use a Regra de Sinais de Descartes para determinar o número máximo possível de zeros reais positivos e negativos para$f(x)=2x^4−10x^3+11x^2−15x+12$. Use um gráfico para verificar os números de zeros reais positivos e negativos para a função.

Solução

Deve haver 4, 2 ou 0 raízes reais positivas e 0 raízes reais negativas. O gráfico mostra que há 2 zeros reais positivos e 0 zeros reais negativos.

Resolvendo aplicativos do mundo real

Agora, introduzimos uma variedade de ferramentas para resolver equações polinomiais. Vamos usar essas ferramentas para resolver o problema da padaria desde o início da seção.

Exemplo$\PageIndex{9}$

Resolvendo equações polinomiais

Solução

Comece escrevendo uma equação para o volume do bolo. O volume de um sólido retangular é dado por$V=lwh$. Recebemos que o comprimento deve ser quatro polegadas maior que a largura, para que possamos expressar o comprimento do bolo como$l=w+4$. Fomos informados de que a altura do bolo é um terço da largura, então podemos expressar a altura do bolo como$h=\dfrac{1}{3}w$. Vamos escrever o volume do bolo em termos de largura do bolo.

\[V=(w+4)(w)(\dfrac{1}{3}w)\] \[V=\dfrac{1}{3}w^3+\dfrac{4}{3}w^2\]

Substitua o volume fornecido nessa equação.

$351=13w^3+43w^2$Substitua 351 por V. $1053=w^3+4w^2$ Multiplique os dois lados por 3. $0=w^3+7w^2−1053$Subtraia 1053 de ambos os lados.

A regra de signos de Descartes nos diz que há uma solução positiva. O Teorema do Zero Racional nos diz que os possíveis zeros racionais são$\pm 1,±3,±9,±13,±27,±39,±81,±117,±351,$$±1053$ e. Podemos usar a divisão sintética para testar esses possíveis zeros. Somente números positivos fazem sentido como dimensões de um bolo, então não precisamos testar nenhum valor negativo. Vamos começar testando valores que fazem mais sentido como dimensões para uma pequena folha de bolo. Use a divisão sintética para verificar$x=1$.

$alt$

Como 1 não é uma solução, verificaremos$x=3$.

$alt$

Como o 3 também não é uma solução, vamos testar$x=9$.

$alt$

A divisão sintética fornece um restante de 0, então 9 é uma solução para a equação. Podemos usar as relações entre a largura e as outras dimensões para determinar o comprimento e a altura da forma de bolo em forma de folha.

$l=w+4=9+4=13$e$h=\dfrac{1}{3}w=\dfrac{1}{3}(9)=3$

A forma de bolo em folha deve ter dimensões de 13 polegadas por 9 polegadas por 3 polegadas

$\PageIndex{7}$

Um contêiner de transporte em forma de sólido retangular deve ter um volume de 84 metros cúbicos. O cliente diz ao fabricante que, por causa do conteúdo, o comprimento do contêiner deve ser um metro maior que a largura e a altura deve ser um metro maior que o dobro da largura. Quais devem ser as dimensões do contêiner?

Solução

3 metros por 4 metros por 7 metros

Mídia

Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com zeros de funções polinomiais.

Conceitos-chave

Para encontrar$f(k)$, determine o restante do polinômio$f(x)$ quando ele for dividido por$x−k$. Isso é conhecido como Teorema do Restante. Veja o exemplo$\PageIndex{1}$.
De acordo com o Teorema do Fator,$k$ é um zero de$f(x)$ se e somente se$(x−k)$ é um fator de$f(x)$. Veja o exemplo$\PageIndex{2}$.
De acordo com o Teorema do Zero Racional, cada zero racional de uma função polinomial com coeficientes inteiros será igual a um fator do termo constante dividido por um fator do coeficiente principal. Veja o exemplo$\PageIndex{3}$ e o exemplo$\PageIndex{4}$.
Quando o coeficiente principal é 1, os possíveis zeros racionais são os fatores do termo constante.
A divisão sintética pode ser usada para encontrar os zeros de uma função polinomial. Veja o exemplo$\PageIndex{5}$.
De acordo com o Teorema Fundamental, toda função polinomial com grau maior que 0 tem pelo menos um zero complexo. Veja o exemplo$\PageIndex{6}$.
Permitindo multiplicidades, uma função polinomial terá o mesmo número de fatores que seu grau. Cada fator estará no formulário$(x−c)$, onde$c$ está um número complexo. Veja o exemplo$\PageIndex{7}$.
O número de zeros reais positivos de uma função polinomial é o número de mudanças de sinal da função ou menor que o número de alterações de sinal de um número inteiro par.
O número de zeros reais negativos de uma função polinomial é o número de alterações de sinal$f(−x)$ ou menor que o número de alterações de sinal de um número inteiro par. Veja o exemplo$\PageIndex{8}$.
As equações polinomiais modelam muitos cenários do mundo real. Resolver as equações é mais fácil por divisão sintética. Veja o exemplo$\PageIndex{9}$.

Glossário

A Regra dos Sinais de Descartes

uma regra que determina o número máximo possível de zeros reais positivos e negativos com base no número de alterações de sinal de$f(x)$ e$f(−x)$

Teorema do fator

$k$é um zero da função polinomial$f(x)$ se e somente se$(x−k)$ for um fator de$f(x)$

Teorema fundamental da álgebra

uma função polinomial com grau maior que 0 tem pelo menos um zero complexo

Teorema de fatoração linear

permitindo multiplicidades, uma função polinomial terá o mesmo número de fatores que seu grau, e cada fator estará na forma$(x−c)$, onde$c$ está um número complexo

Teorema do Zero Racional

os possíveis zeros racionais de uma função polinomial têm a forma$\frac{p}{q}$ em que$p$ é um fator do termo constante e$q$ é um fator do coeficiente principal.

Teorema do Restante

se um polinômio$f(x)$ for dividido por$x−k$, o restante será igual ao valor$f(k)$