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1.6: Expressões racionais

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    Objetivos de

    Nesta seção, os alunos irão:

    • Simplifique expressões racionais.
    • Multiplique expressões racionais.
    • Divida expressões racionais.
    • Adicione e subtraia expressões racionais.
    • Simplifique expressões racionais complexas.

    Uma confeitaria tem custos fixos\($280\) por semana e custos variáveis\($9\) por caixa de doces. Os custos semanais da loja em termos de\(x\), o número de caixas feitas, são\(280 +9x\). Podemos dividir os custos por semana pelo número de caixas feitas para determinar o custo por caixa de doces.

    \[\dfrac{280+9x}{x} \nonumber \]

    Observe que o resultado é uma expressão polinomial dividida por uma segunda expressão polinomial. Nesta seção, exploraremos quocientes de expressões polinomiais.

    Simplificando expressões racionais

    O quociente de duas expressões polinomiais é chamado de expressão racional. Podemos aplicar as propriedades das frações a expressões racionais, como simplificar as expressões cancelando fatores comuns do numerador e do denominador. Para fazer isso, primeiro precisamos fatorar o numerador e o denominador. Vamos começar com a expressão racional mostrada.

    \[\dfrac{x^2+8x+16}{x^2+11x+28} \nonumber \]

    Podemos fatorar o numerador e o denominador para reescrever a expressão.

    \[\dfrac{{(x+4)}^2}{(x+4)(x+7)} \nonumber \]

    Então, podemos simplificar essa expressão cancelando o fator comum\((x+4)\).

    \[\dfrac{x+4}{x+7} \nonumber \]

    Como fazer: Dada uma expressão racional, simplifique-a
    1. Fator o numerador e o denominador.
    2. Cancele quaisquer fatores comuns.
    Exemplo\(\PageIndex{1}\): Simplifying Rational Expressions

    Simplifique\(\dfrac{x^2-9}{x^2+4x+3}\)

    Solução

    \[\begin{align*} &\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x+1)} && \text{Factor the numerator and the denominator}\\ &\dfrac{x-3}{x+1} && \text{Cancel common factor } (x+3) \end{align*}\]

    Análise

    Podemos cancelar o fator comum porque qualquer expressão dividida por si só é igual\(1\) a.

    PERGUNTAS E RESPOSTAS

    O\(x^2\) prazo pode ser cancelado no último exemplo?

    Não. Um fator é uma expressão que é multiplicada por outra expressão. O\(x^2\) termo não é um fator do numerador ou do denominador.

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Simplifique\(\dfrac{x-6}{x^2-36}\)

    Responda

    \(\dfrac{1}{x+6}\)

    Multiplicação de expressões racionais

    A multiplicação de expressões racionais funciona da mesma forma que a multiplicação de quaisquer outras frações. Multiplicamos os numeradores para encontrar o numerador do produto e, em seguida, multiplicamos os denominadores para encontrar o denominador do produto. Antes de multiplicar, é útil fatorar os numeradores e denominadores da mesma forma que fizemos ao simplificar expressões racionais. Muitas vezes, somos capazes de simplificar o produto de expressões racionais.

    Como: Dadas duas expressões racionais, multiplique-as
    1. Fator o numerador e o denominador.
    2. Multiplique os numeradores.
    3. Multiplique os denominadores.
    4. Simplifique.
    Exemplo\(\PageIndex{2}\): Multiplying Rational Expressions

    Multiplique as expressões racionais e mostre o produto na forma mais simples:

    \(\dfrac{(x+5)(x-1)}{3(x+6)}\times\dfrac{(2x-1)}{(x+5)}\)

    Solução

    \[\begin{align*} &\dfrac{(x+5)(x-1)}{3(x+6)}\times\dfrac{(2x-1)}{(x+5)} && \text{Factor the numerator and denominator.}\\[4pt] &\dfrac{(x+5)(x-1)(2x-1)}{3(x+6)(x+5)} && \text{Multiply numerators and denominators}\\[4pt] &\dfrac{(x-1)(2x-1)}{3(x+6)} && \text{Cancel common factors to simplify} \end{align*}\]

    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    Multiplique as expressões racionais e mostre o produto na forma mais simples:

    \(\dfrac{x^2+11x+30}{x^2+5x+6}\times\dfrac{x^2+7x+12}{x^2+8x+16}\)

    Responda

    \(\dfrac{(x+5)(x+6)}{(x+2)(x+4)}\)

    Dividindo expressões racionais

    A divisão de expressões racionais funciona da mesma forma que a divisão de outras frações. Para dividir uma expressão racional por outra expressão racional, multiplique a primeira expressão pela recíproca da segunda. Usando essa abordagem, reescreveríamos\(\dfrac{1}{x}÷\dfrac{x^2}{3}\) como o produto\(\dfrac{1}{x}⋅\dfrac{3}{x^2}\). Uma vez que a expressão de divisão tenha sido reescrita como uma expressão de multiplicação, podemos multiplicar como fizemos antes.

    \[\dfrac{1}{x}⋅\dfrac{3}{x^2}=\dfrac{3}{x^3} \nonumber \]

    Como: Dadas duas expressões racionais, divida-as
    1. Reescreva como a primeira expressão racional multiplicada pelo inverso da segunda.
    2. Fatore os numeradores e denominadores.
    3. Multiplique os numeradores.
    4. Multiplique os denominadores.
    5. Simplifique.
    Exemplo\(\PageIndex{3}\): Dividing Rational Expressions

    Divida as expressões racionais e expresse o quociente na forma mais simples:

    \(\dfrac{2x^2+x-6}{x^2-1}÷\dfrac{x^2-4}{x^2+2x+1}\)

    Solução

    \ [\ begin {align*} &\ dfrac {2x^2+x-6} {x^2-1} ÷\ dfrac {x^2-4} {x^2+2x+1}\\ [4pt]
    &\ dfrac {2x^2+x-6} {x^2-1}\ times\ dfrac {x^2+2x+1} {x^2-4} &&\ text {Reescrever como um problema de multiplicação}\\ [4pt]
    &\ dfrac {(2x-3) (x+2)} {(x-1) (x+1)}\ times\ dfrac {(x+1) (x+1)} {(x-2) (x+2)} &&\ text {Fatize o numerador e o denominador.}\\ [6pt]
    &\ dfrac {(2x-3) (x+2) (x+1) (x+1)} {(x-1) (x+1) (x-2) (x+2)} &&\ text {Multiplique numeradores e denominadores}\\ [6pt]
    &\ dfrac {(2x-3) (x+1)} {(x-1) (x-2)} &&\ text {Cancelar fatores comuns para simplificar}\ end {align*}\]

    Exercício\(\PageIndex{3}\)

    Divida as expressões racionais e expresse o quociente na forma mais simples:

    \[\dfrac{9x^2-16}{3x^2+17x-28}÷\dfrac{3x^2-2x-8}{x^2+5x-14} \nonumber \]

    Responda

    \(0\)

    Adicionando e subtraindo expressões racionais

    Adicionar e subtrair expressões racionais funciona da mesma forma que somar e subtrair frações numéricas. Para somar frações, precisamos encontrar um denominador comum. Vejamos um exemplo de adição de frações.

    \[\begin{align*} \dfrac{5}{24}+\dfrac{1}{40} &= \dfrac{25}{120}+\dfrac{3}{120}\\ &= \dfrac{28}{120}\\ &= \dfrac{7}{30} \end{align*}\]

    Temos que reescrever as frações para que elas compartilhem um denominador comum antes de podermos adicionar. Devemos fazer a mesma coisa ao adicionar ou subtrair expressões racionais.

    O denominador comum mais fácil de usar será o denominador menos comum, ou LCD. O LCD é o menor múltiplo que os denominadores têm em comum. Para encontrar o LCD de duas expressões racionais, fatoramos as expressões e multiplicamos todos os fatores distintos. Por exemplo, se os denominadores fatorados fossem\((x+3)(x+4)\) e\((x+4)(x+5)\), então o LCD seria\((x+3)(x+4)(x+5)\).

    Depois de encontrarmos o LCD, precisamos multiplicar cada expressão pela forma\(1\) que mudará o denominador para o LCD. Precisaríamos multiplicar a expressão por um denominador de\((x+3)(x+4)\) por\(\dfrac{x+5}{x+5}\) e a expressão com um denominador de\((x+4)(x+5)\) por\(\dfrac{x+3}{x+3}\).

    Como: Dadas duas expressões racionais, some-as ou subtraia-as
    1. Fator o numerador e o denominador.
    2. Encontre o LCD das expressões.
    3. Multiplique as expressões por uma forma de 1 que altere os denominadores para o LCD.
    4. Adicione ou subtraia os numeradores.
    5. Simplifique.
    Exemplo\(\PageIndex{4}\): Adding Rational Expressions

    Adicione as expressões racionais:\[\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{y} \nonumber \]

    Solução

    Primeiro, temos que encontrar o LCD. Nesse caso, o LCD será\(xy\). Em seguida, multiplicamos cada expressão pela forma apropriada de\(1\) para obter\(xy\) como denominador para cada fração.

    \[\begin{align*} &\dfrac{5}{x}\times\dfrac{y}{y}+\dfrac{6}{y}\times\dfrac{x}{x}\\ &\dfrac{5y}{xy}+\dfrac{6x}{xy} \end{align*}\]

    Agora que as expressões têm o mesmo denominador, simplesmente adicionamos os numeradores para encontrar a soma.

    \[\dfrac{6x+5y}{xy} \nonumber \]

    Análise

    Multiplicar por\(\dfrac{y}{y}\) ou\(\dfrac{x}{x}\) não altera o valor da expressão original porque qualquer número dividido por si mesmo é\(1\), e multiplicar uma expressão por\(1\) dá a expressão original.

    Exemplo\(\PageIndex{5}\): Subtracting Rational Expressions

    Subtraia as expressões racionais:\[\dfrac{6}{x^2+4x+4}-\dfrac{2}{x^2-4}\]

    Solução

    \ [\ begin {align*}
    &\ dfrac {6}

    ParseError: EOF expected (click for details)
    Callstack:
        at (Idioma_Portugues/Livro:_Álgebra_e_Trigonometria_(OpenStax)/01:_Pré-requisitos/1.06:_Expressões_racionais), /content/body/div[5]/div[3]/div/p[3]/span, line 1, column 6
    
    {(x+2) (x-2)}\ times\ dfrac {x+2} {x+2} &&\ text {Multiplique cada fração para obter LCD como denominador}\\
    &\ dfrac {6 (x- 2)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} -\ dfrac {2 (x+2)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} &&\ text {Multiplique}\\
    &\ dfrac {6x-12- (2x+4)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} &&\ text {Aplicar distribuição propriedade ativa}\\
    &\ dfrac {4x-16} {{(x+2)} ^2 (x-2)} &&\ text {Subtrair}\\
    &\ dfrac {4 (x-4)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} &&\ text {Simplifique}
    \ end {align*}\]

    PERGUNTAS E RESPOSTAS

    Precisamos usar o LCD para adicionar ou subtrair expressões racionais?

    Não. Qualquer denominador comum funcionará, mas é mais fácil usar o LCD.

    Exercício\(\PageIndex{4}\)

    Subtraia as expressões racionais:\(\dfrac{3}{x+5}-\dfrac{1}{x-3}\)

    Responda

    \(\dfrac{2(x-7)}{(x+5)(x-3)}\)

    Simplificando expressões racionais complexas

    Uma expressão racional complexa é uma expressão racional que contém expressões racionais adicionais no numerador, no denominador ou em ambos. Podemos simplificar expressões racionais complexas reescrevendo o numerador e o denominador como expressões racionais simples e dividindo. A expressão racional complexa\(\dfrac{a}{\dfrac{1}{b}+c}\) pode ser simplificada reescrevendo o numerador como a fração\(\dfrac{a}{1}\) e combinando as expressões no denominador como\(\dfrac{1+bc}{b}\). Podemos então reescrever a expressão como um problema de multiplicação usando o inverso do denominador. Nós obtemos\(\dfrac{a}{1}⋅\dfrac{b}{1+bc}\), o que é igual\(\dfrac{ab}{1+bc}\) a.

    Como fazer: Dada uma expressão racional complexa, simplifique-a
    1. Combine as expressões no numerador em uma única expressão racional adicionando ou subtraindo.
    2. Combine as expressões no denominador em uma única expressão racional adicionando ou subtraindo.
    3. Reescreva como o numerador dividido pelo denominador.
    4. Reescreva como multiplicação.
    5. Multiplique.
    6. Simplifique.
    Exemplo\(\PageIndex{6}\): Simplifying Complex Rational Expressions

    Simplifique:\(\dfrac{y+\dfrac{1}{x}}{\dfrac{x}{y}}\)

    Solução

    Comece combinando as expressões no numerador em uma expressão.

    \[\begin{align*} &y\times\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}\qquad \text{Multiply by } \dfrac{x}{x} \text{ to get LCD as denominator}\\ &\dfrac{xy}{x}+\dfrac{1}{x}\\ &\dfrac{xy+1}{x}\qquad \text{Add numerators} \end{align*}\]

    Agora, o numerador é uma única expressão racional e o denominador é uma única expressão racional.

    \[\begin{align*} &\dfrac{\dfrac{xy+1}{x}}{\dfrac{x}{y}}\\ \text{We can rewrite this as division, and then multiplication.}\\ &\dfrac{xy+1}{x}÷\dfrac{x}{y}\\ &\dfrac{xy+1}{x}\times\dfrac{y}{x}\qquad \text{Rewrite as multiplication}\\ &\dfrac{y(xy+1)}{x^2}\qquad \text{Multiply} \end{align*}\]

    Exercício\(\PageIndex{5}\)

    Simplifique:\(\dfrac{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}}{y}\)

    Responda

    \(\dfrac{x^2-y^2}{xy^2}\)

    PERGUNTAS E RESPOSTAS

    Uma expressão racional complexa sempre pode ser simplificada?

    Sim. Sempre podemos reescrever uma expressão racional complexa como uma expressão racional simplificada.

    Mídia

    Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com expressões racionais.

    1. Simplifique expressões racionais

    2. Multiplique e divida expressões racionais

    3. Adicionar e subtrair expressões racionais

    4. Simplifique uma fração complexa

    Conceitos-chave

    • As expressões racionais podem ser simplificadas cancelando fatores comuns no numerador e no denominador. Veja o exemplo.
    • Podemos multiplicar expressões racionais multiplicando os numeradores e multiplicando os denominadores. Veja o exemplo.
    • Para dividir expressões racionais, multiplique pelo inverso da segunda expressão. Veja o exemplo.
    • Adicionar ou subtrair expressões racionais requer encontrar um denominador comum. Veja o exemplo e o exemplo.
    • Expressões racionais complexas têm frações no numerador ou no denominador. Essas expressões podem ser simplificadas. Veja o exemplo.