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9.4: Resistividade e resistência

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    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Diferencie entre resistência e resistividade
    • Defina o termo condutividade
    • Descreva o componente elétrico conhecido como resistor
    • Declare a relação entre a resistência de um resistor e seu comprimento, área da seção transversal e resistividade
    • Declare a relação entre resistividade e temperatura

    O que impulsiona a corrente? Podemos pensar em vários dispositivos, como baterias, geradores, tomadas de parede e assim por diante, que são necessários para manter a corrente. Todos esses dispositivos criam uma diferença de potencial e são chamados de fontes de tensão. Quando uma fonte de tensão é conectada a um condutor, ela aplica uma diferença de potencial V que cria um campo elétrico. O campo elétrico, por sua vez, exerce força sobre cargas livres, causando corrente. A quantidade de corrente depende não apenas da magnitude da tensão, mas também das características do material pelo qual a corrente está fluindo. O material pode resistir ao fluxo das cargas, e a medida de quanto um material resiste ao fluxo de cargas é conhecida como resistividade. Essa resistividade é grosseiramente análoga ao atrito entre dois materiais que resistem ao movimento.

    Resistividade

    Quando uma tensão é aplicada a um condutor, um campo elétrico\(\vec{E}\) é criado e as cargas no condutor sentem uma força devido ao campo elétrico. A densidade\(\vec{J}\) de corrente resultante depende do campo elétrico e das propriedades do material. Essa dependência pode ser muito complexa. Em alguns materiais, incluindo metais a uma determinada temperatura, a densidade da corrente é aproximadamente proporcional ao campo elétrico. Nesses casos, a densidade de corrente pode ser modelada como

    \[\vec{J} = \sigma \vec{E},\]

    onde\(\sigma\) está a condutividade elétrica. A condutividade elétrica é análoga à condutividade térmica e é uma medida da capacidade de um material de conduzir ou transmitir eletricidade. Os condutores têm uma maior condutividade elétrica do que os isoladores. Como a condutividade elétrica é\(\sigma = J/E\), as unidades são

    \[\sigma = \dfrac{|J|}{|E|} = \dfrac{A/m^2}{V/m} = \dfrac{A}{V \cdot m}.\]

    Aqui, definimos uma unidade chamada ohm com o símbolo grego ômega maiúsculo,\(\Omega\). A unidade tem o nome de Georg Simon Ohm, que discutiremos mais adiante neste capítulo. O\(\Omega\) é usado para evitar confusão com o número 0. Um ohm é igual a um volt por amplificador:\(1 \, \Omega = 1 \, V/A\). As unidades de condutividade elétrica são, portanto,\((\Omega \cdot m)^{-1}\).

    A condutividade é uma propriedade intrínseca de um material. Outra propriedade intrínseca de um material é a resistividade, ou resistividade elétrica. A resistividade de um material é uma medida de quão fortemente um material se opõe ao fluxo de corrente elétrica. O símbolo da resistividade é a letra minúscula grega rho,\(\rho\), e a resistividade é o inverso da condutividade elétrica:

    \[\rho = \dfrac{1}{\sigma}.\]

    A unidade de resistividade em unidades SI é o ohmímetro\((\Omega \cdot m\). Podemos definir a resistividade em termos do campo elétrico e da densidade da corrente.

    \[\rho = \dfrac{E}{J}.\]

    Quanto maior a resistividade, maior o campo necessário para produzir uma determinada densidade de corrente. Quanto menor a resistividade, maior a densidade de corrente produzida por um determinado campo elétrico. Bons condutores têm alta condutividade e baixa resistividade. Bons isoladores têm baixa condutividade e alta resistividade. A tabela\(\PageIndex{1}\) lista os valores de resistividade e condutividade para vários materiais.

    Tabela\(\PageIndex{1}\): Resistividades e condutividades de vários materiais a 20 °C [1] Os valores dependem fortemente das quantidades e tipos de impurezas.
    Material Condutividade,\(\sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) Resistividade,\(\rho\)\((\Omega \cdot m)\) Coeficiente de temperatura\(\alpha\)\((^oC)^{-1}\)
    Condutores
    Prata \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(6.29 \times 10^7\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(1.59 \times 10^{-8}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">0,0038
    Cobre \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(5.95 \times 10^7\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(1.68 \times 10^{-8}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">0,0039
    Ouro \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(4.10 \times 10^7\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(2.44 \times 10^{-8}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">0,0034
    Alumínio \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(3.77 \times 10^7\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(2.65 \times 10^{-8}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">0,0039
    Tungstênio \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(1.79 \times 10^7\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(5.60 \times 10^{-8}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">0,0045
    Ferro \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(1.03 \times 10^7\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(9.71 \times 10^{-8}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">0,0065
    Platina \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(0.94 \times 10^7\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(10.60 \times 10^{-8}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">0,0039
    Aço \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(0.50 \times 10^7\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(20.00 \times 10^{-8}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">
    Liderar \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(0.45 \times 10^7\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(22.00 \times 10^{-8}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">
    Manganina (copo, Mn. Ni (liga) \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(0.21 \times 10^7\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(48.20 \times 10^{-8}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">0.000002
    Constantan (liga de cobre, Ni) \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(0.20 \times 10^7\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(49.00 \times 10^{-8}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">0.00003
    Mercúrio \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(0.10 \times 10^7\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(98.00 \times 10^{-8}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">0.0009
    Nicromo (liga de Ni, Fe, Cr) \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(0.10 \times 10^7\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(100.00 \times 10^{-8}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">0.0004
    Semicondutores [1]
    Carbono (puro) \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(2.86 \times 10^{4}\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(3.50 \times 10^{-5}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">-0.0005
    Carbono \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\((2.86 - 1.67) \times 10^{-6}\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\((3.5 - 60) \times 10^{-5}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">-0.0005
    Germânio (puro) \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402"> \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(600 \times 10^{-3}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">-0.048
    Germânio \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402"> \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\((1 - 600) \times 10^{-3}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">-0.050
    Silício (puro) \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402"> \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">2300 \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">-0,075
    Silício \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402"> \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">0,1 - 2300 \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">-0,07
    Isoladores
    Âmbar \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(2.00 \times 10^{-15}\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(5 \times 10^{14}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">
    Vidro \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(10^{-9} - 19^{-14}\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(10^9 - 10^{14}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">
    Lucite \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(< 10^{-13}\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(> 10^{13}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">
    Mica \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(10^{-11} - 10^{-15}\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(10^{11} - 10^{15}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">
    Quartzo (fundido) \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(1.33 \times 10^{-18}\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(75 \times 10^{16}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">
    Borracha (dura) \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(10^{-13} - 10^{-16}\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(10^{13} - 10^{16}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">
    Enxofre \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(10^{-15}\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(10^{15}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">
    Teflon TM \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(< 10^{-13}\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(> 10^{13}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">
    Madeira \ (\ sigma\)\((\Omega \cdot m)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(10^{-8} - 10^{-11}\) \ (\ rho\)\((\Omega \cdot m)\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">\(10^8 - 10^{11}\) \ (\ alpha\)\((^oC)^{-1}\) CondutoresSemicondutores [1] Isoladores” class="lt-phys-4402">

    Os materiais listados na tabela são separados em categorias de condutores, semicondutores e isoladores, com base em amplos agrupamentos de resistividade. Os condutores têm a menor resistividade e os isoladores têm a maior; os semicondutores têm resistividade intermediária. Os condutores têm densidades de carga livre variadas, mas grandes, enquanto a maioria das cargas nos isoladores está ligada a átomos e não é livre para se mover. Os semicondutores são intermediários, com muito menos cargas livres do que os condutores, mas com propriedades que fazem com que o número de cargas livres dependa fortemente do tipo e da quantidade de impurezas no semicondutor. Essas propriedades únicas dos semicondutores são usadas na eletrônica moderna, como exploraremos nos capítulos posteriores.

    Exemplo\(\PageIndex{1}\): Current Density, Resistance, and Electrical field for a Current-Carrying Wire

    Calcule a densidade de corrente, resistência e campo elétrico de um fio de cobre de 5 m de comprimento com um diâmetro de 2,053 mm (calibre 12) carregando uma corrente de\(I - 10 \, mA\).

    Estratégia

    Podemos calcular a densidade da corrente encontrando primeiro a área da seção transversal do fio, ou seja\(A = 3.31 \, mm^2\), e a definição da densidade da corrente\(J = \dfrac{I}{A}\). A resistência pode ser encontrada usando o comprimento do fio\(L = 5.00 \, m\), a área e a resistividade do cobre\(\rho = 1.68 \times 10^{-8} \Omega \cdot m\), onde\(R = \rho \dfrac{L}{A}\). A resistividade e a densidade da corrente podem ser usadas para encontrar o campo elétrico.

    Solução

    Primeiro, calculamos a densidade atual:

    \[\begin {align*} J &= \dfrac{I}{A} \\[5pt] &= \dfrac{10 \times 10^{-3} A}{3.31 \times 10^{-6} m^2} \\[5pt] &= 3.02 \times 10^3 \dfrac{A}{m^2}. \end{align*}\]

    A resistência do fio é

    \[\begin {align*}R &= \rho \dfrac{L}{A} \\[5pt] &= (1.68 \times 10^{-8} \Omega \cdot m) \dfrac{5.00 \, m}{3.31 \times 10^{-6}m^2} \\[5pt] &= 0.025 \, \Omega.\end{align*}\]

    Finalmente, podemos encontrar o campo elétrico:

    \[\begin {align*}E &= \rho J \\[5pt] &= 1.68 \times 10^{-8} \Omega \cdot m \left(3.02 \times 10^3 \dfrac{A}{m^2}\right) \\[5pt] &= 5.07 \times 10^{-5} \dfrac{V}{m}.\end{align*}\]

    Significância

    A partir desses resultados, não é surpreendente que o cobre seja usado para fios para transportar corrente porque a resistência é muito pequena. Observe que a densidade da corrente e o campo elétrico são independentes do comprimento do fio, mas a tensão depende do comprimento.

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Os fios de cobre são usados rotineiramente para cabos de extensão e fiação doméstica por vários motivos. O cobre tem a maior classificação de condutividade elétrica e, portanto, a menor classificação de resistividade de todos os metais não preciosos. Também é importante a resistência à tração, onde a resistência à tração é uma medida da força necessária para puxar um objeto até o ponto em que ele se rompe. A resistência à tração de um material é a quantidade máxima de tensão de tração que ele pode suportar antes de quebrar. O cobre tem uma alta resistência à tração,\(2 \times 10^8 \, \dfrac{N}{m^2}\). Uma terceira característica importante é a ductilidade. A ductilidade é uma medida da capacidade de um material ser arrastado para os fios e uma medida da flexibilidade do material, e o cobre tem uma alta ductilidade. Resumindo, para que um condutor seja um candidato adequado para a fabricação de fios, existem pelo menos três características importantes: baixa resistividade, alta resistência à tração e alta ductilidade. Quais outros materiais são usados para fiação e quais são as vantagens e desvantagens?

    Resposta

    Prata, ouro e alumínio são todos usados para fazer fios. Todos os quatro materiais têm uma alta condutividade, sendo a prata a mais alta. Todos os quatro podem ser facilmente colocados nos fios e têm uma alta resistência à tração, embora não tão alta quanto o cobre. A desvantagem óbvia do ouro e da prata é o custo, mas os fios de prata e ouro são usados para aplicações especiais, como fios de alto-falante. O ouro não oxida, fazendo melhores conexões entre os componentes. Os fios de alumínio têm suas desvantagens. O alumínio tem uma resistividade maior do que o cobre, portanto, um diâmetro maior é necessário para corresponder à resistência por comprimento dos fios de cobre, mas o alumínio é mais barato que o cobre, então isso não é uma grande desvantagem. Os fios de alumínio não têm uma ductilidade e resistência à tração tão altas quanto o cobre, mas a ductilidade e a resistência à tração estão dentro de níveis aceitáveis. Existem algumas preocupações que devem ser abordadas ao usar o alumínio e é preciso ter cuidado ao fazer as conexões. O alumínio tem uma taxa de expansão térmica maior do que o cobre, o que pode levar a conexões soltas e a um possível risco de incêndio. A oxidação do alumínio não conduz e pode causar problemas. Técnicas especiais devem ser usadas ao usar fios e componentes de alumínio, como tomadas elétricas, devem ser projetados para aceitar fios de alumínio.

    PhET

    Veja esta simulação interativa para ver quais são os efeitos da área da seção transversal, do comprimento e da resistividade de um fio na resistência de um condutor. Ajuste as variáveis usando barras deslizantes e veja se a resistência fica menor ou maior.

    Dependência de temperatura da resistividade

    Olhando para a Tabela\(\PageIndex{1}\), você verá uma coluna chamada “Coeficiente de temperatura”. A resistividade de alguns materiais tem uma forte dependência da temperatura. Em alguns materiais, como o cobre, a resistividade aumenta com o aumento da temperatura. Na verdade, na maioria dos metais condutores, a resistividade aumenta com o aumento da temperatura. O aumento da temperatura causa aumento das vibrações dos átomos na estrutura da rede dos metais, o que impede o movimento dos elétrons. Em outros materiais, como o carbono, a resistividade diminui com o aumento da temperatura. Em muitos materiais, a dependência é aproximadamente linear e pode ser modelada usando uma equação linear:

    \[\rho \approx \rho_0 [1 + \alpha (T - T_0)],\]

    onde\(\rho\) está a resistividade do material à temperatura T,\(\alpha\) é o coeficiente de temperatura do material e\(\rho_0\) é a resistividade em\(T_0\), geralmente considerada como\(T_0 = 20.00^oC\).

    Observe também que o coeficiente de temperatura\(\alpha\) é negativo para os semicondutores listados na Tabela\(\PageIndex{1}\), o que significa que sua resistividade diminui com o aumento da temperatura. Eles se tornam melhores condutores em temperaturas mais altas, porque o aumento da agitação térmica aumenta o número de cargas gratuitas disponíveis para transportar a corrente. Essa propriedade de diminuir\(\rho\) com a temperatura também está relacionada ao tipo e quantidade de impurezas presentes nos semicondutores.

    Resistência

    Agora, consideramos a resistência de um fio ou componente. A resistência é uma medida de quão difícil é passar a corrente através de um fio ou componente. A resistência depende da resistividade. A resistividade é uma característica do material usado para fabricar um fio ou outro componente elétrico, enquanto a resistência é uma característica do fio ou componente.

    Para calcular a resistência, considere uma seção de fio condutor com área transversal A, comprimento L e resistividade\(\rho\). Uma bateria é conectada ao condutor, fornecendo uma diferença de potencial\(\Delta V\) entre ela (Figura\(\PageIndex{1}\)). A diferença de potencial produz um campo elétrico proporcional à densidade da corrente, de acordo com\(\vec{E} = \rho \vec{J}\).

    A imagem é um desenho esquemático de uma bateria conectada a um condutor com a área da seção transversal A. A corrente flui do lado de alto potencial para o lado de baixo potencial do condutor.
    Figura\(\PageIndex{1}\): Um potencial fornecido por uma bateria é aplicado a um segmento de um condutor com uma área de seção transversal\(A\) e um comprimento\(L\).

    A magnitude do campo elétrico no segmento do condutor é igual à tensão dividida pelo comprimento e a magnitude da densidade da corrente é igual à corrente dividida pela área da seção transversal\(J = I/A\).\(E = V/L\) Usando essas informações e lembrando que o campo elétrico é proporcional à resistividade e à densidade da corrente, podemos ver que a tensão é proporcional à corrente:

    \[\begin{align*} E &= \rho J \\[4pt] \dfrac{V}{L} &= \rho \dfrac{I}{A} \\[4pt] V &= \left(\rho \dfrac{L}{A}\right) I. \end{align*}\]

    Definição: Resistência

    A relação entre a tensão e a corrente é definida como a resistência\(R\):

    \[R \equiv \dfrac{V}{I}.\]

    A resistência de um segmento cilíndrico de um condutor é igual à resistividade do material vezes o comprimento dividido pela área:

    \[R \equiv \dfrac{V}{I} = \rho \dfrac{L}{A}.\]

    A unidade de resistência é o ohm,\(\Omega\). Para uma determinada tensão, quanto maior a resistência, menor a corrente.

    Resistores

    Um componente comum em circuitos eletrônicos é o resistor. O resistor pode ser usado para reduzir o fluxo de corrente ou fornecer uma queda de tensão. A figura\(\PageIndex{2}\) mostra os símbolos usados para um resistor em diagramas esquemáticos de um circuito. Dois padrões comumente usados para diagramas de circuitos são fornecidos pelo Instituto Nacional de Padrões Americanos (ANSI, pronunciado “An-See”) e pela Comissão Eletrotécnica Internacional (IEC). Ambos os sistemas são comumente usados. Usamos o padrão ANSI neste texto para seu reconhecimento visual, mas notamos que, para circuitos maiores e mais complexos, o padrão IEC pode ter uma apresentação mais limpa, facilitando a leitura.

    A Figura A mostra o símbolo ANSI para um resistor. A Figura B mostra o símbolo IEC para um resistor.
    Figura\(\PageIndex{2}\): Símbolos de um resistor usado em diagramas de circuitos. (a) O símbolo ANSI; (b) o símbolo IEC.

    Dependência da resistência entre material e forma

    Um resistor pode ser modelado como um cilindro com uma área de seção transversal A e um comprimento L, feito de um material com resistividade\(\rho\) (Figura\(\PageIndex{3}\)). A resistência do resistor é\(R = \rho \dfrac{L}{A}\)

    A imagem é um desenho esquemático de um resistor. É um cilindro uniforme de comprimento L e área de seção transversal A.
    Figura\(\PageIndex{3}\): Um modelo de um resistor como um cilindro uniforme de comprimento L e área de seção transversal A. Sua resistência ao fluxo de corrente é análoga à resistência de um tubo ao fluxo de fluido. Quanto maior o cilindro, maior sua resistência. Quanto maior a área da seção transversal A, menor será sua resistência.

    O material mais comum usado para fazer um resistor é o carbono. Uma trilha de carbono é enrolada em torno de um núcleo de cerâmica e dois cabos de cobre são conectados. Um segundo tipo de resistor é o resistor de filme metálico, que também tem um núcleo de cerâmica. A trilha é feita de um material de óxido metálico, que tem propriedades semicondutoras semelhantes às do carbono. Novamente, cabos de cobre são inseridos nas extremidades do resistor. O resistor é então pintado e marcado para identificação. Um resistor tem quatro faixas coloridas, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{4}\).

    A imagem é um desenho esquemático de um resistor. Ele contém quatro faixas coloridas: vermelho, preto, verde e cinza.
    Figura\(\PageIndex{4}\): Muitos resistores se assemelham à figura mostrada acima. As quatro bandas são usadas para identificar o resistor. As duas primeiras faixas coloridas representam os dois primeiros dígitos da resistência do resistor. A terceira cor é o multiplicador. A quarta cor representa a tolerância do resistor. O resistor mostrado tem uma resistência de\(20 \times 10^5 \, \Omega \pm 10\%\)

    As resistências variam em várias ordens de magnitude. Alguns isoladores cerâmicos, como os usados para suportar linhas de energia, têm resistências iguais\(10^{12} \, \Omega\) ou superiores. Uma pessoa seca pode ter uma resistência mão a pé de,\(10^5 \, \Omega\) enquanto a resistência do coração humano é de cerca de\(10^3 \, \Omega\) Um pedaço de fio de cobre de grande diâmetro com um metro de comprimento pode ter uma resistência de\(10^{-5} \, \Omega\), e os supercondutores não têm resistência alguma em baixas temperaturas. Como vimos, a resistência está relacionada à forma de um objeto e ao material do qual ele é composto.

    A resistência de um objeto também depende da temperatura, pois\(R_0\) é diretamente proporcional\(\rho\) a. Para um cilindro, sabemos que\(R = \rho \dfrac{L}{A}\), se L e A não mudarem muito com a temperatura, R tem a mesma dependência de temperatura que\(\rho\). (O exame dos coeficientes de expansão linear mostra que eles são cerca de duas ordens de magnitude menores do que os coeficientes de resistividade de temperatura típicos, então o efeito da temperatura em L e A é cerca de duas ordens de magnitude menor que em\(\rho\).) Assim,

    \[R = R_0(1 + \alpha \Delta T) \label{Tdep}\]

    é a dependência da temperatura da resistência de um objeto, onde\(R_0\) está a resistência original (geralmente considerada como sendo)\(T = 20.00^oC\) e R é a resistência após uma mudança de temperatura\(\Delta T\). O código de cores fornece a resistência do resistor a uma temperatura de\(T = 20.00^oC\).

    Vários termômetros são baseados no efeito da temperatura na resistência (Figura\(\PageIndex{5}\)). Um dos termômetros mais comuns é baseado no termistor, um cristal semicondutor com forte dependência de temperatura, cuja resistência é medida para obter sua temperatura. O dispositivo é pequeno, de modo que rapidamente entra em equilíbrio térmico com a parte da pessoa que toca.

    A imagem é uma fotografia de dois termômetros orais digitais.
    Figura\(\PageIndex{5}\): Esses termômetros familiares são baseados na medição automatizada da resistência dependente da temperatura de um termistor.
    Exemplo\(\PageIndex{2}\): Calculating Resistance

    Embora seja necessário ter cuidado na aplicação\(\rho = \rho_0 (1 + \alpha \Delta T)\) e\(R = R_0(1 + \alpha \Delta T)\) para mudanças de temperatura maiores do que\(100^oC\), para o tungstênio, as equações funcionam razoavelmente bem para mudanças de temperatura muito grandes. Um filamento de tungstênio em\(20^oC\) tem uma resistência de\(0.350 \, \Omega\). Qual seria a resistência se a temperatura fosse aumentada para\(2850^oC\)?

    Estratégia

    Esta é uma aplicação direta da Equação\ ref {Tdep}, uma vez que a resistência original do filamento é dada como\(R_0 = 0.350 \, \Omega\) e a mudança de temperatura é\(\Delta T = 2830^oC\).

    Solução

    A resistência do filamento mais quente\(R\) é obtida inserindo valores conhecidos na equação acima:

    \[\begin{align*} R &= R_0(1 + \alpha \Delta T) \\[5pt] &= (0.350 \, \Omega)\left(1 + \left(\dfrac{4.5 \times 10^{-3}}{^oC}\right)(2830^oC)\right) \\[5pt] &= 4.8 \, \Omega \end{align*} \]

    Significância

    Observe que a resistência muda em mais de um fator de 10 à medida que o filamento se aquece até a alta temperatura e a corrente através do filamento depende da resistência do filamento e da tensão aplicada. Se o filamento for usado em uma lâmpada incandescente, a corrente inicial através do filamento quando a lâmpada for energizada pela primeira vez será maior do que a corrente após o filamento atingir a temperatura de operação.

    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    Um extensômetro é um dispositivo elétrico para medir a deformação, conforme mostrado abaixo. Consiste em um suporte flexível e isolante que suporta um padrão de folha de condução. A resistência da película muda à medida que o suporte é esticado. Como a resistência do extensômetro muda? O extensômetro é afetado pelas mudanças de temperatura?

    A imagem é um desenho esquemático de um dispositivo de extensômetro que consiste no padrão condutor depositado na superfície isolada. Os contatos de metal são feitos nas duas grandes almofadas na origem do padrão condutor.

    Responda

    O padrão de folha se estende à medida que o suporte se estende, e as faixas de alumínio se tornam mais longas e finas. Uma vez que a resistência é calculada como\(R = \rho \dfrac{L}{A}\), the resistance increases as the foil tracks are stretched. When the temperature changes, so does the resistivity of the foil tracks, changing the resistance. One way to combat this is to use two strain gauges, one used as a reference and the other used to measure the strain. The two strain gauges are kept at a constant temperature

    The Resistance of Coaxial Cable

    Long cables can sometimes act like antennas, picking up electronic noise, which are signals from other equipment and appliances. Coaxial cables are used for many applications that require this noise to be eliminated. For example, they can be found in the home in cable TV connections or other audiovisual connections. Coaxial cables consist of an inner conductor of radius \(r_i\) surrounded by a second, outer concentric conductor with radius \(r_0\) (Figure \(\PageIndex{6}\)). The space between the two is normally filled with an insulator such as polyethylene plastic. A small amount of radial leakage current occurs between the two conductors. Determine the resistance of a coaxial cable of length L.

    Picture is a schematic drawing of a coaxial cable. It consists of a central metal core encapsulated by the dielectric insulator. Metal shield surrounds dielectric insulator. The whole assembly in inserted in the plastic jacket.
    Figure \(\PageIndex{6}\): Coaxial cables consist of two concentric conductors separated by insulation. They are often used in cable TV or other audiovisual connections.

    Strategy

    We cannot use the equation \(R = \rho \dfrac{L}{A}\) directly. Instead, we look at concentric cylindrical shells, with thickness dr, and integrate.

    Solution

    We first find an expression for \(dR\) and then integrate from \(r_i\) to \(r_0\),

    \[\begin{align*} dR &= \dfrac{\rho}{A} dr \\[5pt] &= \dfrac{\rho}{2 \pi r L} dr, \end{align*}\]

    Integrating both sides

    \[\begin{align*} R &= \int_{r_i}^{r_0} dR \\[5pt] &= \int_{r_i}^{r_0} \dfrac{\rho}{2 \pi r L} dr \\[5pt] &= \dfrac{\rho}{2\pi L} \int_{r_i}^{r_0} \dfrac{1}{r} dr \\[5pt] &= \dfrac{\rho}{2\pi L} \ln \dfrac{r_0}{r_i}.\end{align*}\]

    Significance

    The resistance of a coaxial cable depends on its length, the inner and outer radii, and the resistivity of the material separating the two conductors. Since this resistance is not infinite, a small leakage current occurs between the two conductors. This leakage current leads to the attenuation (or weakening) of the signal being sent through the cable.

    Exercise \(\PageIndex{3}\)

    The resistance between the two conductors of a coaxial cable depends on the resistivity of the material separating the two conductors, the length of the cable and the inner and outer radius of the two conductor. If you are designing a coaxial cable, how does the resistance between the two conductors depend on these variables?

    Answer

    The longer the length, the smaller the resistance. The greater the resistivity, the higher the resistance. The larger the difference between the outer radius and the inner radius, that is, the greater the ratio between the two, the greater the resistance. If you are attempting to maximize the resistance, the choice of the values for these variables will depend on the application. For example, if the cable must be flexible, the choice of materials may be limited.

    Phet: Battery-Resistor Circuit

    View this simulation to see how the voltage applied and the resistance of the material the current flows through affects the current through the material. You can visualize the collisions of the electrons and the atoms of the material effect the temperature of the material.