8.A: Estrutura atômica (respostas)

Verifique sua compreensão

8.1. Não. O número quântico\(\displaystyle m=−l,−l+1,…,0,…,l−1,l\). Assim, a magnitude de\(\displaystyle L_z\) é sempre menor que L porque\(\displaystyle <\sqrt{l(l+1)}\)

8.2. \(\displaystyle s=3/2<\)

8.3. a frequência quadruplica

Perguntas conceituais

1. n (número quântico principal) → energia total

\(\displaystyle l\)(número quântico angular orbital) → magnitude absoluta total do momento angular orbital

\(\displaystyle m\)(número quântico de projeção angular orbital) → componente z do momento angular orbital

3. O modelo de Bohr descreve o elétron como uma partícula que se move ao redor do próton em órbitas bem definidas. O modelo de Schrödinger descreve o elétron como uma onda, e o conhecimento sobre a posição do elétron é restrito às declarações de probabilidade. A energia total do elétron no estado fundamental (e em todos os estados excitados) é a mesma para os dois modelos. No entanto, o momento angular orbital do estado fundamental é diferente para esses modelos. No modelo de Bohr,\(\displaystyle L(ground state)=1\), e no modelo de Schrödinger,\(\displaystyle L(ground state)=0\).

5. a, c, d; A energia total é alterada (divisão de Zeeman). O trabalho realizado no átomo de hidrogênio gira o átomo, de modo que o componente z do momento angular e do ângulo polar é afetado. No entanto, o momento angular não é afetado.

7. Mesmo no estado fundamental\(\displaystyle (l=0)\), um átomo de hidrogênio tem propriedades magnéticas devido ao spin intrínseco (interno) do elétron. O momento magnético de um elétron é proporcional ao seu spin.

9. Para todos os elétrons,\(\displaystyle s=½\)\(\displaystyle m_s=±½\) e. Como veremos, nem todas as partículas têm o mesmo número quântico de spin. Por exemplo, um fóton tem spin 1 (\(\displaystyle s=1\)) e um bóson de Higgs tem spin 0 (\(\displaystyle s=0\)).

11. Um elétron tem um momento magnético associado ao seu spin intrínseco (interno). O acoplamento spin-órbita ocorre quando ele interage com o campo magnético produzido pelo momento angular orbital do elétron.

13. Elementos que pertencem à mesma coluna na tabela periódica de elementos têm os mesmos preenchimentos de suas camadas externas e, portanto, o mesmo número de elétrons de valência. Por exemplo:

Li:\(\displaystyle 1s^22s^1\) (um elétron de valência na\(\displaystyle n=2\) casca)

Na:\(\displaystyle 1s^22s2p^63s^1\) (um elétron de valência na\(\displaystyle n=2\) casca)

Tanto Li quanto Na pertencem à primeira coluna.

15. Diz-se que os espectros atômicos e moleculares são “discretos”, porque somente certas linhas espectrais são observadas. Em contraste, os espectros de uma fonte de luz branca (consistindo em muitas frequências de fótons) são contínuos porque um “arco-íris” contínuo de cores é observado.

17. A luz UV consiste em fótons de frequência relativamente alta (comprimento de onda curto). Portanto, a energia do fóton absorvido e a transição de energia (\(\displaystyle ΔE\)) no átomo são relativamente grandes. Em comparação, a luz visível consiste em fótons de frequência relativamente mais baixa. Portanto, a transição de energia no átomo e a energia do fóton emitido são relativamente pequenas.

19. Para sistemas macroscópicos, os números quânticos são muito grandes, então a diferença de energia (\(\displaystyle ΔE\)) entre os níveis de energia adjacentes (órbitas) é muito pequena. A energia liberada nas transições entre esses níveis de energia próximos ao espaço é muito pequena para ser detectada.

21. A luz laser depende do processo de emissão estimulada. Nesse processo, os elétrons devem ser preparados em um estado metaestável excitado (superior) de forma que a passagem da luz pelo sistema produza desexcitações e, portanto, luz adicional.

23. Um reprodutor de Blu-Ray usa luz laser azul para sondar os solavancos e buracos do disco e um CD player usa luz laser vermelha. A luz azul de comprimento de onda relativamente curto é necessária para sondar os poços e solavancos menores em um disco Blu-ray; poços e solavancos menores correspondem a densidades de armazenamento mais altas.

Problemas

25. \(\displaystyle (r,θ,ϕ)=(\sqrt{6,}66°,27°)\).

27. \(\displaystyle ±3,±2,±1,0\)são possíveis

29. 18

31. \(\displaystyle F=−k\frac{Qq}{r^2}\)

33. (1, 1, 1)

35. Para o número quântico do momento angular orbital, l, os valores permitidos de:

\(\displaystyle m=−l,−l+1,...0,...l−1,l\).

Com exceção de\(\displaystyle m=0\), o número total é apenas 2l porque o número de estados em cada lado de\(\displaystyle m=0\) é apenas l. Incluindo\(\displaystyle m=0\), o número total de estados de momento angular orbital para o número quântico do momento angular orbital, l, é:\(\displaystyle 2l+1\). Posteriormente, quando considerarmos o spin do elétron, o número total de estados de momento angular será o dobro desse valor porque cada estado de momento angular orbital está associado a dois estados de rotação do elétron: girar para cima e girar para baixo).

37. A probabilidade de que o elétron 1s de um átomo de hidrogênio seja encontrado fora do raio de Bohr é\(\displaystyle ∫^∞_{a_0}P(r)dr≈0.68\)

39. Para\(\displaystyle n=2, l=0\) (1 estado) e\(\displaystyle l=1\) (3 estados). O total é 4.

41. O estado 3p corresponde\(\displaystyle n=3, l=2\) a. Portanto,\(\displaystyle μ=μ_B\sqrt{6}\)

43. A proporção de suas massas é 1/207, então a proporção de seus momentos magnéticos é 207. O momento magnético do elétron é mais de 200 vezes maior que o múon.

45. a. O estado 3D corresponde\(\displaystyle n=3, l=2\) a. Então,

\(\displaystyle I=4.43×10^{−7}A\).

b. O torque máximo ocorre quando o momento magnético e os vetores externos do campo magnético estão em ângulo reto\(\displaystyle (sinθ=1)\). Nesse caso:

\(\displaystyle |\vec{τ}|=μB.\)

\(\displaystyle τ=5.70×10^{−26}N⋅m\)..

47. Um elétron 3p está no estado\(\displaystyle n=3\)\(\displaystyle l=1\) e. A magnitude mínima do torque ocorre quando os vetores do momento magnético e do campo magnético externo são mais paralelos (antiparalelos). Isso ocorre quando\(\displaystyle m=±1\). A magnitude do torque é dada por

\(\displaystyle |\vec{τ}|=μBsinθ\),

Onde

\(\displaystyle μ=(1.31×10^{−24}J/T)\).

Para\(\displaystyle m=±1\), temos:

\(\displaystyle |\vec{τ⃗}|=2.32×10^{21}N⋅m\).

49. Um trabalho infinitesimal dW feito por um torque magnético\(\displaystyle τ\) para girar o momento magnético em um ângulo\(\displaystyle −dθ\):

\(\displaystyle dW=τ(−dθ)\),

onde\(\displaystyle τ=|\vec{μ}×\vec{B}∣\). O trabalho realizado é interpretado como uma queda na energia potencial U, então

\(\displaystyle dW=−dU.\)

A mudança total de energia é determinada pela soma das mudanças infinitesimais na energia potencial:

\(\displaystyle U=−μBcosθ\)

\(\displaystyle U=−\vec{μ}⋅\vec{B}\).

51. Gire para cima (em relação ao eixo z positivo):

\(\displaystyle θ=55°\).

Gire para baixo (em relação ao eixo z positivo):

\(\displaystyle θ=cos^{−1}(\frac{S_z}{S})=cos^{−1}(\frac{−\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}})=cos^{−1}(\frac{−1}{\sqrt{3}})=125°.\)

53. O número quântico da projeção de spin é\(\displaystyle m_s=±½\), então o componente z do momento magnético é

\(\displaystyle μ_z=±μ_B\).

A energia potencial associada à interação entre o elétron e o campo magnético externo é

\(\displaystyle U=∓μ_BB\).

A diferença de energia entre esses estados é\(\displaystyle ΔE=2μ_BB\), então o comprimento de onda da luz produzida é

\(\displaystyle λ=5.36×10^{−5}m≈53.6μm\)

55. É aumentado por um fator de 2.

57. um. 32;

b.

(2+1)

0 s 2 (0+1) =2

1 p 2 (2+1) =6

2 d 2 (4+1) =10

3 de 2 (6+1) =14 x
32

59. a. e e. são permitidos; os outros não são permitidos.

b.\(\displaystyle l=3\) não permitido para\(\displaystyle n=1,l≤(n−1)\).

c. Não pode ter três elétrons em uma subcamada porque\(\displaystyle 3>2(2l+1)=2\).

d. Não pode ter sete elétrons na subcamada p (máximo de 6)\(\displaystyle 2(2l+1)=2(2+1)=6\).

61. \(\displaystyle [Ar]4s^23d^6\)

63. a. O valor mínimo de\(\displaystyle ℓ\) é\(\displaystyle l=2\) ter nove elétrons nele.

\(\displaystyle 3d^9\)b.

65. \(\displaystyle [He]2s^22p^2\)

67. Pois\(\displaystyle He^+\), um elétron “orbita” um núcleo com dois prótons e dois nêutrons (\(\displaystyle Z=2\)). A energia de ionização se refere à energia necessária para remover o elétron do átomo. A energia necessária para remover o elétron no estado fundamental do íon He+He+ até o infinito é menos o valor da energia do estado fundamental, escrito:

\(\displaystyle E=−54.4eV\).

Assim, a energia para ionizar o elétron é\(\displaystyle +54.4eV\).

Da mesma forma, a energia necessária para remover um elétron no primeiro estado excitado do\(\displaystyle Li^{2+}\) íon até o infinito é menos o valor da primeira energia do estado excitado, escrito:

\(\displaystyle E=−30.6eV\).

A energia para ionizar o elétron é 30,6 eV.

69. O comprimento de onda do laser é dado por:

\(\displaystyle λ=\frac{hc}{−ΔE}\),

onde\(\displaystyle E_γ\) está a energia do fóton e\(\displaystyle ΔE\) é a magnitude da diferença de energia. Resolvendo o último, obtemos:

\(\displaystyle ΔE=−2.795eV\).

O sinal negativo indica que o elétron perdeu energia na transição.

71. \(\displaystyle ΔE_{L→K}≈(Z−1)^2(10.2eV)=3.68×10^3eV\).

73. De acordo com a conservação da energia, a energia potencial do elétron é convertida completamente em energia cinética. A energia cinética inicial do elétron é zero (o elétron começa em repouso). Então, a energia cinética do elétron logo antes de atingir o alvo é:

\(\displaystyle K=eΔV\).

Se toda essa energia for convertida em radiação de frenagem, a frequência da radiação emitida será máxima, portanto:

\(\displaystyle f_{max}=\frac{eΔV}{h}\).

Quando a frequência emitida é máxima, o comprimento de onda emitido é mínimo, então:

\(\displaystyle λ_{min}=0.1293nm\).

75. Um múon é 200 vezes mais pesado que um elétron, mas o comprimento de onda mínimo não depende da massa, então o resultado permanece inalterado.

77. \(\displaystyle 4.13×10^{−11}m\)

79. 72,5 keV

81. Os números atômicos para Cu e Au são\(\displaystyle Z=29\) e 79, respectivamente. A frequência de fótons de raios-X para ouro é maior do que cobre por um fator:

\(\displaystyle (\frac{f_{Au}}{f_{Cu}})^2=(\frac{79−1}{29−1})^2≈8\).

Portanto, o comprimento de onda de raios X do Au é cerca de oito vezes menor do que o do cobre.

83. a. Se a carne tem a mesma densidade da água, então usamos\(\displaystyle 1.34×10^{23}\) fótons.

b. 2,52 MW

Problemas adicionais

85. O menor ângulo corresponde a\(\displaystyle l=n−1\)\(\displaystyle m=l=n−1\) e. Portanto\(\displaystyle θ=cos^{−1}(\sqrt{n−1}{n}\)).

87. a. De acordo com a Equação 8.1\(\displaystyle r=0, U(r)=−∞\), quando e quando\(\displaystyle r=+∞,U(r)=0\). O primeiro resultado sugere que o elétron pode ter uma energia potencial negativa infinita. O modelo quântico do átomo de hidrogênio evita essa possibilidade porque a densidade de probabilidade em\(\displaystyle r=0\) é zero.

89. Uma solução formal usando somas é um pouco complicada. No entanto, a resposta é facilmente encontrada ao estudar o padrão matemático entre o número quântico principal e o número total de estados de momento angular orbital.

Para\(\displaystyle n=1\), o número total de estados de momento angular orbital é 1; para\(\displaystyle n=2\), o número total é 4; e, quando\(\displaystyle n=3\), o número total é 9, e assim por diante. O padrão sugere que o número total de estados de momento angular orbital para a enésima camada é\(\displaystyle n^2\).

(Mais tarde, quando considerarmos o spin do elétron, o número total de estados de momento angular será\(\displaystyle 2n^2\), porque cada estado de momento angular orbital está associado a dois estados de rotação do elétron; gire para cima e gire para baixo).

91. 50

93. O número máximo de estados de elétrons de momento angular orbital na enésima camada de um átomo é\(\displaystyle n^2\). Cada um desses estados pode ser preenchido por um elétron de rotação para cima e para baixo. Portanto, o número máximo de estados de elétrons na enésima camada é\(\displaystyle 2n^2\).

95. a., c. e e. são permitidos; os outros não são permitidos.

b. não\(\displaystyle l>n\) é permitido.

d.\(\displaystyle 7>2(2l+1)\)

97. \(\displaystyle f=1.8×10^9Hz\)

99. Os números atômicos para Cu e Ag são\(\displaystyle Z=29\) e 47, respectivamente. A frequência de fótons de raios-X para prata é maior que cobre pelo seguinte fator:

\(\displaystyle (\frac{f_{Ag}}{f_{Cu}})^2=2.7\).

Portanto, o comprimento de onda de raios X do Ag é cerca de três vezes menor do que o do cobre.

101. a. 3,24;

b. não\(\displaystyle n_i\) é um número inteiro. c. O comprimento de onda não deve estar correto. Porque\(\displaystyle n_i>2\) a suposição de que a linha era da série Balmer é possível, mas o comprimento de onda da luz não produziu um valor inteiro para\(\displaystyle n_i\). Se o comprimento de onda estiver correto, a suposição de que o gás é hidrogênio não está correta; em vez disso, pode ser sódio.