7.5: Forças não conservadoras

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

• Defina forças não conservadoras e explique como elas afetam a energia mecânica.
• Mostre como o princípio da conservação de energia pode ser aplicado tratando as forças conservadoras em termos de suas energias potenciais e quaisquer forças não conservadoras em termos do trabalho que realizam.

Forças não conservadoras e fricção

As forças são conservadoras ou não conservadoras. Uma força não conservadora é aquela para a qual o trabalho depende do caminho percorrido. O atrito é um bom exemplo de força não conservadora. Conforme ilustrado na Figura\(\PageIndex{1}\), o trabalho realizado contra o atrito depende do comprimento do caminho entre os pontos inicial e final. Por causa dessa dependência do caminho, não há energia potencial associada a forças não conservadoras. Uma característica importante é que o trabalho realizado por uma força não conservadora adiciona ou remove energia mecânica de um sistema. O atrito, por exemplo, cria energia térmica que se dissipa, removendo a energia do sistema. Além disso, mesmo que a energia térmica seja retida ou capturada, ela não pode ser totalmente convertida de volta ao trabalho, portanto, também é perdida ou não é recuperável nesse sentido.

Figura\(\PageIndex{1}\): A quantidade de rosto feliz apagado depende do caminho percorrido pela borracha entre os pontos A e B, assim como o trabalho realizado contra o atrito. Menos trabalho é feito e menos parte da face é apagada para o caminho em (a) do que para o caminho em (b). A força aqui é o atrito, e a maior parte do trabalho vai para a energia térmica que posteriormente sai do sistema (a cara feliz mais a borracha). A energia gasta não pode ser totalmente recuperada.

Como as forças não conservadoras afetam a energia mecânica

A energia mecânica pode não ser conservada quando forças não conservadoras atuam. Por exemplo, quando um carro é parado por atrito em terreno plano, ele perde energia cinética, que é dissipada como energia térmica, reduzindo sua energia mecânica. A Figura compara os efeitos das forças conservadoras e não conservadoras. Muitas vezes, optamos por entender sistemas mais simples, como os descritos na Figura,\(\PageIndex{2a}\) antes de estudar sistemas mais complicados, como na Figura\(\PageIndex{2b}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Comparação dos efeitos de forças conservadoras e não conservadoras na energia mecânica de um sistema. (a) Um sistema com apenas forças conservadoras. Quando uma rocha é lançada em uma mola, sua energia mecânica permanece constante (negligenciando a resistência do ar) porque a força na mola é conservadora. A mola pode impulsionar a rocha de volta à sua altura original, onde mais uma vez só tem energia potencial devido à gravidade. (b) Um sistema com forças não conservadoras. Quando a mesma rocha é lançada no solo, ela é interrompida por forças não conservadoras que dissipam sua energia mecânica como energia térmica, som e distorção da superfície. A rocha perdeu energia mecânica.

Como o teorema trabalho-energia se aplica

Agora, vamos considerar a forma que o teorema trabalho-energia assume quando forças conservadoras e não conservadoras agem. Veremos que o trabalho realizado por forças não conservadoras é igual à mudança na energia mecânica de um sistema. Conforme observado em Energia Cinética e no Teorema da Energia do Trabalho, o teorema da energia do trabalho afirma que o trabalho em rede em um sistema é igual à mudança em sua energia cinética, ou\( W_{net} = \Delta KE\). A rede é a soma do trabalho das forças não conservadoras mais o trabalho das forças conservadoras. Ou seja,

\[W_{net} = W_{nc} + W_c,\]

para que

\[W_{nc} + W_c = \Delta KE,\]

onde\(W_{nc}\) está o trabalho total realizado por todas as forças não conservadoras e\(W_c\) é o trabalho total realizado por todas as forças conservadoras.

Figura\(\PageIndex{3}\): Uma pessoa empurra uma caixa até uma rampa, trabalhando na caixa. O atrito e a força gravitacional (não mostradas) também funcionam na caixa; ambas as forças se opõem ao impulso da pessoa. À medida que a caixa é empurrada até a rampa, ela ganha energia mecânica, o que implica que o trabalho realizado pela pessoa é maior do que o trabalho realizado por atrito.

Considere a Figura\(\PageIndex{3}\), na qual uma pessoa empurra uma caixa até uma rampa e se opõe ao atrito. Como na seção anterior, notamos que o trabalho realizado por uma força conservadora vem de uma perda de energia potencial gravitacional, de modo que\(W_c = -\Delta PE\). Substituindo essa equação pela anterior e resolvendo,\(W_{nc}\) dá

\[W_{nc} = \Delta KE + \Delta PE.\label{eq4}\]

Essa equação significa que a energia mecânica total\((KE + PE)\) muda exatamente na quantidade de trabalho realizado por forças não conservadoras. Na Figura\(\PageIndex{3}\), esse é o trabalho realizado pela pessoa menos o trabalho realizado por fricção. Portanto, mesmo que a energia não seja conservada para o sistema de interesse (como a caixa), sabemos que uma quantidade igual de trabalho foi feita para causar a mudança na energia mecânica total. Nós reorganizamos a Equação\ ref {eq5} para obter

\[KE_i + PE_i + W_{nc} = KE_f + PE_f \label{eq5}\]

Isso significa que a quantidade de trabalho realizado por forças não conservadoras aumenta a energia mecânica de um sistema. Se\(W_{nc}\) for positivo, então a energia mecânica aumenta, como quando a pessoa empurra a caixa até a rampa na Figura. Se\(W_{nc} \) for negativo, então a energia mecânica diminui, como quando a rocha atinge o solo na Figura\(\PageIndex{2b}\). Se\(W_{nc}\) for negativo, então a energia mecânica diminui, como quando a rocha atinge o solo na Figura\(\PageIndex{2b}\). Se\(W_{nc}\) for zero, a energia mecânica é conservada e as forças não conservadoras são equilibradas. Por exemplo, quando você empurra um cortador de grama em velocidade constante em terreno nivelado, seu trabalho realizado é removido pelo trabalho de fricção e o cortador tem uma energia constante.

Aplicando conservação de energia com forças não conservadoras

Quando nenhuma mudança na energia potencial ocorre, aplicar a Equação\ ref {eq5} equivale a aplicar o teorema da energia de trabalho definindo a mudança na energia cinética como igual ao trabalho em rede realizado no sistema, que no caso mais geral inclui forças conservadoras e não conservadoras. Mas ao procurar, em vez disso, encontrar uma mudança na energia mecânica total em situações que envolvem mudanças na energia potencial e cinética, a equação anterior\(KE_i + PE_i + W_{nc} = KE_f + PE_f \) diz que você pode começar encontrando a mudança na energia mecânica que teria resultado apenas das forças conservadoras, incluindo a energia potencial muda e adiciona a ela o trabalho realizado, com o devido sinal, por quaisquer forças não conservadoras envolvidas.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating Distance Traveled: How Far a Baseball Player Slides

Considere a situação mostrada na Figura\(\PageIndex{4}\), em que um jogador de beisebol desliza até parar em terreno plano. Usando considerações de energia, calcule a distância que o jogador de beisebol de 65,0 kg desliza, uma vez que sua velocidade inicial é de 6,00 m/s e a força de atrito contra ele é constante de 450 N.

Figura\(\PageIndex{4}\): O jogador de beisebol desliza até parar a uma distância d. No processo, o atrito remove a energia cinética do jogador fazendo uma quantidade de trabalho\(fd\) igual à energia cinética inicial.

Estratégia

O atrito impede o jogador ao converter sua energia cinética em outras formas, incluindo energia térmica. Em termos do teorema trabalho-energia, o trabalho realizado por atrito, que é negativo, é adicionado à energia cinética inicial para reduzi-la a zero. O trabalho realizado por atrito é negativo, porque f está na direção oposta do movimento (ou seja\(\theta = 180^o \), e assim por diante\(cos \, \theta = -1\)). Assim,\(W_{nc} = -fd \). A equação simplifica para

\[\dfrac{1}{2} mv_i^2 - bfd = 0 \nonumber\]

ou

\[fd = \dfrac{1}{2}mv_i^2. \nonumber\]

Essa equação agora pode ser resolvida para a distância\(d\).

Solução

Resolver a equação anterior\(d\) e substituir valores conhecidos gera

\[\begin{align*} d &= \dfrac{mv_i^2}{2f} \\[5pt] &= \dfrac{65.0 \, kg)(6.00 \, m/s)^2}{(2)(450 \, N)} \\[5pt] &= 2.60 \, m. \end{align*}\]

Discussão

O ponto mais importante desse exemplo é que a quantidade de trabalho não conservador é igual à mudança na energia mecânica. Por exemplo, você deve trabalhar mais para parar um caminhão, com sua grande energia mecânica, do que para parar um mosquito.

Exemplo\(\PageIndex{2}\): Calculating Distance Traveled: Sliding Up an Incline

Suponha que o jogador do\(\PageIndex{1}\) Example esteja subindo uma colina com uma\(5.00^o\) inclinação para cima com uma superfície semelhante à do estádio de beisebol. O jogador desliza com a mesma velocidade inicial e a força de atrito ainda é 450 N. Determine até onde ele desliza.

Figura\(\PageIndex{5}\): O mesmo jogador de beisebol desliza até parar em uma\(5.00^o\) ladeira.

Estratégia

Nesse caso, o trabalho realizado pela força de atrito não conservadora no jogador reduz a energia mecânica que ele tem de sua energia cinética na altura zero, até a energia mecânica final que ele possui ao se mover pela distância\(d\) para atingir a altura\(h\) ao longo da colina, com\(h = d \, \sin \, 5.00^o\). Isso é expresso pela Equação\ ref {eq5}

\[KE_i + PE_i + W_{nc} = KE_f + PE_f . \nonumber\]

Solução

O trabalho realizado por atrito é novamente\(W_{nc} = -fd\); inicialmente a energia potencial é\(PE_i = mg \cdot 0 = 0\) e a energia cinética é\(KE_i = \frac{1}{2} \, mv^2\); as contribuições finais de energia são\(KE_f = 0\) para a energia cinética e\(PE_f = mgh = mgd \, sin \, \theta\) para a energia potencial.

Substituindo esses valores, obtém-se

\[ \nonumber \dfrac{1}{2} mv_i^2 + 0 + (-fd) = 0 + mgd \, \sin \, \theta.\]

Resolva isso\(d\) para obter

\[\begin{align*} d &= \dfrac{\frac{1}{2} mv_i^2}{f + mg \, \sin \, \theta} \\[5pt] &= \dfrac{(0.5)(65.0 \, kg)(6.00 \, m/s)^2}{450 \, N + (65.0 \, kg)(9.80 \, m/s^2)sin \, (5.00^o)} \\[5pt] &= 2.31 \, m. \end{align*}\]

Discussão

Como era de se esperar, o jogador desliza uma distância menor deslizando para cima. Observe que o problema também poderia ter sido resolvido em termos diretos das forças e do teorema da energia de trabalho, em vez de usar a energia potencial. Esse método exigiria a combinação da força normal e da força dos vetores de gravidade, que não se cancelam mais porque apontam em direções diferentes, e o atrito, para encontrar a força líquida. Você poderia então usar a força líquida e a rede para encontrar a distância\(d\) que reduz a energia cinética a zero. Ao aplicar a conservação de energia e usar a energia potencial em vez disso, precisamos considerar apenas a energia potencial gravitacional\(mgh\), sem combinar e resolver vetores de força. Isso simplifica consideravelmente a solução.

Fazendo conexões: investigação para levar para casa - Determinando o atrito a partir da distância de parada

Este experimento envolve a conversão de energia potencial gravitacional em energia térmica. Use a régua, o livro e o mármore da Take-Home Investigation—Converting Potential in Kinetic Energy. Além disso, você precisará de um copo de espuma com um pequeno orifício na lateral, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{6}\). A partir da posição de 10 cm na régua, deixe a bola de gude rolar no copo posicionado na parte inferior da régua. Meça a distância\(d\) que o copo se move antes de parar. Quais forças fizeram com que ele parasse? O que aconteceu com a energia cinética do mármore na parte inferior da régua? Em seguida, coloque a bola de gude nas posições de 20 cm e 30 cm e meça novamente a distância que a taça se move depois que a bola entra nela. Faça um gráfico da distância que o copo se move versus a posição inicial de mármore na régua. Essa relação é linear? Com algumas suposições simples, você pode usar esses dados para encontrar o coeficiente de atrito cinético\(\mu_k\) do copo na mesa. A força de atrito\(f\) no copo é\(\mu_k N\), onde a força normal\(N\) é apenas o peso do copo mais a bola de gude. A força normal e a força da gravidade não funcionam porque são perpendiculares ao deslocamento do copo, que se move horizontalmente. O trabalho realizado por fricção é\(fd\). Você também precisará da massa do mármore para calcular sua energia cinética inicial.

Figura\(\PageIndex{6}\): Rolando uma bola de gude por uma régua até formar um copo de espuma.

É interessante fazer o experimento acima também com um mármore de aço (ou rolamento de esferas). Soltando-o das mesmas posições na régua que você fez com o mármore de vidro, a velocidade desse mármore de aço é a mesma que a velocidade do mármore na parte inferior da régua? A distância que o copo se move é proporcional à massa das bolinhas de aço e vidro?

Explorações de Phet: A rampa

Explore forças, energia e trabalho enquanto empurra objetos domésticos para cima e para baixo em uma rampa. Abaixe e levante a rampa para ver como o ângulo de inclinação afeta as forças paralelas que atuam no arquivo. Os gráficos mostram forças, energia e trabalho.

Figura\(\PageIndex{7}\): A rampa

Resumo

• Uma força não conservadora é aquela para a qual o trabalho depende do caminho.
• O atrito é um exemplo de força não conservadora que transforma energia mecânica em energia térmica.
• O trabalho\(W_{nc}\) realizado por uma força não conservadora altera a energia mecânica de um sistema. Em forma de equação,\(W_{nc} = \Delta KE + \Delta PE \) ou, equivalentemente,\(KE_i + PE_i + W_{nc} = KE_f + PE_f .\)
• Quando forças conservadoras e não conservadoras agem, a conservação de energia pode ser aplicada e usada para calcular o movimento em termos das energias potenciais conhecidas das forças conservadoras e do trabalho realizado por forças não conservadoras, em vez de encontrar a rede a partir da força líquida ou ter que aplicar diretamente Leis de Newton

Glossário

força não conservadora

uma força cujo trabalho depende do caminho seguido entre as configurações inicial e final dadas

atrito

a força entre as superfícies que se opõe a um deslizamento sobre o outro; o atrito transforma a energia mecânica em energia térmica