7.1: Inclinação de uma linha

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Lembre-se de que pares ordenados podem ser representados graficamente como pontos no plano de coordenadas retangular. Através de quaisquer dois pontos distintos, faça um gráfico de uma linha reta,$l$.

Para descrever a linha$l$ algebricamente, primeiro considere a inclinação de uma fórmula de linha.

Definição: Inclinação de uma linha

A inclinação$m$ de uma linha$l$ que passa por pontos$(x_1, y_1)$ e$(x_2, y_2)$ é

\[m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} \text{ where } x_2 \neq x_1 \nonumber \]

$clipboard_ef5b30d9d90d175767e807356eeeb09d5.png$

Exemplo Template:index

Encontre a inclinação da linha na figura abaixo.

$clipboard_e363ff7b3bb533d1487bf37ba2e55050d.png$

Solução

Pela definição acima da fórmula da inclinação da linha, a inclinação da linha pode ser escrita como$m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$. Comece escolhendo quaisquer dois pontos$P$ e$Q$, na linha. Escolha$P$ o ponto a ser$(2, 2)$ e$Q$ o ponto a ser$(1, 0)$.

Começando no ponto$Q$, suba até o ponto$P$ contando os quadrados$2$ da grade ascendente, o que significa$\text{rise} = 2$. Agora, para chegar ao ponto$P$, quadrada da$\text{run}$$1$ grade à direita, o que significa que$\text{run} = 1$, conforme mostrado na figura abaixo.

$clipboard_eb782dfab92d784f98c38e932215ff3af.png$

Assim,

$\begin{array} &&m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{2}{1} &\text{rise \(2$e execute$1$}\\ &= 2\ end {array}\)

Portanto, a inclinação da linha na figura é$m = 2$.

Exemplo Template:index

Encontre a inclinação da linha mostrada na figura abaixo.

$clipboard_e19cd2064387c2c10ad2af63dccc6440d.png$

Solução

Semelhante ao Exemplo$1$, comece escolhendo quaisquer dois pontos$P$ e$Q$, na linha.

Nota: Como qualquer$2$ ponto na linha pode ser escolhido, será mais fácil escolher os dois pontos que são inteiros. Esses pontos estão localizados na linha e também na interseção de duas linhas de grade. Por exemplo, na figura, será mais fácil escolher dois dos seguintes pontos na linha dada:$(2, 0)$,,$(0, 1)$,$(4, −1)$,$(6, −2)$$(−4, 3)$$(−6, 4)$, e assim por diante...

A inclinação é a mesma para quaisquer dois pontos$P$ e$Q$ na linha. Escolha$P_1$ o ponto a ser$(0, 1)$ e$Q_1$ o ponto a ser$(2, 0)$. Começando no ponto$P_1$, alcance o ponto$Q_1$ correndo primeiro os quadrados da$2$ grade à direita, o que significa que$\text{run} = 2$ o. Agora, para chegar à$Q_1$ contagem de pontos, conte para baixo o quadrado$1$ da grade. Observe que o$\text{rise} = -1$ que significa mover a$1$ unidade para baixo, conforme mostrado na figura abaixo.

$clipboard_eae1964d11eb4f5c0410a5ca79250683d.png$

$\begin{array} &&m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{−1}{2} &\text{rise = \(-1$e execute =$2$}\ end {array}\)

Portanto, a inclinação da linha na figura acima é$m = −\dfrac{1}{2}$.

Agora, escolha$P_2$ o ponto a ser$(-2, 2)$ e$Q_2$ o ponto a ser$(-6, 4)$, conforme mostrado na figura acima. Começando em pontos$P_2$, alcance o ponto$Q_2$ correndo primeiro os quadrados da$4$ grade à esquerda, o que significa que$\text{run} = -4$ o. Agora, para chegar aos pontos,$Q_2$ conte os quadrados$2$ da grade ascendente. Assim,$\text{rise} = 2$ a. A inclinação é$m = \dfrac{2}{−4} = −\dfrac{1}{2}$. Observe que a inclinação é a mesma, independentemente dos$2$ pontos que consideramos em uma determinada linha.

Exemplo Template:index

Encontre a inclinação da linha que passa$(3, 2)$ e$(4, 4)$ usando a fórmula da inclinação. Faça um gráfico da linha que passa pelos pontos fornecidos.

Nota: A ordem em que os pontos são rotulados não fará diferença na inclinação de uma fórmula de linha, desde que haja consistência.

Solução

Deixe$(x_1, y_1) = (3, 2)$ e$(x_2, y_2) = (4, 4)$ depois,

$\begin{array} &&m = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{4 − 2}{4 − 3} & \\ &= \dfrac{2}{1} &\text{rise \(= 2$e execute$= 1$}\\ &= 2 &\ end {array}\)

Portanto, a inclinação da linha que passa por pontos$(3, 2)$ e$(4, 4)$ é$m = 2$. A linha que passa pelos pontos fornecidos é mostrada na figura abaixo.

$clipboard_e274e9e3b46b3eff108909c81ba819a08.png$

Observe que quando a linha sobe da esquerda para a direita, a linha tem uma inclinação positiva.

Exemplo Template:index

Encontre a inclinação da linha que passa pelos pontos$(−1, 2)$$(3, −4)$ e. Faça um gráfico dos pontos e faça um gráfico da linha.

Solução

Deixe$(x_1, y_1) = (-1, 2)$ e$(x_2, y_2) = (3, -4)$ depois,

$\begin{array} &&m = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{-4 − 2}{3 − (-1)} & \\ &= \dfrac{-6}{4} &\text{Simplify} \\ &= -\dfrac{3}{2} & \end{array}$

Definição: Inclinação negativa

Agora, para representar graficamente a linha através dos pontos dados, primeiro plote os dois pontos e, em seguida, desenhe uma linha reta através deles, conforme mostrado na Figura abaixo.

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