Skip to main content
Query

6.3: Kutatua Usawa wa Thamani kamili na Kuandika Majibu katika Uthibitishaji wa Muda

  • Page ID
    164713
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Sehemu iliyotangulia ilifundisha jinsi ya kutatua usawa wa thamani kamili. Sehemu hii inafundisha jinsi ya kutatua usawa wa thamani kabisa. Kwa kufanya hivyo, kwanza fikiria mali mbili zifuatazo:

    Ufafanuzi: Mali ya Usawa wa Thamani kamili

    Mali 1: Kwa idadi yote chanya\(b\), na idadi yote halisi\(p\) na\(q\),

    1. \(|a| < b\)kama na tu kama\(−b < a < b\).

    Suluhisho lililowekwa ni la fomu\((p,q)\), muda mmoja wa wazi.

    1. \(|a| ≤ b\)kama na tu kama\(−b ≤ a ≤ b\).

    Suluhisho lililowekwa ni la fomu\([p,q]\), muda mmoja uliofungwa.

    Kabla ya kuzingatia Mali 2, ni muhimu kufafanua umoja wa vipindi viwili. Muungano wa vipindi viwili\(A\) na\(B\), ni seti ya vipengele katika\(A\), au\(B\), au vyote viwili. Muungano unawakilishwa na ishara\(∪\).

    Mali 2: Kwa idadi yote chanya\(b\), na idadi yote halisi\(p\) na\(q\),

    1. \(|a| > b\)ikiwa na tu ikiwa\(a < −b\) au\(a > −b\)

    Suluhisho lililowekwa ni la fomu\((−∞, p) ∪ (q, ∞)\), muda wa kutofautiana.

    1. \(|a| ≥ b\)kama na tu kama\(a ≤ −b\) au\(a ≥ b\).

    Suluhisho lililowekwa ni la fomu\((−∞, p] ∪ [q, ∞)\), muda wa kutofautiana.

    Kumbuka kuwa kabla ya mali ya kutofautiana kutumiwa, jitenga kujieleza kwa thamani kamili kwa upande wowote wa usawa.

    Tatua usawa wafuatayo na graph kuweka suluhisho.

    1. \(|5x − 2| < 7\)
    2. \(|8x − 6| < −1\)
    3. \(2|x − 3| + 5 ≤ 9\)

    Suluhisho

    1. Hii ni kujieleza thamani kabisa chini ya idadi nzuri ya fomu\(|a| < b\). Tumia Mali 1 (i) na\(a = 5x − 2\) na\(b = 7\).

    \(\begin{array} &&|5x − 2| < 7 &\text{Given} \\ &−7 < 5x − 2 < 7 &\text{Property 1 (i)} \end{array}\)

    Ili kutatua usawa, kujitenga\(x\). Hatua ya awali inakuwa,

    \(\begin{array} &&−5 < 5x < 9 &\text{Add \(2\)kwa pande zote}\\ &-1 <x <\ dfrac {9} {5} &\ maandishi {Gawanya pande zote kwa\(5\)}\ mwisho {safu}\)

    Seti ya Suluhisho ni muda mmoja wa wazi\(\left(−1, \dfrac{9}{5} \right)\) na grafu ni kama inavyoonekana katika takwimu hapa chini.

    clipboard_eee2ec390ebb3481038f3625204438819.png

    1. Kumbuka kwamba thamani kamili ya idadi yoyote ni umbali kutoka\(0\) kwa idadi hiyo kwenye mstari wa namba. Hii ina maana, thamani kamili ya idadi yoyote daima ni kubwa au sawa na\(0\).

    Mfano huu unatoa\(|8x − 6| < −1,\) ambayo haiwezi kutokea tangu umbali hauwezi kamwe hasi. Hivyo, usawa wa thamani kamili hauna suluhisho na kuweka suluhisho ni kuweka tupu, imeandikwa\(\phi\).

    1. Ili kutatua\(2|x − 3| + 5 ≤ 9\), jitenga thamani kamili.

    \(\begin{array} &&2|x − 3| + 5 ≤ 9 &\text{Given} \\ &2|x − 3| ≤ 4 &\text{Subtract \(5\)kutoka pande zote mbili}\\ &|x - 3| ≤ 2 &\ maandishi {Gawanya upande wote kwa\(2\)}\ mwisho {safu}\)

    Sasa,\(|x − 3| ≤ 2\) ni ya fomu\(|a| ≤ b\). Tumia Mali 1 (ii) na\(a = x − 3\) na\(b = 2\).

    \(\begin{array} &&|x − 3| ≤ 2 & \\&− 2 ≤ x − 3 ≤ 2 &\text{Property 1(ii)} \\ &1 ≤ x ≤ 5 & \end{array}\)

    Seti ya suluhisho ni muda mmoja\([1, 5]\) na grafu ni kama inavyoonekana katika takwimu hapa chini.

    clipboard_e335bc0a4c68c53a86ca3273caf045e67.png

    Tatua na graph kuweka suluhisho.

    1. \(\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3\)
    2. \(2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5\)
    3. \(|2 − 4x| ≥ −7\)

    Suluhisho

    1. Thamani kamili\(\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3\) ya usawa ni katika mfumo wa\(|a| ≥ b\). Tumia Mali 2 (ii)\(a = \dfrac{6 − x}{10}\) na na\(b = 3\) kutatua usawa.

    \(\begin{array} & & &\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3 &&\text{Given} \\ &\dfrac{6 − x}{10} ≤ −3 &\text{ or } &\dfrac{6 − x}{10} ≥ 3 &\text{Property 2 (ii)} \\ &6 − x ≤ −30 &\text{ or } &6 − x ≥ 30 &\text{Multiply by \(10\)pande zote mbili}\\ &,1x ≤ -36 &\ maandishi {au} &-x ≥ 24 &\ maandishi {Ondoa\(6\) kutoka pande zote mbili}\\ &x ≥ 36 &\ maandishi {au} &x ≤ -24 &\ maandishi {Kuzidisha kwa\(−1\)}\ mwisho {safu}\)

    Kumbuka kuwa tangu kutofautiana kuliongezeka kwa idadi hasi, yaani\(−1\), mwelekeo wa usawa ulibadilishwa.

    Suluhisho la kuweka ni umoja wa vipindi viwili. Hivyo,\((−∞, −24] ∪ [36, ∞)\) ni ufumbuzi kuweka katika nukuu ya muda. Grafu ya suluhisho ni kama inavyoonekana katika takwimu hapa chini.

    clipboard_e994fe946d0c11e329dc3c0829b29b123.png

    1. Sulua thamani kamili.

    \(\begin{array} &&2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5 &\text{Given} \\ &7 < \left| \dfrac{3}{4} x − 3 \right| &\text{Add \(5\)kwa pande zote mbili}\ mwisho {array}\)

    Kumbuka kuwa usawa hapo juu unasomewa kutoka kulia kwenda kushoto kama “thamani kamili ya kujieleza\(\dfrac{3}{4} x − 3\) ni kubwa kuliko\(7\)" au kubadili sawa utaratibu wa usawa wa thamani kamili kuwa nayo\(\dfrac{3}{4} x − 3 > 7\), ambayo ni fomu ya kawaida zaidi ya kutatua.

    Sasa,\(\dfrac{3}{4} x − 3 > 7\) ni ya fomu\(|a| > b\). Matumizi Mali 2 (ii) na\(a = \dfrac{3x}{4} − 3\) na\(b = 7\).

    \(\begin{array} && &\dfrac{3}{4} x − 3 > 7 &&\text{Given} \\ &\dfrac{3}{4} x − 3 < −7 &\text{ or } &\dfrac{3}{4}x − 3 > 7 &\text{Property 2 (ii)}\\ &\dfrac{3}{4} x < −4 &\text{ or } &\dfrac{3}{4} x > 10 &\text{Add \(3\)kwa pande zote}\\ &x < −\ dfrac {16} {3} &\ text {or} &x >\ dfrac {40} {3} &\ maandishi {Panua pande zote mbili kwa\(\dfrac{4}{3}\).} \ mwisho {safu}\)

    Suluhisho la kuweka ni muungano wa vipindi viwili,\((− ∞, −\dfrac{16}{3}] ∪ [\dfrac{40}{3}, ∞)\). Grafu ya suluhisho ni kama inavyoonekana katika takwimu hapa chini

    clipboard_efb943e2ff7407d1b4777246c86c52bee.png

    1. Kwa kuwa daima\(|2 − 4x|\) ni kubwa kuliko au sawa na\(0\) kwa idadi yoyote halisi\(x\) basi, thamani kamili usawa ni kweli kwa idadi zote halisi. Hebu\(x\) kuwa nambari yoyote halisi, hasi au chanya, basi thamani kamili itakuwa\(0\) ama namba nzuri.

    Hivyo, kuweka suluhisho ni namba zote halisi kwenye mstari wa nambari, kama inavyoonekana katika takwimu hapa chini. Suluhisho lililowekwa katika notation ya muda ni\((−∞, ∞)\).

    clipboard_e0e607828723541fb83638051b94dbe29.png

    Tatua usawa wafuatayo, weka majibu katika uhalali wa muda, na graph seti za ufumbuzi:

    1. \(|−6x + 1| < 20\)
    2. \(\left| \dfrac{2}{3} x + 5 \right| > 5\)
    3. \(\left| 5 − \dfrac{1}{4} x \right| < −71\)
    4. \(2 \left| − x + \dfrac{4}{5} \right| ≤ \dfrac{5}{2}\)
    5. \(−\dfrac{1}{7} < |x + 10| − 10\)
    6. \(|−12 − 3x| < −0.6\)
    7. \(\left|\dfrac{16 − 2x}{8} \right| ≥ 11\)
    8. \(|2 − 6x| − 5 ≥ −9\)
    9. \(\left| \dfrac{2}{3} x − \dfrac{1}{4} \right| ≤ \dfrac{1}{12}\)
    10. \(|.02x + 5| < .02\)
    11. \(\left| \dfrac{1}{2} − x \right| < 8\)
    12. \(| − 6x + 9| − 5 < −6\)