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8.3 : Factorisation et recherche de solutions polynomiales (zéros)

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Il existe plusieurs manières de trouver des solutions de polynômes qui sont des trinômes de la forme\(ax^2 + bx + c = 0\). Ces solutions sont également appelées zéros réels des polynômes.

    1. Méthode d'affacturage par essais et vérifications : Avec cette méthode, l'objectif est de créer deux binômes qui, lorsqu'ils sont multipliés ensemble, donnent le trinôme donné. Cette méthode peut être très difficile lorsque le trinôme donné a de grandes valeurs de\(a\) et\(c\). Une fois l'affacturage terminé, trouvez tous les zéros réels en utilisant la propriété du facteur zéro et en définissant chaque facteur comme égal\(0\) et résolvez pour\(x\).
    2. Méthode d'affacturage factorielle par regroupement : Avec cette méthode, l'objectif est de créer quatre termes en divisant le terme moyen en deux termes, dont les coefficients ont un produit\(a ∗ c\) et une somme de\(b\). L'ordre des termes centraux n'a pas d'importance. Une fois les quatre termes créés, associez les deux premiers termes à des parenthèses, associez les deux seconds termes à des parenthèses et soustrayez le GCF des deux paires. Le binôme répété qui en résulte est un facteur, et les facteurs GCF se combinent pour former le second binôme. C'est la méthode la plus simple à utiliser sur n'importe quel trinôme factorable du formulaire\(ax^2 + bx + c\), mais elle peut nécessiter un peu d'apprentissage. Une fois l'affacturage terminé, trouvez tous les zéros réels en utilisant la propriété du facteur zéro et en définissant chaque facteur comme égal\(0\) et résolvez pour\(x\).
    3. La formule quadratique : La formule quadratique peut être utilisée pour trouver les vrais zéros d'un trinôme factorable. Veuillez consulter la table des matières pour trouver la section expliquant comment utiliser la formule quadratique.

    Factoriez les expressions à l'aide de l'une des méthodes décrites dans cette section (ces exemples de problèmes illustreront la méthode Factor by Grouping) :

    1. \(4x^2 − 3x − 10\)
    2. \(8x^2 − 2x − 3\)
    3. \(12x − 14x^3 + 22x^2\)
    4. \(\dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4}\)
    5. \(\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)(2x + 1)^{-\frac{1}{2}}}{2x + 1}\)
    Solution
    1. \(\begin{array} &&4x^2 − 3x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &4x^2 − 3x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Product \(ac\)Oui\(4∗(−10) = −40\), Sum l'est\(b = −3\). Pour utiliser le facteur par regroupement,} \ \ & & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {deux termes intermédiaires sont nécessaires qui se multiplient par un produit\(−40\) et s'ajoutent à une somme de\(−3\).} \ & & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {\(8\)et \(5\)sont de bons candidats ; Puisque le produit doit être négatif, l'une de ces valeurs doit être négative.} \ \ & & ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ est\(−40\) et leur somme est\(−3\).} \ \ &\(−8\)\(5\) ; 4x^2 − 8x + 5x − 10 & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {Quatre termes, la somme des deux termes intermédiaires est le moyen terme original,\(−3x\)} \ & (4x^2 − 8x) + (5x − 10) & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {Créer des paires de termes} \ \ &4 x (x − 2) + 5 (x − 2) & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {Facteur le GCF de chaque paire - un facteur binomial répété est toujours présent} \ \ & (4x + 5) (x − 2) & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {Solution. Assurez-vous de vérifier par FOIL.} \ end {tableau} \)
    1. \(\begin{array} &&8x^2 − 2x − 3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &8x^2 − 2x − 3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Product \(ac\)Oui\(8∗(−3) = −24\), Sum l'est\(b = −2\). Pour utiliser le facteur par regroupement,} \ \ & & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {deux termes intermédiaires sont nécessaires qui se multiplient par un produit\(−24\) et s'ajoutent à une somme de\(−2\).} \ \ & & & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {\(6\)et\(4\) sont bons candidats ; Puisque le produit doit être négatif, l'une de ces valeurs doit être négative.} \ \ & & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {\(−6\)et le positif\(4\) fonctionnera, car leur produit est\(−24\) et leur somme l'est\(−2\).} \ \ &8x^2 + 4x − 6x − 3 & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {Quatre termes, la somme des deux termes intermédiaires est le terme intermédiaire d'origine,\(−2x\).} \ \ & & & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {L'ordre des deux termes intermédiaires n'a pas d'importance.} \ \ & (8x^2 + 4x) + (−6x − 3) & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {Créez des paires de termes. Remarquez l'ajout entre parenthèses ;} \ \ & & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {le troisième des quatre termes était négatif ici, donc le signe reste avec le terme.} \ \ &4x (+ 1) + (−3) (2x + 1) & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {Facturez GCF de chaque paire : un facteur binomial répété est toujours présent} \ \ & (4x − 3) (2x + 1) & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {Solution. Assurez-vous de vérifier par FOIL.} \ end {tableau} \)
    1. \(\begin{array} && 12x − 14x^3 + 22x^2 &\text{Example problem} \\ &−14x^3 + 22x^2 + 12x &\text{Reorder the terms in decreasing order of variable degree.} \\ &2x(−7x^2 + 11x + 6) &\text{Factor out the GCF so a trinomial results that can be factored using factor by grouping.} \\ & &\text{The GCF of \(2x\)sera inclus dans la réponse finale, alors ne l'oubliez pas.} \ \ &−7x^2 + 11x + 6 & \ text {\(ac\)Le produit est\(−7 ∗ 6 = −42\), la somme est\(b = 11\). Pour utiliser le facteur par regroupement,} \ \ & & \ text {deux termes intermédiaires sont nécessaires qui se multiplient par un produit de\(−42\) et s'ajoutent à une somme de\(11\).} \ \ & & & \ text {Aucun nombre ne répond à ces deux exigences,} \ \ & & \ text {ce qui signifie que le trinôme n'est pas factorisable en facteurs entiers.} \ \ &−7x^2 + 11x + 6 & \ text {Pour trouver les facteurs et les zéros du polynôme, utilisez la formule quadratique.} \ \ & & & \ text {Let\(a = −7\)\(b = 11\),\(c = 6\)} \ \ &x = \ dfrac {−11 ± \ sqrt {11^2 − 4 (−7) (6)}} {2 (−7)} & {text Formule quadratique} \ \ &x = \ dfrac {−11 ± \ sqrt {121 + 168}} {-14} & \ text {Simplifier} \ \ &x = \ dfrac {11 ± \ sqrt {289}} {14} & \ text {Séparer\(−1\) de tous les termes} \ \ &x = \ dfrac {11 ± \ sqrt {289}}} {14} = 2, \ ; \ ; x = \ dfrac {11 − \ sqrt {289}} {14} = − \ dfrac {3} {7} & \ text {Réponses exactes pour les zéros sous forme radicale, suivis d'un nombre réel forme.} \ \ & (x − 2), \ ; \ ; (x + - \ dfrac {3} {7}) & \ text {Facteurs. Veillez à insérer le bon\(±\) dans les facteurs.} \ \ & & \ text {Trouvez les solutions, puis faites de l'ingénierie inverse pour déterminer le facteur qui produira cette solution.} \ \ & & & \ text {La première solution issue de la formule quadratique était\(x = 2\).} \ \ & & \ text {Un facteur de \((x − 2)\)lorsque ce paramètre est égal à\(0\) produira la solution de\(x = 2\).} \ \ & & \ text {La deuxième solution de la formule quadratique était\(x = −\dfrac{3}{7}\).} \ \ & & & \ text {Un facteur de\((x + −\dfrac{3}{7})\) volonté produira la solution de\(x = −\dfrac{3}{7}\).} \ \ &2x (x − 2) (x + \ dfrac {3} {7}) & \ text { Facteurs polynomiaux, y compris le GCF initial qui a été pris en compte au début de ce problème.} \ end {tableau} \)
    1. \(\begin{array} && \dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &\dfrac{2(x^2 + 1)[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{(x^2 + 1)(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Factor out the GCF from the numerator.} \\ &\dfrac{2\cancel{(x^2 + 1)}[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{\cancel{(x^2 + 1)}(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Remove common factors.} \\ &\dfrac{2[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Remove common factors.} \\ &\dfrac{2[−x^2 − 1 + 4x^2]}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &\dfrac{2(3x^2 − 1)}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Final answer.} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)(2x + 1)^{-\frac{1}{2}}}{2x + 1} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} −\dfrac{(x + 2)}{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}}}{2x + 1} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Write the expression with a positive exponent (move it to the denominator).} \\ &\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)}{\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}}{2x + 1}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Write the numerator with a common denominator.} \\ &\dfrac{2x + 1 − x − 2}{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} (2x + 1)} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplified.} \\ &\dfrac{2x + 1 − x − 2}{(2x + 1)^{\frac{3}{2}}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Final answer.} \end{array}\)

    Facturez en utilisant l'une des méthodes décrites dans cette section :

    1. \(5x^2 − 23x − 10\)
    2. \(8x^2 + 2x − 3\)
    3. \(3x^2 − 7x − 6\)
    4. \(10x^2 + 13x − 5\)
    5. \(12x^5 − 17x^4 + 6x^3\)
    6. \(\dfrac{(2x^2 − 1)^2 (−2) + (2x)2(2x^2 − 1)(2x)}{(2x^2 − 1)^4}\)
    7. \(\dfrac{2(2x − 3)^{\frac{1}{3}} − (x − 1)(2x − 3)^{-\frac{2}{3}}}{2x − 3^{\frac{2}{3}}}\)

    Formule quadratique

    Définition : Formule quadratique

    La formule quadratique est utilisée pour résoudre (ou trouver les zéros) d'un polynôme (équation quadratique) de degré\(2\) qui se trouve dans la forme\(ax^2 + bx + c = 0\). La formule quadratique est la suivante :

    \[x = \dfrac{−b ± \sqrt{b^2 − 4ac}}{2a} \nonumber \]

    \(a\)\(b\), et\(c\) sont les coefficients de la forme standard d'une équation quadratique,\(ax^2 + bx + c = 0\).

    Pour les fonctions suivantes, recherchez tous les zéros de\(f\) l'utilisation de la formule quadratique. Exprime la réponse finale sous forme de réponses exactes (sous forme radicale) et également sous forme de décimales, arrondies au millième.

    1. \(f(x) = −2x^2 + 4x − 1\)
    2. \(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x\)
    Solution
    1. Set\(f(x) = 0: −2x^2 + 4x − 1 = 0\). Cette fonction est écrite sous la forme\(ax^2 + bx + c = 0\)\(a = −2\), avec\(b = 4\) et\(c = −1\).

    En remplaçant\(a\),\(b\) et\(c\) dans la formule quadratique, par ces valeurs :

    \(\begin{array} &&x = \dfrac{−4 ± \sqrt{4^2 − 4(−2)(−1)}}{2(−2)} &\;\;\;\;\;\text{Quadratic Formula} \\ &x = \dfrac{−4 ± \sqrt{(16 − 8)}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{−4 ± \sqrt{8}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{−4 ± 2 \sqrt{2}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify the radical} \\ &x = \dfrac{2 ± \sqrt{2}}{2} &\;\;\;\;\;\text{Exact answers in radical form} \\ &x = \dfrac{2 − \sqrt{2}}{2} ,\;\; x = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{2} &\;\;\;\;\;\text{Exact answers written as two roots} \\ &x = 0.293 \text{ and } x = 1.707 &\;\;\;\;\;\text{Approximation answers rounded to the thousandths place} \end{array}\)

    1. La fonction\(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x\) est une fonction cubique. Éliminez\(x\) les trois termes avant d'utiliser l'équation quadratique sur le facteur trinomial :\(x(x^2 − 3x − 4) = 0\)\(a = 1\), avec\(b = −3\) et\(c = −4\).

    N'oubliez pas que ce\(x\) qui a été pris en compte est une racine, à savoir\(x = 0\).

    En remplaçant\(a\),\(b\) et\(c\) dans la formule quadratique, par ces valeurs :

    \(\begin{array} &&x = \dfrac{3 ± \sqrt{(−3)2 − 4(1)(−4)}}{2(1)} &\text{Quadratic Formula} \\ &x = \dfrac{3 ± \sqrt{(16 + 9)}}{2} &\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{3 ± \sqrt{25}}{2} &\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{3 ± 5}{2} &\text{Simplify further} \\ &x = \dfrac{3 − 5}{2} ,\;\;x = \dfrac{−2}{2} ,\;\; x = −1 &\text{Second root (first root is \(x = 0\))} \ \ &x = \ dfrac {3 + 5} {2}, \ ; \ ; x = \ dfrac {8} {2}, \ ; \ ; x = 4 & \ text {Troisième racine} \ end {tableau} \)

    Il existe trois solutions, ou racines de la fonction cubique\(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x: x = 0\),\(x = −1\) et\(x = 4\).

    Pour les fonctions suivantes, recherchez tous les zéros de\(f\) l'utilisation de la formule quadratique. Exprime la réponse finale sous forme de réponses exactes (sous forme radicale) et également sous forme de décimales, arrondies au millième.

    1. \(f(t) = 9t^3 − 18t^2 + 6t\)
    2. \(f(x) = x^5 − 4x^4 − 32x^3\)
    3. \(f(x) = 18 − 3x − 2x^2\)
    4. \(f(x) = 12x^2 + 11x − 5\)
    5. \(f(x) = 3x^2 − 6x + 2\)