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6.3 : Résoudre les inégalités de valeurs absolues et écrire les réponses en notation par intervalles

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    La section précédente a enseigné comment résoudre des équations de valeurs absolues. Cette section explique comment résoudre les inégalités de valeurs absolues. Pour ce faire, considérez d'abord les deux propriétés suivantes :

    Définition : Propriétés des inégalités de valeurs absolues

    Propriété 1 : Pour tous les nombres\(b\) positifs et tous les nombres réels\(p\) et\(q\),

    1. \(|a| < b\)si et seulement si\(−b < a < b\).

    L'ensemble de solutions se présente sous la forme\((p,q)\) d'un intervalle ouvert unique.

    1. \(|a| ≤ b\)si et seulement si\(−b ≤ a ≤ b\).

    L'ensemble de solutions se présente sous la forme\([p,q]\) d'un intervalle fermé unique.

    Avant d'examiner la propriété 2, il est important de définir l'union de deux intervalles. L'union de deux intervalles\(A\) et\(B\), est l'ensemble des éléments contenus dans\(A\), ou\(B\), ou les deux. Le syndicat est représenté par le symbole\(∪\).

    Propriété 2 : Pour tous les nombres\(b\) positifs et tous les nombres réels\(p\) et\(q\),

    1. \(|a| > b\)si et seulement si\(a < −b\) ou\(a > −b\)

    L'ensemble de solutions a la forme\((−∞, p) ∪ (q, ∞)\) d'un intervalle disjoint.

    1. \(|a| ≥ b\)si et seulement si\(a ≤ −b\) ou\(a ≥ b\).

    L'ensemble de solutions a la forme\((−∞, p] ∪ [q, ∞)\) d'un intervalle disjoint.

    Notez qu'avant d'appliquer les propriétés des inégalités, isolez l'expression de valeur absolue de chaque côté de l'inégalité.

    Résolvez les inégalités suivantes et représentez graphiquement l'ensemble de solutions.

    1. \(|5x − 2| < 7\)
    2. \(|8x − 6| < −1\)
    3. \(2|x − 3| + 5 ≤ 9\)

    Solution

    1. Il s'agit d'une expression de valeur absolue inférieure à un nombre positif du formulaire\(|a| < b\). Appliquez la propriété 1 (i) avec\(a = 5x − 2\) et\(b = 7\).

    \(\begin{array} &&|5x − 2| < 7 &\text{Given} \\ &−7 < 5x − 2 < 7 &\text{Property 1 (i)} \end{array}\)

    Pour résoudre l'inégalité, isolez-vous\(x\). L'étape précédente devient,

    \(\begin{array} &&−5 < 5x < 9 &\text{Add \(2\)sur tous les côtés} \ \ &−1 < x < \ dfrac {9} {5} & \ text {Divisez tous les côtés par\(5\)} \ end {array} \)

    L'ensemble de solutions est l'intervalle ouvert unique\(\left(−1, \dfrac{9}{5} \right)\) et le graphique est illustré dans la figure ci-dessous.

    clipboard_eee2ec390ebb3481038f3625204438819.png

    1. N'oubliez pas que la valeur absolue d'un nombre est la distance\(0\) entre ce nombre et ce nombre sur la ligne numérique. Cela signifie que la valeur absolue d'un nombre est toujours supérieure ou égale à\(0\).

    Cet exemple donne ce\(|8x − 6| < −1,\) qui ne peut pas se produire puisqu'une distance n'est jamais négative. Ainsi, l'inégalité des valeurs absolues n'a pas de solution et l'ensemble de solutions est l'ensemble vide, écrit\(\phi\).

    1. Pour résoudre ce problème\(2|x − 3| + 5 ≤ 9\), isolez la valeur absolue.

    \(\begin{array} &&2|x − 3| + 5 ≤ 9 &\text{Given} \\ &2|x − 3| ≤ 4 &\text{Subtract \(5\)des deux côtés} \ \ &|x − 3| ≤ 2 & \ text {Divisez les deux côtés par\(2\)} \ end {array} \)

    Maintenant,\(|x − 3| ≤ 2\) c'est de la forme\(|a| ≤ b\). Appliquez la propriété 1 (ii) avec\(a = x − 3\) et\(b = 2\).

    \(\begin{array} &&|x − 3| ≤ 2 & \\&− 2 ≤ x − 3 ≤ 2 &\text{Property 1(ii)} \\ &1 ≤ x ≤ 5 & \end{array}\)

    L'ensemble de solutions est l'intervalle unique\([1, 5]\) et le graphique est illustré dans la figure ci-dessous.

    clipboard_e335bc0a4c68c53a86ca3273caf045e67.png

    Résolvez et graphiez l'ensemble de solutions.

    1. \(\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3\)
    2. \(2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5\)
    3. \(|2 − 4x| ≥ −7\)

    Solution

    1. L'inégalité en valeur absolue\(\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3\) se présente sous la forme de\(|a| ≥ b\). Appliquez la propriété 2 (ii) avec\(a = \dfrac{6 − x}{10}\) et\(b = 3\) pour résoudre l'inégalité.

    \(\begin{array} & & &\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3 &&\text{Given} \\ &\dfrac{6 − x}{10} ≤ −3 &\text{ or } &\dfrac{6 − x}{10} ≥ 3 &\text{Property 2 (ii)} \\ &6 − x ≤ −30 &\text{ or } &6 − x ≥ 30 &\text{Multiply by \(10\)recto et verso} \ \ &−x ≤ −36 & \ text {ou} &−x ≥ 24 & \ text {Soustrayez\(6\) des deux côtés} \ \ &x ≥ 36 & \ text {ou} &x ≤ −24 & \ text {Multipliez par\(−1\)} \ end {array} \)

    Notez que puisque les inégalités ont été multipliées par un nombre négatif\(−1\), c'est-à-dire que la direction de l'inégalité a changé.

    L'ensemble de solutions est l'union des deux intervalles. Ainsi,\((−∞, −24] ∪ [36, ∞)\) la solution est-elle définie en notation par intervalles. Le graphique de la solution est illustré dans la figure ci-dessous.

    clipboard_e994fe946d0c11e329dc3c0829b29b123.png

    1. Isolez la valeur absolue.

    \(\begin{array} &&2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5 &\text{Given} \\ &7 < \left| \dfrac{3}{4} x − 3 \right| &\text{Add \(5\)des deux côtés} \ end {array} \)

    Notez que l'inégalité ci-dessus est lue de droite à gauche comme « la valeur absolue de l'expression\(\dfrac{3}{4} x − 3\) est supérieure à\(7\) » ou changez de manière équivalente l'ordre de l'inégalité de valeur absolue à avoir\(\dfrac{3}{4} x − 3 > 7\), ce qui est une forme plus courante à résoudre.

    Maintenant,\(\dfrac{3}{4} x − 3 > 7\) c'est de la forme\(|a| > b\). Utilisez la propriété 2 (ii) avec\(a = \dfrac{3x}{4} − 3\) et\(b = 7\).

    \(\begin{array} && &\dfrac{3}{4} x − 3 > 7 &&\text{Given} \\ &\dfrac{3}{4} x − 3 < −7 &\text{ or } &\dfrac{3}{4}x − 3 > 7 &\text{Property 2 (ii)}\\ &\dfrac{3}{4} x < −4 &\text{ or } &\dfrac{3}{4} x > 10 &\text{Add \(3\)sur tous les côtés} \ \ &x < − \ dfrac {16} {3} & \ text {or} &x > \ dfrac {40} {3} & \ text {Multipliez les deux côtés par\(\dfrac{4}{3}\).} \ end {tableau} \)

    L'ensemble de solutions est l'union des deux intervalles,\((− ∞, −\dfrac{16}{3}] ∪ [\dfrac{40}{3}, ∞)\). Le graphique de la solution est illustré dans la figure ci-dessous

    clipboard_efb943e2ff7407d1b4777246c86c52bee.png

    1. Comme elle\(|2 − 4x|\) est toujours supérieure ou égale à\(0\) pour tous les nombres réels,\(x\) l'inégalité des valeurs absolues est vraie pour tous les nombres réels. \(x\)Soit n'importe quel nombre réel, négatif ou positif, alors la valeur absolue sera\(0\) soit un nombre positif.

    Ainsi, l'ensemble de solutions est constitué de tous les nombres réels sur la ligne numérique, comme indiqué dans la figure ci-dessous. La solution définie en notation par intervalles est\((−∞, ∞)\).

    clipboard_e0e607828723541fb83638051b94dbe29.png

    Résolvez les inégalités suivantes, écrivez les réponses en notation par intervalles et représentez graphiquement les ensembles de solutions :

    1. \(|−6x + 1| < 20\)
    2. \(\left| \dfrac{2}{3} x + 5 \right| > 5\)
    3. \(\left| 5 − \dfrac{1}{4} x \right| < −71\)
    4. \(2 \left| − x + \dfrac{4}{5} \right| ≤ \dfrac{5}{2}\)
    5. \(−\dfrac{1}{7} < |x + 10| − 10\)
    6. \(|−12 − 3x| < −0.6\)
    7. \(\left|\dfrac{16 − 2x}{8} \right| ≥ 11\)
    8. \(|2 − 6x| − 5 ≥ −9\)
    9. \(\left| \dfrac{2}{3} x − \dfrac{1}{4} \right| ≤ \dfrac{1}{12}\)
    10. \(|.02x + 5| < .02\)
    11. \(\left| \dfrac{1}{2} − x \right| < 8\)
    12. \(| − 6x + 9| − 5 < −6\)