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5.9 : Exposants rationnels

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Les exposants ne sont pas toujours des entiers. Cette section examinera les cas où un exposant est un nombre rationnel. Lorsqu'un exposant est un nombre rationnel, l'expression peut être écrite sous la forme d'une expression avec un radical. La règle est d'écrire votre réponse sous la même forme que le problème initial (si vous commencez par des exposants, terminez par des exposants, ou si vous commencez par des radicaux, terminez par des radicaux).

    Définition : Exposants rationnels de la forme\(\dfrac{1}{n}\)

    Pour tout nombre réel\(a\) et tout nombre entier\(n\), une expression avec l'exposant de\(\dfrac{1}{n}\) peut être exprimée comme suit :

    \[a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \nonumber \]

    Remarque :\(n\) est l'indice dans le radical. \(\sqrt[n]{a}\)est lu « la racine nième d'un »

    Remarque : Lorsque le radical n'a pas d'indice visible, l'indice par défaut est\(2\) (racine carrée). Des indices supérieurs à ceux qui\(2\) seront marqués sur le radical.

    1. \((4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\)\(\text{Index is \(2\)par défaut} \)
    2. \( (x)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{x}\)\(\text{Index is \(7\)} \)
    3. \((−3y)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{(-3y)}\)\(\text{Index is \(3\)} \)

    Maintenant, observons ce qui se passe lorsque l'exposant est un nombre rationnel avec numérateur\(\neq 1\).

    Définition : Exposants rationnels de la forme\(\dfrac{m}{n}\)

    Pour tout nombre réel\(a\) et tout nombre entier\(n\) et\(m\), une expression avec l'exposant de\(\dfrac{m}{n}\) peut être exprimée comme suit :

    \[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \text{ or } (\sqrt[n]{a})^m \nonumber \]

    Remarque :\(n\) est l'indice dans le radical et\(m\) est la puissance de la base.

    Écrivez ce qui suit sous forme radicale

    1. \((x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2\)\(\text{Index is \(3\)et la base est élevée à la puissance de\(2\).} \)
    2. \((5t)^{\frac{7}{8}} = \sqrt[8]{5t^7} = (\sqrt[8]{5t})^7\)\(\text{Index is \(8\)et la base est portée à la\(7\) puissance.} \)
    3. \((x)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2\)\(\text{Index is \(3\)et base portée au pouvoir\(2\).} \)
    4. \(\begin{array} &&(z)^{−\frac{5}{9}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Given} \\ &= \dfrac{1}{(z)^{\frac{5}{9}}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Negative exponent rule applied} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt[9]{x^5}} \text{ or } \left( \dfrac{1}{\sqrt[9]{x}} \right)^5 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Rational exponent written as a radical.} \end{array}\)
    5. \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{5}{7}} = \sqrt[7]{\dfrac{3}{4}^5}\)\(\text{Rational exponent written as radical with index \(7\)et base élevée à la puissance de\(5\).} \)

    Écrivez ce qui suit sous forme radicale.

    1. \((x)^{\frac{5}{7}}\)
    2. \((xy)^{\frac{9}{8}}\)
    3. \((x)^{\frac{9}{5}}\)
    4. \((z)^{−\frac{11}{13}}\)
    5. \(\left( \dfrac{x}{4} \right)^{\frac{6}{9}}\)
    6. \(6(y)^{\frac{1}{17}}\)
    7. \((6y)^{\frac{1}{17}}\)
    8. \(\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{x}{y}}\)
    9. \(\left( \dfrac{7}{4} \right)^{(−\frac{x}{y})}\)