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5.6 : Règle de puissance pour les exposants

  • Page ID
    165654
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Cette règle permet de simplifier une expression exponentielle portée à une puissance. Cette règle est souvent confondue avec la règle du produit. Il est donc important de comprendre cette règle pour réussir à simplifier les expressions exponentielles.

    Définition : La règle de puissance pour les exposants

    Pour tout nombre réel\(a\) et tous les nombres\(m\) et\(n\), la règle de puissance pour les exposants est la suivante :

    \((a^m)^n = a^{m\cdot n}\)

    Idée :

    Étant donné l'expression

    \(\begin{aligned} &(2^2 )^3 && \text{Use the exponent definition to expand the expression inside the parentheses.} \\ &(2 \cdot 2)^3 && \text{Now use the exponent definition to expand according to the exponent outside the parentheses.}\\ &(2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 2^6 && = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{1+1+1+1+1+1 }= 2^{6} \text{ (Product Rule of Exponents) }\end{aligned}\)

    Par conséquent,\((2^2 ) ^3 = 2^{2\cdot 3 }= 2^6\)

    Simplifiez l'expression suivante à l'aide de la règle de puissance pour les exposants.

    \((−3^4 )^3\)

    Solution

    \((−3)^{4\cdot 3 }= (−3)^{12}\)

    Simplifiez l'expression suivante à l'aide de la règle de puissance pour les exposants.

    \((−3^4 )^3\)

    Solution

    \((5y)^{3\cdot 7 }= (5y)^{21}\)

    Simplifiez l'expression suivante à l'aide de la règle de puissance pour les exposants.

    \(((−y)^5 )^2\)

    Solution

    \((−y)^{5\cdot 2 }= (−y)^{10 }= y^{10}\)

    Simplifiez l'expression suivante à l'aide de la règle de puissance pour les exposants.

    \((x^{−2 })^3\)

    Solution

    \(x^{−2\cdot 3 }= x^{−6 }= \dfrac{1 }{x^6}\)

    Conseil : La présence de parenthèses dans le problème est un bon indicateur de la simplification de l'utilisation de la règle de puissance pour les exposants.

    Simplifiez l'expression en utilisant la règle de puissance pour les exposants.

    1. \((x^3 )^5\)
    2. \(((−y)^3 )^7\)
    3. \(((−6y)^8 ) ^{−3}\)
    4. \((x^{−2 }) ^{−3}\)
    5. \((r^4 )^5\)
    6. \((−p^7 )^7\)
    7. \(((3k)^{−3 })^5\)