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5.2 : La règle du produit pour les exposants

  • Page ID
    165670
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Définition : La règle du produit pour les exposants

    Pour tout nombre réel ou positif\(a\)\(m\) et\(n\), la règle du produit pour les exposants est la suivante.

    \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)

    Remarque : Les bases doivent être les mêmes pour utiliser la règle du produit.

    Idée :

    À partir de la dernière section,\(x^3 = \textcolor{blue}{ x \cdot x \cdot x }\qquad x^5 = \textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}\)

    Leur produit

    \(x^3 \cdot x^5 = \textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x} \textcolor{red}{\cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x} = x^8\)

    Par conséquent,\(x^3 \cdot x^5 = x^{3+5 }= x^8\)

    Utilisez la règle du produit des exposants pour simplifier les expressions.

    1. \(k^3 \cdot k^9\)
    2. \(\left(\dfrac{2 }{7}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{2 }{7}\right)^6\)
    3. \((−2a)^3 \cdot (−2a)^7\)
    4. \(x \cdot x^3 \cdot x^{11}\)
    5. \(y^{13 }\cdot y^{33}\)
    6. \(x^3 \cdot y^2 \cdot x \cdot y^4\)
    Solution
    Expression Règle du produit Base
    \(k^3 \cdot k^9\) \(k^{3+9}= k^{12}\) \(k\)
    \(\left(\dfrac{2 }{7}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{2 }{7}\right)^6\) \(\left( \dfrac{2 }{7}\right)^{2+6 }= \left(\dfrac{2 }{7}\right)^8\) \(\dfrac{2}{7}\)
    \((−2a)^3 \cdot (−2a)^7\) \((−2a)^{3+7 }= (−2a)^{10}\) \(-2a\)
    \(x \cdot x^3 \cdot x^{11}\) \(x ^{1+3+11 }= x^{15}\) \(x\)
    \(y^{13 }\cdot y^{33}\) \(y^{13+33 }= y^46\) \(y\)
    \(x^3 \cdot y^2 \cdot x \cdot y^4\) \(x^{3+1 }\cdot y ^{2+4 }= x^{ 4 }\cdot y^{6}\) \(x\)et\(y\)

    Remarque : Encore une fois, les bases DOIVENT être les mêmes pour simplifier l'utilisation de la règle du produit de l'exposant

    Étapes utiles pour simplifier l'utilisation de la règle de produit des exposants :

    1. Identifiez les termes avec des bases communes
    2. Identifiez l'exposant des bases communes.
    3. Ajoutez des exposants de bases communes et faites du résultat de la somme le nouvel exposant.
    4. Répétez les étapes selon les besoins

    Utilisez la règle de produit des exposants pour simplifier ce qui suit.

    1. \(f^3 \cdot f^11\)
    2. \(\left(\dfrac{x}{7}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{x }{7}\right)^3\)
    3. \((−7x)^9 \cdot (−7x)^7\)
    4. \(h^5 \cdot h^3 \cdot h^{11}\)
    5. \(t^{13} \cdot t^{33}\)
    6. \(x^8 \cdot y^2 \cdot z \cdot x^ 3 \cdot y^2 \cdot z^{17}\)
    7. \(x^3 \cdot y^4 \cdot x^3\)