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8.2 : Multiplication polynomiale

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    Les polynômes peuvent être classés comme suit :

    • Monomiaux s'ils contiennent un terme.
    • Binômes s'ils contiennent deux termes.
    • Les trinômes s'ils contiennent trois termes.
    • Polynômes s'ils contiennent trois termes ou plus.

    Il n'y a pas d'exemples ni de devoirs dans cette section.

    Multiplication de deux monômes

    Définition : Multiplier deux monômes

    Pour multiplier deux monômes, multipliez les termes ensemble en ajoutant les exposants et en multipliant les coefficients numériques.

    Multipliez deux monômes :

    1. \((3x^2 )(6x^3 )\)
    2. \((4x)(x)\)
    3. \((−2x^3 )(−7x^4 )\)
    Solution
    1. \(\begin{array} &&(3x^2 )(6x^3 ) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(3)(6)(x^{2+3}) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents on the variables using the Product Rule for Exponents} \\ &18x^5 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&(4x)(x) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(4)(1)(x^{1+1}) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents. The coefficient on \(x\)est\(1\), et l'exposant sur chacune\(x\) est\(1\).} \ \ &4x^2 & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {Solution} \ end {array} \)
    1. \(\begin{array} &&(−2x^3 )(−7x^4 ) &\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(−2)(−7)(x^{3+4}) &\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents.} \\ &14x^7 &\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)

    Multipliez deux monômes :

    1. \((−3x^4 )(9x^7 )\)
    2. \((2x)(2x)\)
    3. \((−4x^7 )(5x^5 )\)
    4. \((−6x^2 )(−x^2 )\)

    Multiplication d'un polynôme par un monomial

    Définition : Multiplier un polynôme par un monomial

    Pour multiplier un polynôme par un monomial, multipliez tous les termes du polynôme par le monomial. Conservez toutes les soustractions dans le polynôme d'origine avec le terme suivant la soustraction comme signe du coefficient du terme.

    Multipliez un polynôme par un monomial :

    1. \(3x^2 (15x^2 − 5x)\)
    2. \(−7x(3x^2 − 2x + 9)\)
    3. \(5x(4x^3 − 2x^2 + x − 3)\)
    Solution
    1. \(\begin{array} &&3x^2 (15x^2 − 5x) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(3x^2 )(15x^2 ) + (3x^2 )(−5x) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply all terms of the polynomial by the monomial. Then simplify by multiplying the pairs of monomials.} \\ &45x^4 + (−15x^3 ) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &45x^4 − 15x^3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&−7x(3x^2 − 2x + 9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(−7x)(3x^2 ) + (−7x)(−2x) + (−7x)(9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents. The coefficient on \(x\)est\(1\), et l'exposant sur chacune\(x\) est\(1\).} \ \ &−21x^3 + 14x^2 − 63x & \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; \ text {Solution} \ end {array} \)
    1. \(\begin{array} &&5x(4x^3 − 2x^2 + x − 3) &\text{Example problem} \\ &(5x)(4x^3 ) + (5x)(−2x^2 ) + (5x)(x) + (5x)(−3) &\text{Multiply the coefficients and add the exponents.} \\ &20x^4 − 10x^3 + 5x^2 − 15x &\text{Solution} \end{array}\)

    Multipliez un polynôme par un monomial :

    1. \((−6x)(x^2 − 3)\)
    2. \((3x^4 )(2x^2 − x − 5)\)
    3. \((−4x^5 )(x^4 − 3x^3 + 3x^2 − x − 7)\)
    4. \((x^2 )(−x^3 − 12)\)

    Multiplication de deux binômes

    Définition : Multiplier deux binômes

    Pour multiplier deux binômes, utilisez la technique FOIL pour multiplier : premiers termes, termes externes, termes internes et derniers termes. FOIL garantit que tous les termes du premier binôme sont multipliés par tous les termes du second binôme. L'ordre de multiplication des termes n'a pas d'importance puisque la multiplication est commutative. Veillez à combiner les termes similaires pour simplifier complètement la solution.

    Multipliez deux binômes :

    1. \((3x − 4)(2x + 5)\)
    2. \((5x^2 − 2)(5x^2 + 2)\)
    3. \((7x^3 − 4x^2 )(x − 5)\)
    Solution
    1. \(\begin{array} &&(3x − 4)(2x + 5) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(3x)(2x) + (3x)(5) + (−4)(2x) + (−4)(5) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &6x^2 + 15x + (−8x) + (−20) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &6x^2 + 7x − 20 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&(5x^2 − 2)(5x^2 + 2) &\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(5x^2 )(5x^2 ) + (5x^2 )(2) + (−2)(5x^2 ) + (−2)(2) &\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &25x^4 + 10x^2 + (−10x^2 ) + (−4) &\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &25x^4 − 4 &\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&(7x^3 − 4x^2 )(x − 5) &\text{Example problem} \\ &(7x^3 )(x) + (7x^3 )(−5) + (−4x^2 )(x) + (−4x^2 )(−5) &\text{FOIL the terms to multiply all terms in the first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &7x^4 + (−35x^3 ) + (−4x^3 ) + 20x^2 &\text{Combine like terms and simplify} \\ &7x^4 − 39x^3 + 20x^2 &\text{Solution} \end{array}\)

    Multipliez deux binômes :

    1. \((2x − 3)(6x + 5)\)
    2. \((3x^2 − 4)(3x^2 + 4)\)
    3. \((−4x^5 − 2)(7x^3 + 3)\)
    4. \((2x − 7)(3x − 8)\)

    Multiplication de deux polynômes

    Définition : Multiplier deux polynômes

    Pour multiplier deux polynômes, utilisez la propriété distributive pour multiplier chaque terme du premier polynôme par chaque terme du second polynôme. Des termes similaires sont ensuite combinés pour simplifier la solution.

    Multipliez deux polynômes :

    1. \((2x + 5)(3x^2 − 6x + 9)\)
    2. \((2x^2 + 4x − 5)(3x − 2)\)
    3. \((x^2 − x + 3)(2x^2 + 6x − 1)\)
    Solution
    1. \(\begin{array} &&(2x + 5)(3x^2 − 6x + 9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(2x)(3x^2 ) + (2x)(−6x) + (2x)(9) + (5)(3x^2 ) + (5)(−6x) + (5)(9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the} \\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &6x^3 + (−12x^2 ) + 18x + 15x^2 + (−30x) + 45 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &6x^3 + 3x^2 − 12x + 45 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&(2x^2 + 4x − 5)(3x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(2x^2 )(3x) + (2x^2 )(−2) + (4x)(3x) + (4x)(−2) + (−5)(3x) + (−5)(−2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the} \\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &6x^3 + (−4x^2 ) + 12x^2 + (−8x) + (−15x) + 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &6x^3 + 8x^2 − 23x + 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&(x^2 − x + 3)(2x^2 + 6x − 1) &\text{Example problem} \\ &(x^2 )(2x^2 ) + (x^2 )(6x) + (x^2 )(−1) + (−x)(2x^2 ) + (−x)(6x) + (−x)(−1) + (3)(2x^2 ) + (3)(6x) + (3)(−1) &\text{FOIL the terms to multiply all terms in the} \\ & & \text{first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &2x^4 + 6x^3 + (−1x^2 ) + (−2x^3 ) + (−6x^2 ) + x + 6x^2 + 18x + (−3) &\text{Combine like terms and simplify} \\ &2x^4 + 4x^3 − x^2 + 19x − 3 &\text{Solution} \end{array}\)

    Multipliez deux polynômes :

    1. \((x^2 − 2x − 1)(2x^2 − 7x − 8)\)
    2. \((3x^2 − 5)(x^2 + 4x − 3)\)
    3. \((4x^3 − 2x + 1)(6x^2 + 3)\)
    4. \((2x^3 − 3x + 4)(2x^2 − 8x + 2)\)