Skip to main content
Query

2.3 : La formule de distance

  • Page ID
    165726
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La section précédente a montré comment tracer des points dans le plan de coordonnées rectangulaire. Cette section explique comment déterminer la distance entre deux points quelconques du plan. Par exemple, pour déterminer la distance entre les points\((x_1, y_1)\) et\((x_2, y_2)\) considérez la formule suivante :

    Définition : Formule de distance

    La distance d entre deux points\(P_1(x_1, y_1)\) et\(P_2(x_2, y_2)\) dans le plan est donnée par :

    \(d = \sqrt {(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1)} ^2\)

    Trouvez la distance entre les points\((−5, 2)\) et\((3, 4)\)

    Solution

    \(P_2(3, 4)\)Soit\(P_1(−5, 2)\) deux points dans le plan et soit\(x_1 = −5\),\(y_1 = 2\)\(x_2 = 3\), et\(y_2 = 4\).

    En utilisant la formule de distance avec les valeurs données :

    \(\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2 } \\&= \sqrt{ (3 − (−5))^2 + (4 − 2)^2}\\& = \sqrt{ (3 + 5)^2 + (2)^2 } \\ &= \sqrt{ 8 ^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{64 + 4 }\\ &= \sqrt{ 68 } \\&= 2\sqrt{17}\end{aligned}\)

    Par conséquent, la distance entre les deux points donnés est de\(2\sqrt{17}\).

    Détermine la distance entre les points\((−2.5, −1)\) et\((−3, −1.5)\).

    Solution

    Laisse\(P_1(−2.5, −1)\) et\(P_2(−3, −1.5)\) sois des points dans le plan et laisse\(x_1 = −2.5\)\(y_1 = −1\),\(x_2 = −3\) et\(y_2 = −1.5\).

    Ensuite, en utilisant la formule de distance avec les valeurs données, on obtient,

    \(\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2}\\& = \sqrt{[−3 − (−2.5)]^2 + [−1.5 − (−1)]^2 } \\&= \sqrt{ (−3 + 2.5)^2 + (−1.5 + 1)^2} \\&= \sqrt{ (−0.5)^2 + (−0.5)^2 } \\&= \sqrt{ 0.25 + 0.25 }\\ &= \sqrt{0.5 } \\&\approx 0.71 \end{aligned}\)

    Par conséquent, la distance entre les deux points donnés est d'environ 0,71.

    1. Trouvez la distance entre\(P_1(−3, −1.5)\) et\(P_2(−2.5, − 1)\). Comparez la réponse à celle de l'exemple 2. Que peut-on en conclure ?
    2. Trouvez la distance entre\((−3, 6)\) et\((2, 4)\)
    3. Trouvez la distance entre les points\(\left( \dfrac{1 }{2} , − \dfrac{10 }{4}\right)\) et\(\left(− \dfrac{14 }{4} , − \dfrac{5 }{2}\right )\)
    4. Pourquoi la formule de distance est-elle utilisée ?