9.11 : Propulsion de fus

Objectifs d'apprentissage

• Décrire l'application de la conservation de la quantité de mouvement lorsque la masse change avec le temps, ainsi que la vitesse
• Calculez la vitesse d'une fusée dans un espace vide, à un moment donné, compte tenu des conditions initiales
• Calculez la vitesse d'une fusée dans le champ de gravité de la Terre, à un moment donné, en fonction des conditions initiales

Nous traitons maintenant du cas où la masse d'un objet change. Nous analysons le mouvement d'une fusée, qui modifie sa vitesse (et donc sa quantité de mouvement) en éjectant des gaz combustibles brûlés, la faisant ainsi accélérer dans la direction opposée à la vitesse du carburant éjecté (Figure\(\PageIndex{1}\)). Plus précisément : une fusée entièrement ravitaillée dans l'espace lointain a une masse totale m ₀ (cette masse inclut la masse initiale du carburant). À un moment donné, la fusée a une vitesse\(\vec{v}\) et une masse m ; cette masse est une combinaison de la masse de la fusée vide et de la masse du combustible non brûlé restant qu'elle contient. (Nous appelons m la « masse instantanée » et\(\vec{v}\) la « vitesse instantanée ».) La fusée accélère en brûlant le carburant qu'elle transporte et en éjectant les gaz d'échappement brûlés. Si le taux de combustion du carburant est constant et que la vitesse à laquelle les gaz d'échappement sont éjectés est également constante, quel est le changement de vitesse de la fusée à la suite de la combustion de tout son carburant ?

Figure\(\PageIndex{1}\) : La navette spatiale comportait un certain nombre de pièces réutilisables. Les propulseurs à combustible solide de chaque côté ont été récupérés et ravitaillés en carburant après chaque vol, et l'orbiteur est retourné sur Terre pour être utilisé lors de vols ultérieurs. Le grand réservoir de carburant liquide était vide. La navette spatiale était un assemblage complexe de technologies utilisant à la fois des combustibles solides et liquides et des carreaux de céramique novateurs comme écrans thermiques de rentrée. En conséquence, il a autorisé des lancements multiples par opposition aux fusées à usage unique. (source : modification des travaux de la NASA)

Analyse physique

Voici une description de ce qui se passe, afin que vous puissiez vous faire une idée de la physique impliquée.

• Lorsque les moteurs-fusées fonctionnent, ils éjectent continuellement des gaz combustibles brûlés, qui ont à la fois une masse et une vitesse, et donc une certaine quantité de mouvement. En conservant l'élan, l'élan de la fusée change de la même quantité (avec le signe opposé). Nous supposerons que le carburant brûlé est éjecté à un rythme constant, ce qui signifie que le taux de variation de l'élan de la fusée est également constant. Selon l'équation 9.4.17, cela représente une force constante sur la fusée.
• Cependant, au fil du temps, la masse de la fusée (qui inclut la masse du carburant restant) diminue continuellement. Ainsi, même si la force exercée sur la fusée est constante, l'accélération qui en résulte ne l'est pas ; elle augmente continuellement.
• Ainsi, le changement total de la vitesse de la fusée dépendra de la quantité de masse de carburant brûlée, et cette dépendance n'est pas linéaire.

Le problème est que la masse et la vitesse de la fusée changent ; de plus, la masse totale des gaz éjectés change. Si nous définissons notre système comme étant la fusée et le carburant, alors il s'agit d'un système fermé (comme la fusée se trouve dans l'espace lointain, aucune force externe n'agit sur ce système) ; par conséquent, l'élan est conservé pour ce système. Ainsi, nous pouvons appliquer la conservation de l'élan pour répondre à la question (Figure\(\PageIndex{2}\)).

Figure\(\PageIndex{2}\) : La fusée accélère vers la droite en raison de l'expulsion d'une partie de sa masse de carburant vers la gauche. La conservation de la quantité de mouvement nous permet de déterminer le changement de vitesse qui en résulte. La masse m est la masse totale instantanée de la fusée (c'est-à-dire la masse du corps de la fusée plus la masse de carburant à ce moment-là). (crédit : modification des travaux de la NASA/Bill Ingalls)

Au moment même où la masse instantanée totale de la fusée est m (c'est-à-dire que m est la masse du corps de la fusée plus la masse du carburant à ce moment-là), nous définissons la vitesse instantanée de la fusée comme étant\(\vec{v}\) = v\(\hat{i}\) (dans la direction +x) ; cette vitesse est mesurée par rapport à une inertielle un système de référence (la Terre, par exemple). Ainsi, la quantité de mouvement initiale du système est\(\vec{p}_{i}\) = mv\(\hat{i}\).

Les moteurs de la fusée brûlent du carburant à une vitesse constante et éjectent les gaz d'échappement dans la direction −x. Pendant un intervalle de temps infinitésimal dt, les moteurs éjectent une masse infinitésimale (positive) de gaz dm _g à une vitesse\(\vec{u}\) = −u\(\hat{i}\) ; notez que bien que la vitesse de la fusée v\(\hat{i}\) soit mesurée par rapport à la Terre, la vitesse des gaz d'échappement est mesurée par rapport à (en mouvement) fusée. Mesurés par rapport à la Terre, les gaz d'échappement ont donc une vitesse (v − u)\(\hat{i}\).

À la suite de l'éjection du gaz combustible, la masse de la fusée diminue de dm _g et sa vitesse augmente de dv\(\hat{i}\). Par conséquent, en incluant à la fois le changement pour la fusée et le changement pour les gaz d'échappement, la quantité de mouvement finale du système est

\[\begin{split} \vec{p}_{f} & = \vec{p}_{rocket} + \vec{p}_{gas} \\ & = (m - dm_{g})(v + dv) \hat{i} + dm_{g} (v - u) \hat{i} \ldotp \end{split}\]

Comme tous les vecteurs sont dans la direction X, nous supprimons la notation vectorielle. En appliquant la conservation de l'élan, nous obtenons

\[\begin{split} p_{i} & = p_{f} \\ mv & = (m - dm_{g})(v + dv) + dm_{g} (v - u) \\ mv & = mv + mdv - dm_{g} v - dm_{g} dv + dm_{g} v - dm_{g} u \\ mdv & = dm_{g} dv + dm_{g} u \ldotp \end{split}\]

Maintenant, dm _g et dv sont tous deux très petits ; ainsi, leur produit dm _g dv est très, très petit, beaucoup plus petit que les deux autres termes de cette expression. Nous négligeons donc ce terme et obtenons :

\[mdv = dm_{g} u \ldotp\]

Notre prochaine étape est de nous rappeler que, puisque dm _g représente une augmentation de la masse des gaz éjectés, cela doit également représenter une diminution de la masse de la fusée :

\[dm_{g} = - dm \ldotp\]

En remplacement de cela, nous avons

\[mdv = -dmu\]

ou

\[dv = -u \frac{dm}{m} \ldotp\]

L'intégration de la masse initiale m ₀ à la masse finale m de la fusée nous donne le résultat que nous recherchons :

\[\begin{split} \int_{v_{i}}^{v} dv & = -u \int_{m_{0}}^{m} \frac{1}{m} dm \\ v - v_{i} & = u \ln \left(\dfrac{m_{0}}{m}\right) \end{split}\]

et donc notre réponse finale est

\[\Delta v = u \ln \left(\dfrac{m_{0}}{m}\right) \ldotp \label{9.38}\]

Ce résultat s'appelle l'équation de la fusée. Il a été initialement dérivé par le physicien soviétique Konstantin Tsiolkovsky en 1897. Il nous donne le changement de vitesse que la fusée obtient en brûlant une masse de carburant qui fait baisser la masse totale de la fusée de m ₀ à m. Comme prévu, la relation entre\(\Delta\) v et le changement de masse de la fusée n'est pas linéaire.

Stratégie de résolution de problèmes : propulsion des fusées

En ce qui concerne les problèmes liés aux fusées, les questions les plus courantes sont de déterminer le changement de vitesse dû à la combustion d'une certaine quantité de carburant pendant un certain temps ou de déterminer l'accélération résultant de la combustion du carburant.

1. Pour déterminer le changement de vitesse, utilisez l'équation de fusée Equation \ ref {9.38}.
2. Pour déterminer l'accélération, déterminez la force en utilisant le théorème impulsion/moment, en utilisant l'équation de fusée pour déterminer le changement de vitesse

Exemple\(\PageIndex{1}\): Thrust on a Spacecraft

Un vaisseau spatial se déplace dans un espace libre de gravité sur une trajectoire droite lorsque son pilote décide d'accélérer vers l'avant. Il met en marche les propulseurs et le carburant brûlé est éjecté à une vitesse constante de\(2.0 \times 10^2\, kg/s\), à une vitesse (par rapport à la fusée) de\(2.5 \times 10^2 \,m/s\). La masse initiale de l'engin spatial et de son carburant non brûlé est de\(2.0 \times 10^4\, kg\), et les propulseurs sont allumés pendant 30 s.

1. Quelle est la poussée (la force appliquée à la fusée par le carburant éjecté) sur le vaisseau spatial ?
2. Quelle est l'accélération de l'engin spatial en fonction du temps ?
3. Quelles sont les accélérations de l'engin spatial à t = 0, 15, 30 et 35 s ?

Stratégie

1. La force exercée sur l'engin spatial est égale au taux de variation de la quantité de mouvement du carburant.
2. Connaissant la force de la partie (a), nous pouvons utiliser la deuxième loi de Newton pour calculer l'accélération qui en résulte. L'essentiel est que, bien que la force appliquée à l'engin spatial soit constante (le carburant est éjecté à une vitesse constante), la masse de l'engin spatial ne l'est pas ; par conséquent, l'accélération provoquée par la force ne sera pas constante. Nous nous attendons donc à obtenir une fonction\(a(t)\).
3. Nous utiliserons la fonction que nous obtenons dans la partie (b), et remplacerons simplement les nombres donnés. Important : nous nous attendons à ce que l'accélération augmente au fil du temps, car la masse accélérée diminue continuellement (du carburant est éjecté de la fusée).

Solution

1. Le moment du gaz combustible éjecté est $$p = m_ {g} v \ LDotp$$La vitesse d'éjection v = 2,5 x 10 ² m/s est constante, et donc la force est $$F = \ frac {dp} {dt} = v \ frac {dm_ {g}}} {dt} = -v \ frac {dm} {dt} \ LDotp$$Maintenant,\(\frac{dm_{g}}{dt}\) c'est le taux du changement de la masse du carburant ; le problème indique que c'est 2,0 x 10 ² kg/s. En remplaçant, nous obtenons $$ \ begin {split} F & = v \ frac {dm_ {g}} {dt} \ \ & = (2,5 \ times 10^ {2} \ ; m/s) (2,0 \ fois 10^ {2} \ ; kg/s) \ \ & = 5 \ fois 10^ {4} \ ; N \ ldotp \ end {2} \ ; kg/s) \ \ & = 5 \ fois 10^ {4} \ ; N \ ldotp \ end {split} $
2. Ci-dessus, nous avons défini m comme étant la masse combinée de la fusée vide plus la quantité de carburant non brûlé qu'elle contenait : m = m _R + m _g. D'après la deuxième loi de Newton, $$a = \ frac {F} {m} = \ frac {F} {m_ {R} + m_ {g}} \ LDotp$$La force est constante et la masse de fusée à vide m _R est constante, mais la masse de carburant m _g diminue à un rythme uniforme ; plus précisément : $$m_ {g} = m_ {g} (t) - m_ {g} (t) - m_ {g_ _ {0}} - \ left (\ dfrac {dm_ {g}} {dt} \ right) t \ ldotp$$ Cela nous donne $$a (t) = \ frac {F} {m_ {g_ {1}} - \ left (\ dfrac {dm_ {g}} {dt} \ right) t} = \ frac {F} {M - \ left (\ dfrac {dm_ {g}}} {dt} \ right) t} \ LDotp$$Notez que, comme prévu, l'accélération est fonction du temps. En remplaçant les nombres donnés : $$a (t) = \ frac {5 \ times 10^ {4} \ ; N} {(2,0 \ times 10^ {4} \ ; kg) - (2,0 \ times 10^ {2} \ ; kg/s) t} \ ldotp$$
3. À t = 0 s : $$a (0 \ ; s) = \ frac {5 \ fois 10^ {4} \ ; N} {(2,0 \ fois 10^ {4} \ ; kg) - (2,0 \ fois 10^ {2} \ ; kg/s) (0 \ ; s)} = 2,5 \ ; m/s^ {2} \ ldotp$$

À t = 15 s, a (15 s) = 2,9 m/s ².

À t = 30 s, a (30 s) = 3,6 m/s ².

L'accélération augmente, comme nous nous y attendions.

L'importance

Notez que l'accélération n'est pas constante ; par conséquent, toutes les grandeurs dynamiques doivent être calculées soit en utilisant des intégrales, soit (plus facilement) en conservant l'énergie totale

Exercice :\(\PageIndex{1}\)

Quelle est la différence physique (ou relation) entre\(\frac{dm}{dt}\) et\(\frac{dm_{g}}{dt}\) dans cet exemple ?

Fusée dans un champ gravitationnel

Analysons maintenant le changement de vitesse de la fusée pendant la phase de lancement, depuis la surface de la Terre. Pour que les calculs restent gérables, nous allons limiter notre attention aux distances pour lesquelles l'accélération causée par la gravité peut être traitée comme une constante g.

L'analyse est similaire, sauf qu'il existe maintenant une force externe de\(\vec{F}\) = −mg\(\hat{j}\) agissant sur notre système. Cette force applique une impulsion d\(\vec{J}\) =\(\vec{F}\) dt = −mgdt\(\hat{j}\), qui est égale au changement de moment. Cela nous donne

\[\begin{split} d \vec{p} & = d \vec{J} \\ \vec{p}_{f} - \vec{p}_{i} & = -mgdt\; \hat{j} \\ \big[ (m - dm_{g})(v + dv) + dm_{g}(v - u) - mv \big] \hat{j} & = -mgdt\; \hat{j} \end{split}\]

et donc

\[mdv - dm_{g} u = -mgdt\]

où nous avons de nouveau négligé le terme dm _g dv et abandonné la notation vectorielle. Ensuite, nous remplaçons dm _g par −dm :

\[\begin{split} mdv + dmu & = -mgdt \\ mdv & = -dmu - mgdt \ldotp \end{split}\]

Diviser en\(m\) donnant

\[dv = -u \frac{dm}{m} - gdt\]

et en intégrant, nous avons

\[\Delta v = u \ln \left(\dfrac{m_{0}}{m}\right) - g \Delta t \ldotp \label{9.39}\]

Sans surprise, la vitesse de la fusée est affectée par l'accélération (constante) de la gravité.

N'oubliez\(\Delta\) pas que c'est la durée de combustion du carburant. Or, en l'absence de gravité, l'équation \ ref {9.38} implique que le temps nécessaire pour brûler la totalité de la masse de carburant ne fait aucune différence ; le changement de vitesse ne dépend pas de\(\Delta\) t. Cependant, en présence de gravité, c'est très important. Le terme −g\(\Delta\) t dans l'équation \ ref {9.39} nous indique que plus la durée de combustion est longue, plus le changement de vitesse de la fusée sera faible. C'est la raison pour laquelle le lancement d'une fusée est si spectaculaire au premier moment du décollage : il est essentiel de brûler le carburant le plus rapidement possible pour obtenir un\(\Delta\) V le plus grand possible.