9.3 : Impulsion et collisions (partie 1)
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- Expliquez ce qu'est une impulsion, physiquement
- Décrivez ce que fait une impulsion
- Associer les impulsions aux collisions
- Appliquez le théorème impulsion/impulsion pour résoudre des problèmes
Nous avons défini la quantité de mouvement comme étant le produit de la masse et de la vitesse. Par conséquent, si la vitesse d'un objet doit changer (en raison de l'application d'une force sur l'objet), sa quantité de mouvement change nécessairement également. Cela indique un lien entre l'élan et la force. Le but de cette section est d'explorer et de décrire ce lien.
Supposons que vous appliquiez une force sur un objet libre pendant un certain temps. Il est clair que plus la force est importante, plus le changement d'élan de l'objet sera important. Sinon, plus vous passez de temps à appliquer cette force, encore une fois, plus le changement d'élan sera important, comme le montre la Figure\(\PageIndex{1}\). L'ampleur de la modification du mouvement de l'objet est donc proportionnelle à l'amplitude de la force, ainsi qu'à l'intervalle de temps pendant lequel la force est appliquée.
Mathématiquement, si une quantité est proportionnelle à deux éléments (ou plus), elle est proportionnelle au produit de ces éléments. Le produit d'une force et d'un intervalle de temps (sur lequel cette force agit) est appelé impulsion et reçoit le symbole\(\vec{J}\).
Soit\(\vec{F}\) (t) la force appliquée à un objet sur un certain intervalle de temps différentiel\(dt\) (Figure\(\PageIndex{2}\)). L'impulsion qui en résulte sur l'objet est définie comme
\[d \vec{J} \equiv \vec{F} (t) dt \ldotp \label{9.2}\]
L'impulsion totale sur l'intervalle t f − t i est
\[\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{f}} d \vec{J}\]
ou
\[\vec{J} \equiv \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t) dt \ldotp \label{9.3}\]
Les équations \ ref {9.2} et \ ref {9.3} indiquent ensemble que lorsqu'une force est appliquée pendant un intervalle de temps infinitésimal dt, elle provoque une impulsion infinitésimale d\(\vec{J}\), et l'impulsion totale donnée à l'objet est définie comme étant la somme (intégrale) de toutes ces impulsions infinitésimales.
Pour calculer l'impulsion à l'aide de l'équation \ ref {9.3}, nous devons connaître la fonction de force F (t), ce que nous ignorons souvent. Cependant, un résultat du calcul est utile ici : rappelons que la valeur moyenne d'une fonction sur un certain intervalle est calculée par
\[f(x)_{ave} = \frac{1}{\Delta x} \int_{x_{i}}^{x_{f}} f(x)dx\]
où\(\Delta\) x = x f − x i. En appliquant cela à la fonction de force dépendante du temps, nous obtenons
\[\vec{F}_{ave} = \frac{1}{\Delta t} \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t)dt \ldotp \label{9.4}\]
Par conséquent, à partir de l'équation \ ref {9.3},
\[\vec{J} = \vec{F}_{ave} \Delta t \ldotp \label{9.5}\]
L'idée ici est que vous pouvez calculer l'impulsion sur l'objet même si vous ne connaissez pas les détails de la force en fonction du temps ; vous n'avez besoin que de la force moyenne. En fait, le processus est généralement inversé : vous déterminez l'impulsion (par mesure ou par calcul), puis vous calculez la force moyenne qui a provoqué cette impulsion.
Pour calculer l'impulsion, un résultat utile est obtenu en écrivant la force dans l'équation \ ref {9.3} sous la forme\(\vec{F}\) (t) = m\(\vec{a}\) (t) :
\[\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t)dt = m \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{a} (t)dt = m \big[ \vec{v} (t_{f}) - \vec{v} (t_{i}) \big] \ldotp\]
Pour une force constante\(\vec{F}_{ave}\) =\(\vec{F}\) = m\(\vec{a}\), cela se simplifie
\[\vec{J} = m \vec{a} \Delta t = m \vec{v}_{f} - m \vec{v}_{i} = m (\vec{v}_{f} - \vec{v}_{i}) \ldotp\]
C'est-à-dire
\[\vec{J} = m \Delta \vec{v} \ldotp \label{9.6}\]
Notez que la forme intégrale, Équation \ ref {9.3}, s'applique également aux forces constantes ; dans ce cas, comme la force est indépendante du temps, elle provient de l'intégrale, qui peut ensuite être évaluée de manière triviale.
Il y a environ 50 000 ans, une grosse météorite fer-nickel (rayon de 25 m) est entrée en collision avec la Terre à une vitesse estimée à 1,28 x 10 4 m/s dans ce qui est aujourd'hui le désert du nord de l'Arizona, aux États-Unis. L'impact a produit un cratère qui est encore visible aujourd'hui (Figure\(\PageIndex{3}\)) ; il mesure environ 1 200 m (trois quarts de mille) de diamètre, 170 m de profondeur et possède un bord qui s'élève à 45 m au-dessus de la plaine désertique environnante. Les météorites fer-nickel ont généralement une densité de\(\rho\) = 7 970 kg/m 3. Utilisez des considérations d'impulsion pour estimer la force moyenne et la force maximale que le météore a appliquées à la Terre lors de l'impact.
Stratégie
Il est conceptuellement plus facile d'inverser la question et de calculer la force que la Terre a appliquée sur le météore afin de l'arrêter. Par conséquent, nous allons calculer la force exercée sur le météore, puis utiliser la troisième loi de Newton pour soutenir que la force du météore sur Terre était égale en amplitude et de direction opposée.
En utilisant les données fournies sur le météore et en faisant des suppositions raisonnables sur la forme du météore et le temps d'impact, nous calculons d'abord l'impulsion à l'aide de l'équation \ ref {9.6}. Nous utilisons ensuite la relation entre la force et l'impulsion Équation \ ref {9.5} pour estimer la force moyenne lors de l'impact. Ensuite, nous choisissons une fonction de force raisonnable pour l'événement d'impact, calculons la valeur moyenne de cette fonction Equation \ ref {9.4} et définissons l'expression résultante égale à la force moyenne calculée. Cela nous permet de trouver la force maximale.
Solution
Définissez vers le haut comme étant la direction +y. Par souci de simplicité, supposons que le météore se déplace verticalement vers le bas avant l'impact. Dans ce cas, sa vitesse initiale est\(\vec{v}_{i}\) = −v i\(\hat{j}\), et la force que la Terre exerce sur le météore pointe vers le haut,\(\vec{F}\) (t) = + F (t)\(\hat{j}\). La situation à t = 0 est décrite ci-dessous.
La force moyenne lors de l'impact est liée à l'impulsion par
\[\vec{F}_{ave} = \frac{\vec{J}}{\Delta t} \ldotp\]
À partir de l'équation \ ref {9.6},\(\vec{J}\) = m\(\Delta \vec{v}\), nous avons donc
\[\vec{F}_{ave} = \frac{m \Delta \vec{v}}{\Delta t} \ldotp\]
La masse est égale au produit de la densité du météore et de son volume :
\[m = \rho V \ldotp\]
Si nous supposons (supposons) que le météore était à peu près sphérique, nous avons
\[V = \frac{4}{3} \pi R^{3} \ldotp\]
Ainsi, nous obtenons
\[\vec{F}_{ave} = \frac{\rho V \Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\rho \left(\dfrac{4}{3} \pi R^{3}\right) (\vec{v}_{f} - \vec{v}_{i})}{\Delta t} \ldotp\]
Le problème indique que la vitesse à l'impact était de −1,28 x 10 4 m/s\(\hat{j}\) (la vitesse finale est nulle) ; de plus, nous supposons que l'impact principal a duré environ t max = 2 s. La substitution de ces valeurs donne
\[\begin{split} \vec{F}_{ave} & = \frac{(7970\; kg/m^{3}) \big[ \frac{4}{3} \pi (25\; m)^{3} \big] \big[ 0\; m/s - (-1.28 \times 10^{4}\; m/s\; \hat{j}) \big]}{2\; s} \\ & = + (3.33 \times 10^{12}\; N) \hat{j} \end{split}\]
Il s'agit de la force moyenne appliquée lors de la collision. Notez que ce vecteur de force pointe dans la même direction que le vecteur de changement de vitesse\(\Delta \vec{v}\).
Ensuite, nous calculons la force maximale. L'impulsion est liée à la fonction de force par
\[\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{max}} \vec{F} (t)dt \ldotp\]
Nous devons faire un choix raisonnable pour la force en fonction du temps. Nous définissons t = 0 comme étant le moment où le météore touche le sol pour la première fois. Ensuite, nous supposons que la force est maximale au moment de l'impact et qu'elle tombe rapidement à zéro. Une fonction qui fait cela est
\[F(t) = F_{max} e^{\frac{-t^{2}}{2 \tau^{2}}} \ldotp\]
Le paramètre\(\tau\) représente la rapidité avec laquelle la force diminue jusqu'à zéro.) La force moyenne est
\[F_{ave} = \frac{1}{\Delta t} \int_{0}^{t_{max}} F_{max} e^{\frac{-t^{2}}{2 \tau^{2}}} dt\]
où\(\Delta\) t = t max − 0 s. Comme nous avons déjà une valeur numérique pour F ave, nous pouvons utiliser le résultat de l'intégrale pour obtenir F max. En choisissant\(\tau\) =\(\frac{1}{e}\) t max (c'est un choix courant, comme vous le verrez dans les chapitres suivants), et en devinant que t max = 2 s, cette intégrale évalue à
\[F_{avg} = 0.458\; F_{max} \ldotp\]
Ainsi, la force maximale a une amplitude de
\[\begin{split} 0.458\; F_{max} & = 3.33 \times 10^{12}\; N \\ F_{max} & = 7.27 \times 10^{12}\; N \ldotp \end{split}\]
La fonction de force complète, y compris la direction, est
\[\vec{F} (t) = (7.27 \times 10^{12}\; N) e^{\frac{-t^{2}}{8\; s^{2}}} \hat{y} \ldotp\]
C'est la force que la Terre applique au météore ; selon la troisième loi de Newton, la force que le météore applique à la Terre est
\[\vec{F} (t) = - (7.27 \times 10^{12}\; N) e^{\frac{-t^{2}}{8\; s^{2}}} \hat{y}\]
qui est la réponse à la question initiale.
L'importance
Le graphique de cette fonction contient des informations importantes. Tracons ensemble (l'amplitude de) cette fonction et la force moyenne (Figure\(\PageIndex{4}\)).
Notez que la zone située sous chaque parcelle a été remplie. Pour le tracé de la force (constante) F ave, l'aire est un rectangle, correspondant à F ave\(\Delta\) t = J. En ce qui concerne le graphique de F (t), rappelons d'après le calcul que l'aire sous le graphique d'une fonction est numériquement égale à l'intégrale de cette fonction, sur l'intervalle spécifié ; donc ici, soit\(\int_{0}^{t_{max}}\) F (t) dt = J. Ainsi, les aires sont égales et toutes deux représentent l'impulsion que le météore a appliquée à la Terre pendant l'impact de deux secondes. La force moyenne sur Terre semble énorme, et elle l'est. Pourtant, la Terre l'a à peine remarqué. L'accélération obtenue par la Terre était juste
\[\vec{a} = \frac{- \vec{F}_{ave}}{M_{Earth}} = \frac{- (3.33 \times 10^{12}\; N) \hat{j}}{5.97 \times 10^{24}\; kg} = - (5.6 \times 10^{-13} m/s^{2}) \hat{j}\]
ce qui est totalement incommensurable. Cela dit, l'impact a créé des ondes sismiques qui peuvent aujourd'hui être détectées par des équipements de surveillance modernes.
Une voiture roulant à 27 m/s entre en collision avec un bâtiment. La collision avec le bâtiment provoque l'arrêt de la voiture en 1 seconde environ. Le conducteur, qui pèse 860 N, est protégé par une combinaison d'une ceinture de sécurité à tension variable et d'un airbag (Figure\(\PageIndex{5}\)). (En fait, le conducteur entre en collision avec la ceinture de sécurité et l'airbag et non avec le bâtiment.) L'airbag et la ceinture de sécurité ralentissent sa vitesse, de sorte qu'il s'arrête en 2,5 secondes environ.
- Quelle est la force moyenne subie par le conducteur lors de la collision ?
- Sans la ceinture de sécurité et l'airbag, son temps de collision (avec le volant) aurait été d'environ 0,20 s. Quelle force serait-il soumis dans ce cas ?
Stratégie
On nous donne le poids du conducteur, ses vitesses initiale et finale et l'heure de la collision ; on nous demande de calculer une force. L'impulsion semble être la bonne solution ; nous pouvons combiner l'équation \ ref {9.5} et l'équation \ ref {9.6}.
Solution
- Définissez la direction +x comme étant la direction dans laquelle la voiture se déplace initialement. Nous savons que $$ \ vec {J} = \ vec {F} \ Delta t$et $$ \ vec {J} = m \ Delta \ vec {v} \ LDotp$$ Puisque J est égal à ces deux choses, elles doivent être égales l'une à l'autre : $$ \ vec {F} \ Delta t = m \ Delta \ vec {v} \ LDotp$$Nous devons convertir ce poids par rapport à la masse équivalente, exprimé en unités SI : $$ \ frac {860 \ ; N} {9.8 \ ; m/s^ {2}} = 87,8 \ ; kg \ LDotp$$$En nous souvenant de cela\(\Delta \vec{v} = \vec{v}_{f} − \vec{v}_{i}\) et en notant que la vitesse finale est nulle, nous résolvons la force : $$ \ vec {F} = m \ frac {0 - v_ {i} \ ; \ hat {i}} {\ Delta t} = (87,8 \ ; kg) \ left (\ dfrac {- (27 \ ; m/s) \ hat {i}} {2,5 \ ; kg) \ left (\ dfrac {- (27 \ ; m/s) \ hat {i}} {2,5 \ ; s} \ right) = - (948 \ ; N) \ hat {i} \ lDotp$$Le signe négatif indique que la force le ralentit. Pour mettre en perspective, cela représente environ 1,1 fois son propre poids.
- Même calcul, juste l'intervalle de temps différent : $$ \ vec {F} = (87,8 \ ; kg) \ left (\ dfrac {- (27 \ ; m/s) \ hat {i}} {0,20 \ ; s} \ right) = - (11 853 \ ; N) \ hat {i} \ ldotp$$ce qui représente environ 14 fois son propre poids. Une grande différence !
L'importance
Vous voyez que la valeur d'un airbag réside dans la mesure où il réduit la force exercée sur les occupants du véhicule. Pour cette raison, ils sont obligatoires sur tous les véhicules de tourisme aux États-Unis depuis 1991 et sont courants en Europe et en Asie depuis le milieu des années 1990. Le changement d'élan lors d'une collision est le même, avec ou sans airbag ; la force est cependant très différente.