8.5 : Diagrammes énergétiques potentiels et stabilité

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Objectifs d'apprentissage

Créer et interpréter des graphiques de l'énergie potentielle
Expliquer le lien entre la stabilité et l'énergie potentielle

Souvent, vous pouvez obtenir de nombreuses informations utiles sur le comportement dynamique d'un système mécanique simplement en interprétant un graphique de son énergie potentielle en fonction de sa position, appelé diagramme d'énergie potentielle. Cela est plus facile pour un système unidimensionnel, dont l'énergie potentielle peut être tracée sur un graphique bidimensionnel, par exemple, U (x) par rapport à x, sur une feuille de papier ou un programme informatique. Pour les systèmes dont le mouvement se fait dans plusieurs dimensions, le mouvement doit être étudié dans un espace tridimensionnel. Nous simplifierons notre procédure pour les mouvements unidimensionnels uniquement.

Tout d'abord, regardons un objet, tombant librement à la verticale, près de la surface de la Terre, en l'absence de résistance à l'air. L'énergie mécanique de l'objet est conservée, E = K + U, et l'énergie potentielle, par rapport à zéro au niveau du sol, est U (y) = mgy, qui est une ligne droite passant par l'origine avec une pente mg. Dans le graphique illustré à la figure$\PageIndex{1}$, l'axe des abscisses représente la hauteur au-dessus du sol y et l'axe des ordonnées représente l'énergie de l'objet.

L'énergie, en unités de joules, est tracée en fonction de la hauteur au-dessus du sol en mètres. Le graphique de l'énergie potentielle U est une ligne rouge droite passant par l'origine, où y sous zéro est égal à zéro. L'équation de la droite est donnée comme U de y est égal à m g y. Le graphique de l'énergie totale E qui est égale à K plus U est une constante qui apparaît sous la forme d'une ligne horizontale noire. La hauteur au-dessus du sol où les graphes E et U se croisent est y sub max. L'énergie entre la ligne U rouge et l'axe horizontal est U sub A. L'énergie entre le U rouge de la ligne Y et la ligne E noire est K sub A. — Figure$\PageIndex{1}$ : Le graphique de l'énergie potentielle d'un objet en chute libre verticale, avec différentes quantités indiquées.

La ligne à l'énergie E représente l'énergie mécanique constante de l'objet, tandis que les énergies cinétique et potentielle, K _A et U _A, sont indiquées à une hauteur y _A particulière. Vous pouvez voir comment l'énergie totale est divisée entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle lorsque la hauteur de l'objet change. Comme l'énergie cinétique ne peut jamais être négative, il existe une énergie potentielle maximale et une hauteur maximale qu'un objet avec l'énergie totale donnée ne peut pas dépasser :

\[K = E - U \geq 0,\]

\[U \leq E \ldotp\]

Si nous utilisons le point de référence de l'énergie potentielle gravitationnelle de zéro à y ₀, nous pouvons réécrire l'énergie potentielle gravitationnelle U en mgy. Résoudre pour y aboutit à

\[y \leq \frac{E}{mg} = y_{max} \ldotp\]

Nous notons dans cette expression que la quantité d'énergie totale divisée par le poids (mg) se situe à la hauteur maximale de la particule, ou y _max. À la hauteur maximale, l'énergie cinétique et la vitesse sont nulles, donc si l'objet se déplaçait initialement vers le haut, sa vitesse passerait par zéro à cet endroit, et y _max serait un point tournant dans le mouvement. Au niveau du sol, y ₀ = 0, l'énergie potentielle est nulle et l'énergie cinétique et la vitesse sont maximales :

\[U_{0} = 0 = E - K_{0},\]

\[E = K_{0} = \frac{1}{2} mv_{0}^{2},\]

\[v_{0} = \pm \sqrt{\frac{2E}{m}} \ldotp\]

La vitesse maximale ±v ₀ donne la vitesse initiale nécessaire pour atteindre y _max, la hauteur maximale, et −v ₀ représente la vitesse finale, après une chute par rapport à y _max. Vous pouvez lire toutes ces informations, et plus encore, à partir du diagramme d'énergie potentielle que nous avons montré.

Imaginez un système masse-ressort sur une surface horizontale fixe et sans friction, de sorte que la gravité et la force de contact normale ne fonctionnent pas et puissent être ignorées (Figure$\PageIndex{2}$). Cela ressemble à un système unidimensionnel, dont l'énergie mécanique E est constante et dont l'énergie potentielle, par rapport à l'énergie nulle à déplacement nul par rapport à la longueur non étirée du ressort, x = 0, est U (x) =$\frac{1}{2}$ kx ².

La figure a est une illustration d'un planeur entre des ressorts sur une voie aérienne horizontale. La figure b est un graphique de l'énergie en joules en fonction du déplacement à partir d'une longueur non étirée en mètres. L'énergie potentielle U de x est tracée sous la forme d'une parabole rouge s'ouvrant vers le haut. La fonction U de x est égale à la moitié de k x au carré. Le point d'équilibre se trouve au minimum de la parabole, où x inférieur à zéro est égal à zéro. L'énergie totale E qui est égale à K plus U et qui est constante est tracée sous la forme d'une ligne noire horizontale. Les points où la ligne E totale rencontre la courbe U potentielle sont étiquetés comme des points de retournement. Un point tournant est à moins x sub max et l'autre à plus x sub max. — Figure$\PageIndex{2}$ : (a) Un planeur entre des ressorts sur une voie aérienne est un exemple de système masse-ressort horizontal. (b) Le diagramme d'énergie potentielle de ce système, avec différentes quantités indiquées.

Dans ce cas, vous pouvez lire le même type d'informations sur le diagramme d'énergie potentielle, comme dans le cas du corps en chute libre verticale, mais comme l'énergie potentielle du ressort décrit une force variable, vous pouvez en apprendre davantage sur ce graphique. En ce qui concerne l'objet en chute libre verticale, vous pouvez déduire l'amplitude de mouvement physiquement admissible et les valeurs maximales de distance et de vitesse, à partir des limites de l'énergie cinétique, 0 ≤ K ≤ E. Par conséquent, K = 0 et U = E à un point de retournement, dont deux pour le potentiel élastique du ressort énergie,

\[x_{max} = \pm \sqrt{\frac{2E}{k}} \ldotp\]

Le mouvement du planeur est limité à la zone située entre les points de braquage, −x _max ≤ x ≤ x _max. Cela est vrai pour toute valeur (positive) de E car l'énergie potentielle est illimitée par rapport à x. Pour cette raison, en plus de la forme de la courbe d'énergie potentielle, U (x) est appelé puits de potentiel infini. Au fond du puits de potentiel, x = 0, U = 0 et l'énergie cinétique est maximale, K = E, donc v _max = ±$\sqrt{\frac{2E}{m}}$.

Cependant, à partir de la pente de cette courbe d'énergie potentielle, vous pouvez également déduire des informations sur la force exercée sur le planeur et son accélération. Nous avons vu précédemment que le point négatif de la pente de l'énergie potentielle est la force du ressort, qui dans ce cas est également la force nette, et est donc proportionnelle à l'accélération. Lorsque x = 0, la pente, la force et l'accélération sont toutes nulles, il s'agit donc d'un point d'équilibre. Le négatif de la pente, de part et d'autre du point d'équilibre, donne une force pointant vers le point d'équilibre, F = ±kx. L'équilibre est donc qualifié de stable et la force est appelée force de rappel. Cela implique que U (x) y a un minimum relatif. Si la force de chaque côté d'un point d'équilibre a une direction opposée à cette direction de changement de position, l'équilibre est qualifié d'instable, ce qui implique que U (x) y a un maximum relatif.

Exemple 8.10 : Diagramme d'énergie potentielle quartique et quadratique

L'énergie potentielle d'une particule subissant un mouvement unidimensionnel le long de l'axe x est U (x) = 2 (x ⁴ − x ²), où U est en joules et x est en mètres. La particule n'est soumise à aucune force non conservatrice et son énergie mécanique est constante à E = −0,25 J. (a) Le mouvement de la particule est-il limité à des régions de l'axe X et, dans l'affirmative, quelles sont-elles ? (b) Existe-t-il des points d'équilibre et, dans l'affirmative, où se situent-ils et sont-ils stables ou instables ?

Stratégie

Tout d'abord, nous devons représenter graphiquement l'énergie potentielle en fonction de x. La fonction est nulle à l'origine, devient négative lorsque x augmente dans le sens positif ou négatif (x ² est supérieur à x ⁴ pour x < 1), puis devient positive à une taille |x| suffisamment grande. Votre graphique doit ressembler à un puits à double potentiel, les zéros étant déterminés en résolvant l'équation U (x) = 0, et les extrêmes étant déterminés en examinant les dérivées première et seconde de U (x), comme indiqué sur la figure$\PageIndex{3}$.

Le graphe d'énergie potentielle U en unités de joules en fonction de x en unités de mètres pour une énergie potentielle unidimensionnelle, quartique et quadratique, est présenté avec différentes grandeurs indiquées. L'échelle horizontale va de —1,2 à 1,2, étiquetée à des intervalles de 0,5 m et avec des lignes de grille tous les 0,1 m. L'échelle verticale va de —0,55 à +0,55, étiquetée à des intervalles de 0,1 J avec des lignes de grille tous les 0,05 J. La fonction U de x est égale à 2 fois la quantité x au quatrième moins x au carré. Cette fonction passe à l'infini à plus et moins un infini x, est nulle à x égal à zéro et a une valeur minimale de —0,5 J à x approximativement égale à —0,7 m et +0,7 m. Le minimum à x positif est désigné comme point Q et le minimum à x négatif est étiqueté comme point moins Q. Le graphique U de x croise U=0, le x axe, à deux endroits, à x=-1 et x=+1. L'énergie totale E est égale à —0,25 J et est représentée par une ligne horizontale à cette valeur. Il croise le graphe U de x à quatre endroits, décrits de gauche à droite. Le point le plus à gauche se trouve à une valeur x comprise entre —0,95 et —0,9 et est étiqueté comme point moins R. L'emplacement suivant auquel U=-0,25 se trouve à une valeur x comprise entre —0,4 et —0,35 et est étiqueté comme point moins P. L'emplacement suivant où U=-0,25 se trouve à une valeur x comprise entre 0,35 et 0,4 et est étiqueté comme point P. emplacement le plus à droite où U=-0,25 est à une valeur x comprise entre 0,9 et 0,95 et est étiqueté comme point R. — Figure$\PageIndex{3}$ : Le graphique de l'énergie potentielle pour une énergie potentielle unidimensionnelle, quartique et quadratique, avec différentes quantités indiquées.

Vous pouvez trouver les valeurs de (a) les régions autorisées le long de l'axe x, pour la valeur donnée de l'énergie mécanique, à condition que l'énergie cinétique ne puisse pas être négative, et (b) les points d'équilibre et leur stabilité à partir des propriétés de la force (stable pour un minimum relatif et instable pour a) maximum relatif d'énergie potentielle). Vous pouvez simplement regarder le graphique pour obtenir des réponses qualitatives aux questions de cet exemple. Après tout, c'est la valeur des diagrammes d'énergie potentielle.

Vous pouvez voir qu'il existe deux régions autorisées pour le mouvement (E > U) et trois points d'équilibre (pente$\frac{dU}{dx}$ = 0), dont la zone centrale est instable$\left( \dfrac{d^{2}U}{dx^{2}} < 0 \right)$ et les deux autres sont stables$\left(\dfrac{d^{2}U}{dx^{2}} > 0 \right)$.

Solution

Pour trouver les régions autorisées pour x, nous utilisons la condition $$K = E - U = - \ frac {1} {4} - 2 (x^ {4} - x^ {2}) \ geq 0 \ lDotp$$Si nous complétons le carré en x 2, cette condition est simplifiée à$2 \left(x^{2} − \dfrac{1}{2} \right)^{2} \leq \frac{1}{4}$, que nous pouvons résoudre pour obtenir $$ \ frac {1} {2} - \ sqrt {\ frac {\ frac 1} {8}} \ leq x^ {2} \ leq \ frac {1} {2} + \ sqrt {\ frac {1} {8}} \ ldotp $$Cela représente deux régions autorisées, x _p ≤ x ≤ x _R et −x _R ≤ x ≤ − x _p, où x _p = 0,38 et x _R = 0,92 (en mètres).
Pour trouver les points d'équilibre, nous résolvons l'équation $$ \ frac {dU} {dx} = 8x^ {3} - 4x = 0$$ et trouvons x = 0 et x = ±x _Q, où x _Q =$\frac{1}{\sqrt{2}}$ = 0,707 (mètres). La deuxième dérivée $$ \ frac {d^ {2} U} {dx^ {2}} = 24x^ {2} - 4$$ est négative à x = 0, de sorte que la position est un maximum relatif et que l'équilibre y est instable. La dérivée seconde est positive à x = ±x _Q, donc ces positions sont des minima relatifs et représentent des équilibres stables.

L'importance

Dans cet exemple, la particule peut osciller dans la région autorisée autour de l'un des deux points d'équilibre stables que nous avons trouvés, mais elle n'a pas assez d'énergie pour échapper au puits potentiel dans lequel elle se trouve initialement. La conservation de l'énergie mécanique et les relations entre l'énergie cinétique et la vitesse, et l'énergie et la force potentielles, vous permettent de déduire de nombreuses informations sur le comportement qualitatif du mouvement d'une particule, ainsi que des informations quantitatives, à partir d'un graphique de son énergie potentielle.

Exercice 8.10

Répétez l'exemple 8.10 lorsque l'énergie mécanique de la particule est de +0,25 J.

Avant de terminer cette section, entraînons-nous à appliquer la méthode basée sur l'énergie potentielle d'une particule pour déterminer sa position en fonction du temps, pour le système masse-ressort unidimensionnel examiné plus haut dans cette section.

Exemple 8.11 : Oscillations sinusoïdales

Trouvez x (t) pour une particule se déplaçant avec une énergie mécanique constante E > 0 et une énergie potentielle U (x) =$\frac{1}{2}$ kx ², lorsque la particule part du repos au temps t = 0.

Stratégie

Nous suivons les mêmes étapes que dans l'exemple 8.9. Substituez l'énergie potentielle U dans l'équation 8.4.9 et factorisez les constantes, comme m ou k. Intégrez la fonction et résolvez l'expression résultante pour la position, qui est désormais fonction du temps.

Solution

Substituez l'énergie potentielle dans l'équation 8.4.9 et intégrez-la à l'aide d'un solveur intégré trouvé lors d'une recherche sur le Web :

\ [t = \ int_ {x_ {0}} ^ {x} \ frac {dx} {\ sqrt {\ left (\ dfrac {k} {m} \ right) \ Big [\ left (\ dfrac {2E} {k} \ right) - x^ {2} \ Big]}} = \ sqrt {\ frac {m} {k}} \ Bigg [\ sin^ {-1} \ left (\ dfrac {x} {\ sqrt {\ frac {2E} {k}}} \ right) - \ sin^ {-1} \ left (\ frac {x_ {0}} {\ sqrt {\ frac {2E} {k}}}} \ right) \ Bigg] \ LDotp$$À partir des conditions initiales à t = 0, le l'énergie cinétique initiale est nulle et l'énergie potentielle initiale est$\frac{1}{2}$ kx ₀ ² = E, d'où vous pouvez voir que$\frac{x_{0}}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)}}$ = ±1 et sin ⁻¹ (±) = ±90°. Vous pouvez maintenant résoudre pour x :

\[x(t) = \sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)} \sin \Big[\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}\right)t \pm 90^{o} \Big] = \pm \sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)} \cos \Big[ \left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}\right)t \Big] \ldotp\]

L'importance

Quelques paragraphes plus tôt, nous avons fait référence à ce système masse-ressort comme exemple d'oscillateur harmonique. Ici, nous prévoyons qu'un oscillateur harmonique exécute des oscillations sinusoïdales avec un déplacement maximal de$\sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)}$ (appelé amplitude) et une vitesse d'oscillation de$\left(\dfrac{1}{2 \pi}\right) \sqrt{\frac{k}{m}}$ (appelée fréquence). D'autres discussions sur les oscillations peuvent être trouvées dans Oscillations.

Exercice 8.11

Trouvez x (t) pour le système masse-ressort dans l'exemple 8.11 si la particule part de x ₀ = 0 à t = 0. Quelle est la vitesse initiale de la particule ?