8.4 : Conservation de l'énergie

Objectifs d'apprentissage

• Formuler le principe de conservation de l'énergie mécanique, avec ou sans la présence de forces non conservatrices
• Utiliser la conservation de l'énergie mécanique pour calculer les différentes propriétés de systèmes simples

Dans cette section, nous développons et étendons le résultat que nous avons obtenu dans Potential Energy of a System, où nous avons réécrit le théorème de l'énergie de travail en termes de changement des énergies cinétique et potentielle d'une particule. Cela nous mènera à une discussion sur le principe important de la conservation de l'énergie mécanique. En continuant à examiner d'autres sujets de physique, dans les chapitres suivants de ce livre, vous verrez comment cette loi de conservation est généralisée pour englober d'autres types d'énergie et de transferts d'énergie. La dernière section de ce chapitre fournit un aperçu.

Les termes « quantité conservée » et « loi de conservation » ont des significations scientifiques spécifiques en physique, qui sont différentes des significations quotidiennes associées à l'utilisation de ces mots. (Le même commentaire vaut également pour les utilisations scientifiques et quotidiennes du mot « travail ».) Au quotidien, vous pouvez économiser l'eau en ne l'utilisant pas, en consommant moins ou en la réutilisant. L'eau est composée de molécules composées de deux atomes d'hydrogène et d'un atome d'oxygène. Rassemblez ces atomes pour former une molécule et vous créez de l'eau ; dissociez les atomes d'une telle molécule et vous détruisez l'eau. Cependant, dans l'usage scientifique, une quantité conservée pour un système reste constante, change d'une quantité définie qui est transférée vers d'autres systèmes et/ou est convertie en d'autres formes de cette quantité. Une quantité conservée, au sens scientifique du terme, peut être transformée, mais pas strictement créée ou détruite. Il n'existe donc aucune loi physique de conservation de l'eau.

Systèmes comportant une seule particule ou un seul objet

Nous considérons d'abord un système composé d'une seule particule ou d'un seul objet. Pour en revenir à notre développement de l'équation 8.2.2, rappelons que nous avons d'abord séparé toutes les forces agissant sur une particule en types conservateurs et non conservateurs, et que nous avons écrit le travail effectué par chaque type de force sous la forme d'un terme distinct dans le théorème travail-énergie. Nous avons ensuite remplacé le travail effectué par les forces conservatrices par la modification de l'énergie potentielle de la particule, en la combinant à la modification de l'énergie cinétique de la particule pour obtenir l'équation 8.2.2. Maintenant, nous écrivons cette équation sans l'étape intermédiaire et définissons la somme des énergies cinétique et potentielle, K + U = E ; comme étant l'énergie mécanique de la particule.

Conservation de l'énergie

L'énergie mécanique E d'une particule reste constante sauf si des forces extérieures au système ou des forces non conservatrices agissent sur elle, auquel cas la variation de l'énergie mécanique est égale au travail effectué par les forces non conservatrices :

\[W_{nc,\; AB} = \Delta (K + U)_{AB} = \Delta E_{AB} \ldotp \label{8.12}\]

Cette déclaration exprime le concept d'économie d'énergie pour une particule classique tant qu'il n'existe aucun travail non conservateur. Rappelons qu'une particule classique n'est qu'une masse ponctuelle, n'est pas relativiste et obéit aux lois du mouvement de Newton. Dans Relativité, nous verrons que la conservation de l'énergie s'applique toujours à une particule non classique, mais pour que cela se produise, nous devons apporter un léger ajustement à la définition de l'énergie.

Il est parfois pratique de séparer le cas où le travail effectué par des forces non conservatrices est nul, soit parce que de telles forces ne sont pas supposées présentes, soit parce que, comme la force normale, elles ne font aucun travail lorsque le mouvement est parallèle à la surface. Alors

\[0 = W_{nc,\; AB} = \Delta (K + U)_{AB} = \Delta E_{AB} \ldotp \label{8.13}\]

Dans ce cas, la conservation de l'énergie mécanique peut être exprimée comme suit : L'énergie mécanique d'une particule ne change pas si toutes les forces non conservatrices qui peuvent agir sur elle ne fonctionnent pas. Il est important de comprendre le concept de conservation de l'énergie, et non l'équation particulière que vous utilisez pour l'exprimer.

Stratégie de résolution de problèmes : conservation de l'énergie

1. Identifiez le ou les corps à étudier (le système). Souvent, dans le cadre de l'application du principe de conservation de l'énergie mécanique, nous étudions plusieurs corps à la fois.
2. Identifiez toutes les forces agissant sur le ou les corps.
3. Déterminez si chaque force qui fonctionne est conservatrice. Si une force non conservatrice (par exemple, la friction) agit, l'énergie mécanique n'est pas conservée. Le système doit ensuite être analysé à l'aide d'un travail non conservateur, Equation \ ref {8.13}.
4. Pour chaque force qui fonctionne, choisissez un point de référence et déterminez la fonction énergétique potentielle de la force. Les points de référence pour les différentes énergies potentielles ne doivent pas nécessairement se trouver au même endroit.
5. Appliquez le principe de conservation de l'énergie mécanique en établissant la somme des énergies cinétiques et des énergies potentielles égale à chaque point d'intérêt.

Exemple 8.7 : pendule simple

Une particule de masse m est suspendue au plafond par une chaîne sans masse de 1,0 m de long, comme le montre la figure\(\PageIndex{1}\). La particule est libérée du repos lorsque l'angle entre la corde et la direction verticale vers le bas est de 30°. Quelle est sa vitesse lorsqu'il atteint le point le plus bas de son arc ?

Figure\(\PageIndex{1}\) : Une particule suspendue à une ficelle constitue un simple pendule. Il s'affiche lorsque vous sortez du repos, ainsi que certaines distances utilisées pour analyser le mouvement.

Stratégie

À l'aide de notre stratégie de résolution de problèmes, la première étape consiste à définir que nous sommes intéressés par le système particulaire-Terre. Ensuite, seule la force gravitationnelle agit sur la particule, ce qui est conservateur (étape 3). Nous négligeons la résistance à l'air dans le problème, et la tension de la corde, qui est perpendiculaire à l'arc du mouvement, ne fonctionne pas. Par conséquent, l'énergie mécanique du système est conservée, comme représenté par l'équation \ ref {8.13}, 0 =\(\Delta\) (K + U). Comme la particule part du repos, l'augmentation de l'énergie cinétique correspond simplement à l'énergie cinétique au point le plus bas. Cette augmentation de l'énergie cinétique est égale à la diminution de l'énergie potentielle gravitationnelle, que nous pouvons calculer à partir de la géométrie. À l'étape 4, nous choisissons un point de référence pour l'énergie potentielle gravitationnelle nulle qui se situe au point vertical le plus bas atteint par la particule, c'est-à-dire au milieu de l'oscillation. Enfin, à l'étape 5, nous fixons la somme des énergies au point le plus élevé (initial) du swing au point le plus bas (final) du swing pour finalement déterminer la vitesse finale.

Solution

Nous négligeons les forces non conservatrices, c'est pourquoi nous écrivons la formule d'économie d'énergie reliant la particule au point le plus haut (initial) et au point le plus bas du swing (final) comme

\[K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f} \ldotp\]

Comme la particule est libérée du repos, l'énergie cinétique initiale est nulle. Au point le plus bas, nous définissons l'énergie potentielle gravitationnelle comme étant nulle. Par conséquent, notre formule de conservation de l'énergie se réduit à

\[\begin{split} 0 + mgh & = \frac{1}{2} mv^{2} + 0 \\ v & = \sqrt{2gh} \ldotp \end{split}\]

La hauteur verticale de la particule n'est pas indiquée directement dans le problème. Cela peut être résolu en utilisant la trigonométrie et deux données : la longueur du pendule et l'angle par lequel la particule est tirée verticalement vers le haut. Si l'on regarde le diagramme, la ligne pointillée verticale représente la longueur de la chaîne pendulaire. La hauteur verticale est étiquetée h. L'autre longueur partielle de la chaîne verticale peut être calculée par trigonométrie. Cette pièce est résolue par

\[\cos \theta = \frac{x}{L} = L \cos \theta \ldotp\]

Par conséquent, en regardant les deux parties de la chaîne, nous pouvons déterminer la hauteur h,

\[\begin{split} x + h & = L \\ L \cos \theta + h & = L \\ h & = L - L \cos \theta \\ & = L(1 - \cos \theta) \ldotp \end{split}\]

Nous substituons cette hauteur à l'expression précédente résolue pour la vitesse afin de calculer notre résultat :

\[v = \sqrt{2gL(1 - \cos \theta)} = \sqrt{2(9.8\; m/s^{2})(1\; m)(1 - \cos 30^{o})} = 1.62\; m/s \ldotp\]

L'importance

Nous avons trouvé la vitesse directement à partir de la conservation de l'énergie mécanique, sans avoir à résoudre l'équation différentielle pour le mouvement d'un pendule (voir Oscillations). Nous pouvons aborder ce problème à l'aide de diagrammes à barres de l'énergie totale. Initialement, la particule possède toute l'énergie potentielle, étant au point le plus élevé, et aucune énergie cinétique. Lorsque la particule franchit le point le plus bas au bas de l'oscillation, l'énergie passe de la colonne d'énergie potentielle à la colonne d'énergie cinétique. Nous pouvons donc imaginer une progression de ce transfert au fur et à mesure que la particule se déplace entre son point le plus haut, le point le plus bas de l'oscillation, et revient au point le plus haut (Figure\(\PageIndex{2}\)). Lorsque la particule se déplace du point le plus bas de l'oscillation au point le plus haut situé à l'extrême droite du diagramme, les barres d'énergie passent dans l'ordre inverse de (c) à (b) à (a).

Figure\(\PageIndex{2}\) : Graphiques à barres représentant l'énergie totale (E), l'énergie potentielle (U) et l'énergie cinétique (K) de la particule dans différentes positions. (a) L'énergie totale du système est égale à l'énergie potentielle et l'énergie cinétique est nulle, qui se trouve au point le plus élevé atteint par la particule. (b) La particule se trouve à mi-chemin entre le point le plus haut et le plus bas, de sorte que les graphes à barres de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle sont égaux à l'énergie totale. (c) La particule se trouve au point le plus bas de l'oscillation, de sorte que le graphique à barres d'énergie cinétique est le plus élevé et égal à l'énergie totale du système.

Exercice 8.7

À quelle hauteur au-dessus du bas de son arc se trouve la particule dans le simple pendule ci-dessus, alors que sa vitesse est de 0,81 m/s ?

Exemple 8.8 : Résistance à l'air sur un objet qui tombe

Un hélicoptère vole en vol stationnaire à une altitude de 1 km lorsqu'un panneau situé sur sa face inférieure se détache et tombe au sol (Figure\(\PageIndex{3}\)). La masse du panneau est de 15 kg et il touche le sol à une vitesse de 45 m/s. Quelle quantité d'énergie mécanique a été dissipée par la résistance de l'air lors de la descente du panneau ?

Figure\(\PageIndex{3}\) : Un hélicoptère perd un panneau qui tombe jusqu'à ce qu'il atteigne une vitesse terminale de 45 m/s. Dans quelle mesure la résistance de l'air a-t-elle contribué à la dissipation d'énergie liée à ce problème ?

Stratégie

Étape 1 : Ici, un seul corps fait l'objet d'une enquête.

Étape 2 : La force gravitationnelle agit sur le panneau, ainsi que la résistance à l'air, comme indiqué dans le problème.

Étape 3 : La force gravitationnelle est conservatrice ; cependant, la force non conservatrice de la résistance de l'air agit négativement sur le panneau qui tombe. Nous pouvons donc utiliser la conservation de l'énergie mécanique, sous la forme exprimée par l'équation \ ref {8.12}, pour trouver l'énergie dissipée. Cette énergie est l'ampleur du travail :

\[\Delta E_{diss} = |W_{nc,if}| = |\Delta (K + U)_{if}| \ldotp\]

Étape 4 : L'énergie cinétique initiale, à yi = 1 km, est nulle. Pour des raisons pratiques, nous avons réglé l'énergie potentielle gravitationnelle à zéro au niveau du sol.

Étape 5 : Le travail non conservateur est égal aux énergies à résoudre pour le travail dissipé par la résistance de l'air.

Solution

L'énergie mécanique dissipée par la résistance de l'air est la somme algébrique du gain en énergie cinétique et de la perte d'énergie potentielle. Par conséquent, le calcul de cette énergie est

\[\begin{split} \Delta E_{diss} & = |K_{f} - K_{i} 9 U_{f} - U_{i}| \\ & = \Big| \frac{1}{2} (15\; kg)(45\; m/s)^{2} - 0 + 0 - (15\; kg)(9.8\; m/s^{2})(1000\; m) \Big| \\ & = 130\; kJ \ldotp \end{split}\]

L'importance

La majeure partie de l'énergie mécanique initiale du panneau (U _i), 147 kJ, a été perdue en raison de la résistance à l'air. Remarquez que nous avons pu calculer l'énergie dissipée sans savoir quelle était la force de résistance de l'air, mais seulement qu'elle était dissipative.

Exercice 8.8

Vous vous souvenez probablement que, si vous négligez la résistance de l'air, si vous lancez un projectile droit vers le haut, le temps qu'il faut pour atteindre sa hauteur maximale est égal au temps qu'il faut pour retomber de la hauteur maximale à la hauteur de départ. Supposons que vous ne puissiez négliger la résistance à l'air, comme dans l'exemple 8.8 Le temps nécessaire au projectile pour remonter est-il (a) supérieur, (b) inférieur ou (c) égal au temps qu'il faut pour redescendre ? Expliquez.

Dans ces exemples, nous avons pu utiliser la conservation de l'énergie pour calculer la vitesse d'une particule uniquement à des points particuliers de son mouvement. Mais la méthode d'analyse du mouvement des particules, à partir de la conservation de l'énergie, est plus puissante que cela. Des traitements plus avancés de la théorie de la mécanique vous permettent de calculer la dépendance temporelle du mouvement d'une particule, pour une énergie potentielle donnée. En fait, il arrive souvent qu'un meilleur modèle du mouvement des particules soit fourni par la forme de leurs énergies cinétiques et potentielles, plutôt que par une équation de la force agissant sur celles-ci. (Cela est particulièrement vrai pour la description mécanique quantique de particules telles que les électrons ou les atomes.)

Nous pouvons illustrer certaines des caractéristiques les plus simples de cette approche basée sur l'énergie en considérant une particule en mouvement unidimensionnel, avec une énergie potentielle U (x) et aucune interaction non conservatrice présente. L'équation \ ref {8.12} et la définition de la vitesse nécessitent

\[K = \frac{1}{2} mv^{2} = E - U(x)\]

\[v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2(E - U(x))}{m}} \ldotp\]

Séparez les variables x et t et intégrez-les, d'un temps initial t = 0 à un temps arbitraire, pour obtenir

\[t = \int_{0}^{t} dt = \int_{x_{0}}^{x} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2(E - U(x))}{m}}} \ldotp \label{8.14}\]

Si vous pouvez faire l'intégrale dans l'équation \ ref {8.14}, vous pouvez alors résoudre x en fonction de t.

Exemple 8.9 : Accélération constante

Utilisez l'énergie potentielle U (x) = −E\(\left(\dfrac{x}{x_{0}}\right)\), pour E > 0, dans l'équation \ ref {8.14} pour trouver la position x d'une particule en fonction du temps t.

Stratégie

Comme nous savons comment l'énergie potentielle change en fonction de x, nous pouvons remplacer U (x) dans l'équation \ ref {8.14}, intégrer, puis résoudre pour x. Cela donne une expression de x en fonction du temps avec des constantes d'énergie E, de masse m et de position initiale x ₀.

Solution

À la suite des deux premières étapes suggérées dans le cadre de la stratégie susmentionnée,

\[t = \int_{x_{0}}^{x} \frac{dx}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{mx_{0}}\right)(x_{0} - x)}} = \frac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{mx_{0}}\right)}} \Big| -2\sqrt{(x_{0} - x)} \Big|_{x_{0}}^{x} = \frac{-2\sqrt{(x_{0} - x)}}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{mx_{0}}\right)}} \ldotp\]

En résolvant le poste, nous obtenons

\[x(t) = x_{0} - \frac{1}{2} \left(\dfrac{E}{mx_{0}}\right) t^{2} \ldotp\]

L'importance

La position en fonction du temps, pour ce potentiel, représente un mouvement unidimensionnel avec une accélération constante, a =\(\left(\dfrac{E}{mx_{0}}\right)\), en commençant au repos à partir de la position x ₀. Ce n'est pas si surprenant, puisqu'il s'agit d'une énergie potentielle pour une force constante\(\frac{E}{x_{0}}\), F\(− \frac{dU}{dx}\) = et a =\(\frac{F}{m}\).

Exercice 8.9

Quelle énergie potentielle U (x) pouvez-vous remplacer dans l'équation \ ref {8.13} qui se traduira par un mouvement avec une vitesse constante de 2 m/s pour une particule d'une masse de 1 kg et d'une énergie mécanique de 1 J ?

Nous examinerons un autre exemple plus approprié sur le plan physique de l'utilisation de l'équation \ ref {8.13} après avoir exploré d'autres implications qui peuvent être tirées de la forme fonctionnelle de l'énergie potentielle d'une particule.

Systèmes comportant plusieurs particules ou objets

Les systèmes se composent généralement de plus d'une particule ou d'un objet. Cependant, la conservation de l'énergie mécanique, sous l'une des formes de l'équation \ ref {8.12} ou de l'équation \ ref {8.13}, est une loi fondamentale de la physique qui s'applique à tout système. Il suffit d'inclure les énergies cinétiques et potentielles de toutes les particules, ainsi que le travail effectué par toutes les forces non conservatrices agissant sur elles. Jusqu'à ce que vous en appreniez davantage sur la dynamique des systèmes composés de nombreuses particules, dans les domaines du moment linéaire et des collisions, de la rotation à axe fixe et du moment cinétique, il est préférable de reporter à cette date la discussion sur l'application de la conservation de l'énergie.