8.3 : Forces conservatrices et non conservatrices
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- Caractériser une force conservatrice de différentes manières
- Spécifier les conditions mathématiques qui doivent être satisfaites par une force conservatrice et ses composantes
- Relie la force conservatrice entre les particules d'un système à l'énergie potentielle du système
- Calculer les composantes d'une force conservatrice dans divers cas
Dans Énergie potentielle et conservation de l'énergie, toute transition entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle a permis de conserver l'énergie totale du système. Cela était indépendant de la trajectoire, ce qui signifie que nous pouvons commencer et arrêter à deux points du problème, et que l'énergie totale du système (cinétique et potentiel) à ces points est égale l'une à l'autre. C'est caractéristique d'une force conservatrice. Nous avons traité des forces conservatrices dans la section précédente, telles que la force gravitationnelle et la force du ressort. Lorsque vous comparez le mouvement du ballon de football de la Figure 8.2.1, l'énergie totale du système ne change jamais, même si l'énergie potentielle gravitationnelle du ballon augmente lorsque le ballon remonte par rapport au sol et retombe à l'énergie potentielle gravitationnelle initiale lorsque le ballon de football joueur attrape le ballon. Les forces non conservatrices sont des forces dissipatives telles que la friction ou la résistance à l'air. Ces forces retirent de l'énergie du système au fur et à mesure de sa progression, énergie que vous ne pouvez pas récupérer. Ces forces dépendent de la trajectoire ; le point de départ et d'arrêt de l'objet est donc important.
Le travail effectué par une force conservatrice est indépendant de la trajectoire ; en d'autres termes, le travail effectué par une force conservatrice est le même pour toute trajectoire reliant deux points :
\[W_{AB,\; path-1} = \int_{AB,\; path-1} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} = W_{AB,\; path-2} = \int_{AB,\; path-2} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} \ldotp \label{8.8}\]
Le travail accompli par une force non conservatrice dépend de la voie empruntée. De manière équivalente, une force est conservatrice si le travail qu'elle effectue autour d'une trajectoire fermée est nul :
\[W_{closed\; path} = \oint \vec{E}_{cons} \cdotp d \vec{r} = 0 \ldotp \label{8.9}\]
Dans l'équation \ ref {8.9}, nous utilisons la notation d'un cercle au milieu du signe intégral pour une intégrale linéaire sur un chemin fermé, une notation que l'on retrouve dans la plupart des textes de physique et d'ingénierie.] Les équations \ ref {8.8} et \ ref {8.9} sont équivalentes car tout chemin fermé est la somme de deux chemins : le premier allant de A à B, et le second allant de B à A. Le travail effectué sur un chemin de B à A est le négatif du travail effectué sur le même chemin de A à B, où A et B sont deux points quelconques sur le chemin fermé :
\[\begin{split} 0 = \int \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} & = \int_{AB,\; path-1} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} + \int_{BA,\; path-2} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} \\ & = \int_{AB,\; path-1} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} - \int_{AB,\; path-2} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} = 0 \ldotp \end{split}\]
Vous pourriez vous demander comment nous procédons pour prouver si une force est conservatrice ou non, puisque les définitions impliquent toutes les voies d'un point A à un point B, ou toutes les voies fermées, mais pour faire l'intégrale de l'œuvre, vous devez choisir une trajectoire particulière. Une réponse est que le travail effectué est indépendant de la trajectoire si le travail infinitésimal\(\vec{F} \cdotp d \vec{r}\) est un différentiel exact, de la même manière que le réseau infinitésimal était égal au différentiel exact de l'énergie cinétique\(dW_{net} = m\vec{v}\; \cdotp d\vec{v}= d \frac{1}{2}mv^{2}\), lorsque nous avons dérivé le théorème travail-énergie dans le théorème travail-énergie . Il existe des conditions mathématiques que vous pouvez utiliser pour vérifier si le travail infinitésimal effectué par une force est un différentiel exact et si la force est conservatrice. Ces conditions impliquent uniquement une différenciation et sont donc relativement faciles à appliquer. En deux dimensions, la condition pour que\(\vec{F} \cdotp d \vec{r}\) = F x dx + F y dy soit un différentiel exact est
\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{dF_{y}}{dx} \ldotp \label{8.10}\]
Vous vous souvenez peut-être que le travail effectué par la force dans l'exemple 7.2.4 dépendait de la trajectoire. Pour cette force,
\[F_{x} = (5\; N/m)y\; and\; F_{y} = (10\; N/m)x \ldotp\]
Par conséquent,
\[\left(\dfrac{dF_{x}}{dy}\right) = 5\; N/m \neq \left(\dfrac{dF_{y}}{dx}\right) = 10\; N/m,\]
ce qui indique qu'il s'agit d'une force non conservatrice. Voyez-vous ce que vous pourriez changer pour en faire une force conservatrice ?
Parmi les forces bidimensionnelles suivantes, lesquelles sont conservatrices et lesquelles ne le sont pas ? Supposons que a et b sont des constantes avec des unités appropriées :
- \(axy^{3} \hat{i} + ayx^{3} \hat{j},\)
- \(a \left[ \left(\dfrac{y^{2}}{x}\right) \hat{i} + 2y \ln \left(\dfrac{x}{b}\right) \hat{j} \right],\)
- \(\frac{ax \hat{i} + ay \hat{j}}{x^{2} + y^{2}}\)
Stratégie
Appliquez la condition indiquée dans l'équation \ ref {8.10}, à savoir en utilisant les dérivées des composantes de chaque force indiquée. Si la dérivée de la composante y de la force par rapport à x est égale à la dérivée de la composante x de la force par rapport à y, la force est une force conservatrice, ce qui signifie que la trajectoire empruntée pour les calculs d'énergie potentielle ou de travail donne toujours les mêmes résultats.
Solution
un :
\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{d(axy^{3})}{dy} = 3axy^{2} \nonumber\]
et
\[\frac{dF_{y}}{dx} = \frac{d(ayx^{3})}{dx} = 3ayx^{2}, \nonumber\]
cette force n'est donc pas conservatrice.
b :
\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{d \left(\dfrac{ay^{2}}{x}\right)}{dy} = \frac{2ay}{x} \nonumber\]
et
\[\frac{dF_{y}}{dx} = \frac{d(2ay \ln \left(\dfrac{x}{b}\right))}{dx} = \frac{2ay}{x}, \nonumber\]
cette force est donc conservatrice.
c :
\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{d \left(\dfrac{ax}{(x^{2} + y^{2})}\right)}{dy} = - \frac{ax(2y)}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \frac{dF_{y}}{dx} = \frac{d \left(\dfrac{ay}{(x^{2} + y^{2})}\right)}{dx },\]
encore une fois conservateur.
L'importance
Les conditions de l'équation \ ref {8.10} sont des dérivées en tant que fonctions d'une seule variable ; en trois dimensions, il existe des conditions similaires impliquant davantage de dérivées.
Une force conservatrice bidimensionnelle est nulle sur les axes x et y et satisfait à la condition\(\left(\dfrac{dF_{x}}{dy}\right) = \left(\dfrac{dF_{y}}{dy}\right)\) = (4 N/m 3) xy. Quelle est l'ampleur de la force au point\(x = y = 1\, m\) ?
Avant de quitter cette section, nous remarquons que les forces non conservatrices ne sont pas associées à de l'énergie potentielle, car cette énergie est perdue dans le système et ne peut pas être transformée en travail utile plus tard. Il y a donc toujours une force conservatrice associée à chaque énergie potentielle. Nous avons vu que l'énergie potentielle est définie en fonction du travail effectué par les forces conservatrices. Cette relation, l'équation 8.2.1, impliquait une intégrale pour le travail ; en commençant par la force et le déplacement, vous l'avez intégrée pour obtenir le travail et la variation de l'énergie potentielle. Cependant, l'intégration est l'opération inverse de la différenciation ; vous auriez tout aussi bien pu commencer par l'énergie potentielle et prendre sa dérivée, par rapport au déplacement, pour obtenir la force. L'incrément infinitésimal de l'énergie potentielle est le produit scalaire de la force et du déplacement infinitésimal,
\[dU = - \vec{F}\; \cdotp d \vec{l} = - F_{l}dl \ldotp\]
Ici, nous avons choisi de représenter le déplacement dans une direction arbitraire par d\(\vec{l}\), afin de ne pas être limités à une direction de coordonnées particulière. Nous avons également exprimé le produit scalaire en termes d'amplitude du déplacement infinitésimal et de composante de la force dans sa direction. Ces deux quantités sont scalaires, vous pouvez donc les diviser par dl pour obtenir
\[F_{l} = - \frac{dU}{dl} \ldotp \label{8.11}\]
Cette équation donne la relation entre la force et l'énergie potentielle qui lui est associée. En d'autres termes, la composante d'une force conservatrice, dans une direction particulière, est égale au négatif de la dérivée de l'énergie potentielle correspondante, par rapport à un déplacement dans cette direction. Pour un mouvement unidimensionnel, disons le long de l'axe X, l'équation \ ref {8.11} donne la force vectorielle complète,
\[\bar{F} = F_{x} \hat{i} = - \frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} \ldotp\]
En deux dimensions,
\[ \begin{align} \bar{F} &= F_{x} \hat{i} + F_{y} \hat{j} \\[4pt] &= - \left(\dfrac{\partial U}{\partial x}\right) \hat{i} - \left(\dfrac{\partial U}{\partial y}\right) \hat{j} \ldotp \end{align}\]
À partir de cette équation, vous pouvez comprendre pourquoi l'équation \ ref {8.11} est la condition pour que le travail soit un différentiel exact, en termes de dérivées des composantes de la force. En général, une notation dérivée partielle est utilisée. Si une fonction contient de nombreuses variables, la dérivée est prise uniquement à partir de la variable spécifiée par la dérivée partielle. Les autres variables sont maintenues constantes. En trois dimensions, vous ajoutez un autre terme pour la composante z, et le résultat est que la force est le négatif du gradient de l'énergie potentielle. Cependant, nous n'examinerons pas encore d'exemples en trois dimensions.
L'énergie potentielle d'une particule subissant un mouvement unidimensionnel le long de l'axe X est
\[U(x) = \frac{1}{4} cx^{4}, \nonumber\]
où c = 8 N/m 3. Son énergie totale à x = 0 est de 2 J et elle n'est soumise à aucune force non conservatrice. Détermine (a) les positions où son énergie cinétique est nulle et (b) les forces à ces positions.
Stratégie
- Nous pouvons trouver les positions où K = 0, donc l'énergie potentielle est égale à l'énergie totale du système donné.
- À l'aide de l'équation \ ref {8.11}, nous pouvons trouver la force évaluée aux positions trouvées dans la partie précédente, puisque l'énergie mécanique est conservée.
Solution
- L'énergie totale du système de 2 J est égale à l'énergie élastique quartique indiquée dans le problème 2$ \ ; J = \ frac {1} {4} (8 \ ; N/m^ {3}) x_ {f} ^ {4} \ LDotp$$La résolution de x f donne x f = ±1 m.
- À partir de l'équation \ ref {8.11}, $$F_ {x} = - \ frac {dU} {dx} = -cx^ {3} \ ldotp$$ Ainsi, en évaluant la force à ±1 m, nous obtenons $$ \ vec {F} = - (8 \ ; N/m^ {3}) (\ pm 1 \ ; m) ^ {3} \ hat {i} = - (8 \ ; N/m^ {3}) (\ pm 1 \ ; m) ^ {3} \ hat {i} = 8 pm \ ; N \ hat {i} \ LDotp$$Aux deux positions, l'amplitude des forces est de 8 N et les directions sont vers l'origine, puisqu'il s'agit du énergie potentielle pour une force de rappel.
L'importance
Trouver la force à partir de l'énergie potentielle est mathématiquement plus facile que de trouver l'énergie potentielle à partir de la force, car il est généralement plus facile de différencier une fonction que d'en intégrer une.
Déterminez les forces sur la particule dans l'exemple\(\PageIndex{2}\) lorsque son énergie cinétique est de 1,0 J à\(x = 0\).