1.5 : Analyse dimensionnelle
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- Déterminez les dimensions d'une expression mathématique impliquant des quantités physiques.
- Déterminez si une équation impliquant des quantités physiques est dimensionnellement cohérente.
La dimension de toute quantité physique exprime sa dépendance par rapport aux quantités de base en tant que produit de symboles (ou puissances de symboles) représentant les quantités de base. Le tableau\(\PageIndex{1}\) répertorie les quantités de base et les symboles utilisés pour leur dimension. Par exemple, une mesure de longueur est dite de dimension L ou L 1, une mesure de masse de dimension M ou M 1, et une mesure de temps de dimension T ou T 1. Comme les unités, les dimensions obéissent aux règles de l'algèbre. Ainsi, la surface est le produit de deux longueurs et a donc la dimension L 2, ou longueur au carré. De même, le volume est le produit de trois longueurs et a une dimension L 3, ou longueur au cube. La vitesse a une dimension de longueur dans le temps, L/T ou LT —1. La densité de masse volumétrique a une dimension M/L 3 ou ML —3, ou la masse sur la longueur cubique. En général, la dimension de n'importe quelle quantité physique peut être écrite comme
\[L^{a}M^{b}T^{c}I^{d}\Theta^{e}N^{f}J^{g}\]
pour certaines puissances a, b, c, d, e, f et g. On peut écrire les dimensions d'une longueur sous cette forme avec a = 1 et les six puissances restantes toutes égales à zéro :
\[L^{1} = L^{1}M^{0}T^{0}I^{0}\Theta^{0}N^{0}J^{0}.\]
Toute quantité dont la dimension peut être écrite de telle sorte que les sept puissances soient nulles (c'est-à-dire que sa dimension l'est\(L^{0}M^{0}T^{0}I^{0}\Theta^{0}N^{0}J^{0}\)) est dite sans dimension (ou parfois « de dimension 1 », parce que tout ce qui est élevé à la puissance zéro est un). Les physiciens appellent souvent des quantités adimensionnelles des nombres purs.
| Quantité de base | Symbole de dimension |
|---|---|
| Longueur | L |
| Masse | M |
| Heure | T |
| Actuel | JE |
| Température thermodynamique | \(\Theta\) |
| Quantité de substance | N |
| Intensité lumineuse | J |
Les physiciens utilisent souvent des crochets autour du symbole d'une quantité physique afin de représenter les dimensions de cette quantité. Par exemple, si r est le rayon d'un cylindre et h est sa hauteur, alors nous écrivons [r] = L et [h] = L pour indiquer que les dimensions du rayon et de la hauteur sont toutes deux celles de la longueur, ou L. De même, si nous utilisons le symbole A pour la surface d'un cylindre et V pour son volume, alors [A] = L 2 et [V] = L 3. Si nous utilisons le symbole m pour la masse du cylindre et\(\rho\) pour la densité du matériau à partir duquel le cylindre est fabriqué, alors [m] = M et [\(\rho\)] = ML -3.
L'importance du concept de dimension provient du fait que toute équation mathématique relative à des grandeurs physiques doit être dimensionnellement cohérente, ce qui signifie que l'équation doit respecter les règles suivantes :
- Chaque terme d'une expression doit avoir les mêmes dimensions ; cela n'a aucun sens d'ajouter ou de soustraire des quantités de dimensions différentes (pensez au vieux dicton : « On ne peut pas ajouter de pommes et d'oranges »). En particulier, les expressions de chaque côté de l'égalité dans une équation doivent avoir les mêmes dimensions.
- Les arguments de toutes les fonctions mathématiques standard telles que les fonctions trigonométriques (telles que les sinus et les cosinus), les logarithmes ou les fonctions exponentielles qui apparaissent dans l'équation doivent être adimensionnels. Ces fonctions nécessitent des nombres purs en entrée et donnent des nombres purs en sortie.
Si l'une ou l'autre de ces règles est violée, une équation n'est pas dimensionnellement cohérente et ne peut pas être une déclaration correcte de la loi physique. Ce simple fait peut être utilisé pour vérifier les fautes de frappe ou d'algèbre, pour aider à se souvenir des différentes lois de la physique et même pour suggérer la forme que pourraient prendre les nouvelles lois de la physique. Cette dernière utilisation des dimensions dépasse le cadre de ce texte, mais c'est quelque chose que vous apprendrez sans aucun doute plus tard dans votre carrière universitaire.
Supposons que nous ayons besoin de la formule pour l'aire d'un cercle pour certains calculs. Comme beaucoup de personnes qui ont appris la géométrie il y a trop longtemps pour s'en souvenir avec certitude, deux expressions peuvent nous venir à l'esprit lorsque nous pensons aux cercles :\(\pi r^{2}\) et\(2 \pi r\). Une expression est la circonférence d'un cercle de rayon r et l'autre est son aire. Mais qui est lequel ?
Stratégie
Une stratégie naturelle consiste à le rechercher, mais cela peut prendre du temps pour trouver des informations auprès d'une source fiable. De plus, même si nous pensons que la source est fiable, nous ne devons pas nous fier à tout ce que nous lisons. C'est bien d'avoir un moyen de vérifier simplement en y réfléchissant. De plus, nous pouvons être dans une situation dans laquelle nous ne pouvons pas rechercher des éléments (par exemple lors d'un test). La stratégie consiste donc à trouver les dimensions des deux expressions en utilisant le fait que les dimensions suivent les règles de l'algèbre. Si l'une ou l'autre des expressions n'a pas les mêmes dimensions que la surface, il est impossible qu'il s'agisse de l'équation correcte pour l'aire d'un cercle.
Solution
Nous savons que la dimension de la surface est L 2. Maintenant, la dimension de l'expression\(\pi r^{2}\) est
\[[\pi r^{2}] = [\pi] \cdotp [r]^{2} = 1 \cdotp L^{2} = L^{2},\]
puisque la constante\(\pi\) est un nombre pur et le rayon r est une longueur. Par conséquent,\(\pi r^{2}\) a la dimension de la surface. De même, la dimension de l'expression\(2 \pi r\) est
\[[2 \pi r] = [2] \cdotp [\pi] \cdotp [r] = 1 \cdotp 1 \cdotp L = L,\]
puisque les constantes 2 et 3\(\pi\) sont toutes deux sans dimension et que le rayon r est une longueur. Nous voyons que cela\(2 \pi r\) a la dimension de la longueur, ce qui signifie qu'il ne peut pas s'agir d'une zone.
Nous l'excluons\(2 \pi r\) parce que cela n'est pas dimensionnellement compatible avec le fait d'être une zone. Nous voyons que\(\pi r^{2}\) c'est dimensionnellement cohérent avec le fait d'être une zone, donc si nous devons choisir entre ces deux expressions,\(\pi r^{2}\) c'est celle qu'il faut choisir.
L'importance
Cela peut sembler un exemple stupide, mais les idées sont très générales. Tant que nous connaissons les dimensions des différentes grandeurs physiques qui apparaissent dans une équation, nous pouvons vérifier si l'équation est dimensionnellement cohérente. D'autre part, sachant que les vraies équations sont dimensionnellement cohérentes, nous pouvons faire correspondre les expressions de nos souvenirs imparfaits aux quantités pour lesquelles elles peuvent être des expressions. Cela ne nous aidera pas à nous souvenir des facteurs adimensionnels qui apparaissent dans les équations (par exemple, si vous avez accidentellement confondu les deux expressions de l'exemple\(2 \pi r^{2}\), l'analyse dimensionnelle ne nous aidera pas), mais cela nous aidera à nous souvenir de la forme de base correcte des équations.
Supposons que nous voulions la formule du volume d'une sphère. Les deux expressions couramment mentionnées dans les discussions élémentaires sur les sphères sont\(4 \pi r^{2}\) et\(\frac{4}{3} \pi r^{3}\). L'un est le volume d'une sphère de rayon r et l'autre est sa surface. Lequel est le volume ?
- Réponse
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Considérez les grandeurs physiques s, v, a et t avec les dimensions [s] = L, [v] = LT −1, [a] = LT −2 et [t] = T. Déterminez si chacune des équations suivantes est dimensionnellement cohérente :
- s = vt + 0,5 à 2 ;
- s = vt 2 + 0,5 at ; et
- v = péché (\(\frac{at^{2}}{s}\)).
Stratégie
Par la définition de la cohérence dimensionnelle, nous devons vérifier que chaque terme d'une équation donnée a les mêmes dimensions que les autres termes de cette équation et que les arguments de toutes les fonctions mathématiques standard sont adimensionnels.
Solution
- Il n'y a aucune fonction trigonométrique, logarithmique ou exponentielle à prendre en compte dans cette équation. Il suffit donc de regarder les dimensions de chaque terme apparaissant dans l'équation. Il y a trois termes, un dans l'expression de gauche et deux dans l'expression de droite. Nous les examinons donc tour à tour :
\[[s] = L\]
\[[vt] = [v] \cdotp [t] = LT^{−1} \cdotp T = LT^{0} = L\]
\[[0.5at^{2} ] = [a] \cdotp [t]^{2} = LT^{−2} \cdotp T^{2} = LT^{0} = L \ldotp\]
- Encore une fois, il n'existe aucune fonction trigonométrique, exponentielle ou logarithmique. Il suffit donc d'examiner les dimensions de chacun des trois termes figurant dans l'équation :
\[[s] = L\]
\[[vt^{2}] = [v] \cdotp [t]^{2} = LT^{−1} \cdotp T^{2} = LT\]
\[[at] = [a] \cdotp [t] = LT^{−2} \cdotp T = LT^{−1} \ldotp\]
Aucun des trois termes n'a la même dimension que les autres, donc c'est à peu près aussi cohérent que possible sur le plan dimensionnel. Le terme technique utilisé pour désigner une telle équation est absurde.
- Cette équation contient une fonction trigonométrique, donc nous devons d'abord vérifier que l'argument de la fonction sinusoïdale est sans dimension :
\[\left[\frac{at^{2}}{s}\right] = \frac{[a] \cdotp [t]^{2}}{[s]} = \frac{LT^{-2} \cdotp T^{2}}{L} = \frac{L}{L} = 1 \ldotp\]
L'argument est sans dimension. Jusqu'à présent, tout va bien. Nous devons maintenant vérifier les dimensions de chacun des deux termes (c'est-à-dire l'expression de gauche et l'expression de droite) de l'équation :
\[[v] = LT^{-1}\]
\[\left[ sin \left(\dfrac{at^{2}}{s}\right) \right] = 1 \ldotp\]
Les deux termes ont des dimensions différentes, ce qui signifie que l'équation n'est pas dimensionnellement cohérente. Cette équation est un autre exemple de « non-sens ».
L'importance
Si nous faisons confiance aux gens, ces types de contrôles dimensionnels peuvent sembler inutiles. Mais rassurez-vous, tout manuel sur un sujet quantitatif tel que la physique (y compris celui-ci) contient presque certainement des équations avec des fautes de frappe. En vérifiant régulièrement les équations par analyse dimensionnelle, nous évitons l'embarras d'utiliser une équation incorrecte. De plus, vérifier les dimensions d'une équation que nous obtenons par manipulation algébrique est un excellent moyen de s'assurer que nous n'avons pas commis d'erreur (ou de détecter une erreur, si nous en avons commis une).
L'équation v = at est-elle dimensionnellement cohérente ?
- Réponse
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Un autre point qu'il convient de mentionner est l'effet des opérations de calcul sur les dimensions. Nous avons vu que les dimensions obéissent aux règles de l'algèbre, tout comme les unités, mais que se passe-t-il lorsque nous prenons la dérivée d'une quantité physique par rapport à une autre ou que nous intégrons une quantité physique par rapport à une autre ? La dérivée d'une fonction est simplement la pente de la droite tangente à son graphe et les pentes sont des ratios. Ainsi, pour les quantités physiques v et t, nous avons que la dimension de la dérivée de v par rapport à t est juste le rapport de la dimension de v sur celle de t :
\[\left[\frac{dv}{dt} \right] = \frac{[v]}{[t]} \ldotp\]
De même, puisque les intégrales ne sont que des sommes de produits, la dimension de l'intégrale de v par rapport à t est simplement la dimension de v multipliée par la dimension de t :
\[\left[ \int vdt \right] = [v] \cdotp [t] \ldotp\]
Selon le même raisonnement, des règles analogues s'appliquent aux unités de grandeurs physiques dérivées d'autres grandeurs par intégration ou différenciation.