12.2 : La loi Biot-Savart
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Expliquer comment dériver un champ magnétique à partir d'un courant arbitraire dans un segment de ligne
- Calculez le champ magnétique à partir de la loi de Biot-Savart dans des géométries spécifiques, telles qu'un courant dans une ligne et un courant dans un arc circulaire
Nous avons vu que la masse produit un champ gravitationnel et interagit également avec ce champ. La charge produit un champ électrique et interagit également avec ce champ. Puisque la charge mobile (c'est-à-dire le courant) interagit avec un champ magnétique, on peut s'attendre à ce qu'elle crée également ce champ, et c'est le cas.
L'équation utilisée pour calculer le champ magnétique produit par un courant est connue sous le nom de loi de Biot-Savart. Il s'agit d'une loi empirique nommée en l'honneur de deux scientifiques qui ont étudié l'interaction entre un fil droit porteur de courant et un aimant permanent. Cette loi nous permet de calculer l'amplitude et la direction du champ magnétique produit par un courant dans un fil. La loi de Biot-Savart stipule qu'en tout point\(P\) (Figure\(\PageIndex{1}\)), le champ magnétique\(d\vec{B}\) dû à un élément\(d\vec{l}\) d'un fil porteur de courant est donné par
\[d\vec{B} = \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{Id\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}. \label{Biot-Savart law}\]
La constante\(\mu_0\) est connue sous le nom de perméabilité de l'espace libre et est exactement
\[\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T \cdot m/A \label{eq1}\]
dans le système SI. Le segment de fil infinitésimal\(d\vec{l}\) est dans la même direction que le courant\(I\) (supposé positif), correspond\(r\)\(d\vec{l}\) à la distance entre\(P\) et et\(\hat{r}\) est un vecteur unitaire qui pointe de\(d\vec{l}\) à\(P\), comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{1}\). La direction de\(d\vec{B}\) est déterminée en appliquant la règle de la main droite au produit vectoriel\(d\vec{l} \times \hat{r}\). L'ampleur de\(d\vec{B}\) est
\[dB = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{I \, dl \, \sin \, \theta}{r^2} \label{eq2}\]
où\(\theta\) est l'angle entre\(d\vec{l}\) et\(\hat{r}\). Remarquez que si\(\theta = 0\), alors\(d\vec{B} = \vec{0}\). Le champ produit par un élément de courant n'\(I d\vec{l}\)a aucune composante parallèle à\(d\vec{l}\).
Le champ magnétique dû à une longueur finie de fil porteur de courant est déterminé en intégrant l'équation \ ref {eq1} le long du fil, ce qui nous donne la forme habituelle de la loi de Biot-Savart.
Le champ magnétique\(\vec{B}\) dû à un élément\(d\vec{l}\) d'un fil porteur de courant est donné par
\[\vec{B} = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int_{wire} \dfrac{I \, d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}. \label{BS}\]
Comme il s'agit d'une intégrale vectorielle, les contributions des différents éléments actuels peuvent ne pas pointer dans la même direction. Par conséquent, l'intégrale est souvent difficile à évaluer, même pour des géométries assez simples. La stratégie suivante peut être utile.
Pour résoudre les problèmes liés à la loi de Biot-Savart, les étapes suivantes sont utiles :
- Identifiez que la loi de Biot-Savart est la méthode choisie pour résoudre le problème donné. S'il existe une symétrie dans le problème en comparant\(\vec{B}\) et\(d\vec{l}\), la loi d'Ampère peut être la méthode préférée pour résoudre la question.
- Dessinez la longueur de l'élément actuel\(d\vec{l}\) et le vecteur unitaire en\(\hat{r}\) notant que celui-ci\(d\vec{l}\) pointe dans la direction du courant et\(\hat{r}\) pointe depuis l'élément actuel vers le point où le champ est souhaité.
- Calculez le\(d\vec{l} \times \hat{r}\) produit croisé. Le vecteur résultant donne la direction du champ magnétique selon la loi de Biot-Savart.
- Utilisez l'équation \ ref {BS} et remplacez toutes les quantités données dans l'expression pour résoudre le champ magnétique. Notez que toutes les variables qui restent constantes sur toute la longueur du fil peuvent être prises en compte hors de l'intégration.
- Utilisez la règle de droite pour vérifier la direction du champ magnétique produit par le courant ou pour noter la direction du champ magnétique si seule la magnitude a été résolue dans la partie précédente.
Un fil court de 1,0 cm de long transporte un courant de 2,0 A dans le sens vertical (Figure\(\PageIndex{2}\)). Le reste du fil est blindé de manière à ne pas augmenter le champ magnétique produit par le fil. Calculez le champ magnétique au point P, qui se trouve à 1 mètre du fil dans la direction X.
Stratégie
Nous pouvons déterminer le champ magnétique à un point\(P\) en utilisant la loi de Biot-Savart. Comme le segment actuel est beaucoup plus petit que la distance x, nous pouvons supprimer l'intégrale de l'expression. L'intégration est reconvertie en une sommation, mais uniquement pour les petites\(dl\), que nous écrivons maintenant sous la forme\(\Delta l\). Une autre façon de penser est que chacune des valeurs de rayon est presque la même, peu importe où se trouve l'élément actuel sur le segment de ligne, elle\(\Delta l\) est petite par rapport à x. L'angle\(\theta\) est calculé à l'aide d'une fonction tangente. En utilisant les nombres donnés, nous pouvons calculer le champ magnétique à\(P\).
Solution
L'angle entre\(\Delta \vec{l}\) et\(\hat{r}\) est calculé à partir de la trigonométrie, en connaissant les distances l et x par rapport au problème :
\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{1 \, m}{0.01 \, m}\right) = 89.4^o. \nonumber\]
Le champ magnétique au point\(P\) est calculé par la loi de Biot-Savart (équation \ ref {eq2}) :
\[\begin{align*} B &= \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I \Delta l \, \sin \, \theta}{r^2} \\[4pt] &= (1 \times 10^{-7} T \cdot m/A)\left( \dfrac{2 \, A(0.01 \, m)\, sin \, (89.4^o)}{(1 \, m)^2}\right) \\[4pt] &= 2.0 \times 10^{-9}T. \end{align*}\]
À partir de la règle de droite et de la loi de Biot-Savart, le champ est dirigé vers la page.
L'importance
Cette approximation n'est bonne que si la longueur du segment de ligne est très petite par rapport à la distance entre l'élément actuel et le point. Dans le cas contraire, la forme intégrale de la loi de Biot-Savart doit être utilisée sur l'ensemble du segment de ligne pour calculer le champ magnétique.
En utilisant l'exemple\(\PageIndex{1}\), à quelle distance devrait se trouver P pour mesurer un champ magnétique la moitié de la réponse donnée ?
Solution
1,41 mètres
Un fil transporte un courant I dans un arc de cercle dont le rayon R est parcouru selon un angle arbitraire\(\theta\) (Figure\(\PageIndex{3}\)). Calculez le champ magnétique au centre de cet arc au point P.
Stratégie
Nous pouvons déterminer le champ magnétique au point P en utilisant la loi de Biot-Savart. La direction radiale et la direction de la longueur de la trajectoire sont toujours à angle droit, de sorte que le produit croisé se transforme en multiplication. Nous savons également que la distance le long de la trajectoire dl est liée au rayon multiplié par l'angle\(\theta\) (en radians). Ensuite, nous pouvons extraire toutes les constantes de l'intégration et résoudre le champ magnétique.
Solution
La loi de Biot-Savart part de l'équation suivante :
\[\vec{B} = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int_{wire} \dfrac{Id\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}. \nonumber\]
Lorsque nous nous intégrons le long de l'arc, toutes les contributions au champ magnétique se font dans la même direction (hors de la page), ce qui nous permet de travailler avec l'amplitude du champ. Le produit croisé se transforme en multiplication car la trajectoire\(dl\) et la direction radiale sont perpendiculaires. Nous pouvons également remplacer la formule de longueur d'arc, comme\(dl = r\,d\theta\) suit :
\[B = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int_{wire} \dfrac{Ir \, d\theta}{r^2}. \nonumber\]
Le courant et le rayon peuvent être extraits de l'intégrale car ils sont les mêmes quel que soit l'endroit où nous nous trouvons sur le chemin. Il ne reste donc que l'intégrale au-dessus de l'angle,
\[B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi r} \int_{wire} d\theta.\nonumber\]
L'angle varie sur le fil de 0 à\(\theta\) ; par conséquent, le résultat est
\[B = \dfrac{\mu_0I\theta}{4\pi r}. \nonumber\]
L'importance
La direction du champ magnétique au point\(P\) est déterminée par la règle de la main droite, comme indiqué dans le chapitre précédent. S'il y a d'autres fils dans le diagramme en plus de l'arc et qu'on vous demande de trouver le champ magnétique net, trouvez chaque contribution d'un fil ou d'un arc et additionnez les résultats par superposition de vecteurs. Assurez-vous de faire attention à l'orientation de chaque contribution. Notez également que dans une situation symétrique, comme dans un fil droit ou circulaire, les contributions provenant des côtés opposés de la pointe s'\(P\)annulent mutuellement.
La boucle de fil forme un cercle complet de rayon R et de courant I. Quelle est l'amplitude du champ magnétique au centre ?
Solution
\(\dfrac{\mu_0 I}{2R}\)