10.6 : Circuits RC
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À la fin de la section, vous serez en mesure de :
- Décrire le processus de charge d'un condensateur
- Décrire le processus de décharge d'un condensateur
- Liste de quelques applications des circuits RC
Lorsque vous utilisez un appareil photo flash, il faut quelques secondes pour charger le condensateur qui alimente le flash. Le flash de lumière décharge le condensateur en une infime fraction de seconde. Pourquoi la recharge prend-elle plus de temps que la décharge ? Cette question et plusieurs autres phénomènes impliquant la charge et la décharge de condensateurs sont abordés dans ce module.
Circuits avec résistance et capacité
Un circuit RC est un circuit contenant une résistance et une capacité. Comme présenté dans Capacitance, le condensateur est un composant électrique qui stocke la charge électrique, stockant de l'énergie dans un champ électrique.
La figure\(\PageIndex{1a}\) montre un circuit RC simple qui utilise une source de tension continue (courant continu)\(ε\), une résistance\(R\), un condensateur\(C\) et un commutateur à deux positions. Le circuit permet de charger ou de décharger le condensateur, en fonction de la position du commutateur. Lorsque l'interrupteur est mis en position\(A\), le condensateur se charge, ce qui donne naissance au circuit de la figure\(\PageIndex{1b}\). Lorsque l'interrupteur est déplacé vers la position B, le condensateur se décharge à travers la résistance.
Charger un condensateur
Nous pouvons utiliser la règle de boucle de Kirchhoff pour comprendre la charge du condensateur. Cela aboutit à l'équation\(\epsilon - V_R - V_C = 0\). Cette équation peut être utilisée pour modéliser la charge en fonction du temps lorsque le condensateur se charge. La capacité est définie comme\(C = q/V\), donc la tension aux bornes du condensateur est\(V_C = \frac{q}{C}\). En utilisant la loi d'Ohm, la chute de potentiel à travers la résistance est\(V_R = IR\), et le courant est défini comme\(I = dq/dt\).
\[\epsilon - V_R - V_C =0,\]
\[\epsilon - IR - \frac{q}{C} = 0,\]
\[\epsilon - R\frac{dq}{dt} - \frac{q}{C} = 0.\]
Cette équation différentielle peut être intégrée pour trouver une équation pour la charge du condensateur en fonction du temps.
\[\epsilon - R\frac{dq}{dt} - \frac{q}{C} = 0.\]
\[\frac{dq}{dt} = \frac{\epsilon C - q}{RC},\]
\[\int_0^q \frac{dq}{\epsilon C - q} = \frac{1}{RC} \int_0^t dt.\]
Laisse\(u = \epsilon C - q\), alors\(du = -dq\). Le résultat est
\[-\int_0^q \frac{du}{u} = \frac{1}{RC} \int_0^t dt,\]
\[\ln \left(\frac{\epsilon C - q}{\epsilon C}\right) = - \frac{1}{RC} t.\]
\[\frac{\epsilon C - q}{\epsilon C} = e^{-t/RC}.\]
La simplification aboutit à une équation pour la charge du condensateur de charge en fonction du temps :
\[q(t) = C\epsilon \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right) = Q\left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right).\]
Un graphique de la charge du condensateur en fonction du temps est illustré sur la figure\(\PageIndex{2a}\). Notez d'abord que lorsque le temps approche de l'infini, l'exponentielle passe à zéro, de sorte que la charge se rapproche de la charge maximale\(Q = C\epsilon\) et possède des unités de coulombs. Les unités de RC sont les secondes, les unités de temps. Cette quantité est connue sous le nom de constante de temps :
\[\tau = RC.\]
À un moment\(t = \tau = RC\) donné, la charge est égale à\(1 - e^{-1} = 1 - 0.368 = 0.632\) la charge maximale\(Q = C\epsilon\). Notez que la variation de la vitesse de charge dans le temps est la pente en un point du diagramme de charge en fonction du temps. La pente du graphique est grande dans le temps\(t - 0.0 \, s\) et se rapproche de zéro à mesure que le temps augmente.
Lorsque la charge du condensateur augmente, le courant traversant la résistance diminue, comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{2b}\). Le courant traversant la résistance peut être déterminé en prenant la dérivée temporelle de la charge.
\[ \begin{align*} I(t) &= \frac{dq}{dt} \\[4pt] &= \frac{d}{dt}\left[C\epsilon \left( 1 - e^{-\frac{t}{RC}} \right) \right], \\[4pt] &= C\epsilon \left(\frac{1}{RC}\right) e^{-\frac{t}{RC}} \\[4pt] &= \frac{\epsilon}{R} e^{-\frac{t}{TC}} \\[4pt] &= I_0 e^{-\frac{t}{RC}}, \end{align*}\]
\[I(t) = I_0 e^{-t/\tau}.\]
À ce moment\(t = 0.0 \, s\), le courant traversant la résistance est de\(I_0 = \frac{\epsilon}{R}\). À mesure que le temps approche de l'infini, le courant approche de zéro. À ce moment\(t = \tau\), le courant traversant la résistance est de\(I (t = \tau) = I_0e^{-1} = 0.368 I_0\).
Les figures\(\PageIndex{2c}\) et\(\PageIndex{2d}\) la figure montrent les différences de tension entre le condensateur et la résistance, respectivement. Lorsque la charge du condensateur augmente, le courant diminue, tout comme la différence de tension aux bornes de la résistance\(V_R(t) = (I_0R)e^{-t/\tau} = \epsilon e^{-t/\tau}\). La différence de tension aux bornes du condensateur augmente à mesure que\(V_C (t) = \epsilon (1 - e^{-t/\tau} )\).
Décharger un condensateur
Lorsque le commutateur de la figure\(\PageIndex{3a}\) est déplacé vers la position B, le circuit se réduit au circuit en partie (c) et le condensateur chargé est autorisé à se décharger à travers la résistance. Un graphique de la charge du condensateur en fonction du temps est illustré sur la figure\(\PageIndex{3a}\). L'utilisation de la règle de boucle de Kirchhoff pour analyser le circuit lorsque le condensateur se décharge donne l'équation\(-V_R -V_C = 0\), qui se simplifie à\(IR + \frac{q}{C} = 0\). L'utilisation de la définition du courant\(\frac{dq}{dt}R = - \frac{q}{C}\) et l'intégration de l'équation de la boucle permettent d'obtenir une équation pour la charge du condensateur en fonction du temps :
\[q(t) = Qe^{-t/\tau}.\]
Ici, Q est la charge initiale sur le condensateur et\(\tau = RC\) est la constante de temps du circuit. Comme le montre le graphique, la charge diminue de façon exponentielle par rapport à la charge initiale, se rapprochant de zéro lorsque le temps approche de l'infini.
Le courant en fonction du temps peut être déterminé en prenant la dérivée temporelle de la charge :
\[I(t) = - \frac{Q}{RC}e^{-t/\tau}.\]
Le signe négatif indique que le courant circule dans le sens opposé au courant trouvé lorsque le condensateur est en charge. La figure\(\PageIndex{3b}\) montre un exemple de diagramme de charge en fonction du temps et du courant en fonction du temps. Un graphique de la différence de tension aux bornes du condensateur et de la différence de tension aux bornes de la résistance en fonction du temps est présenté dans les figures\(\PageIndex{3c}\) et\(\PageIndex{3d}\). Notez que les amplitudes de la charge, du courant et de la tension diminuent toutes de façon exponentielle, approchant zéro à mesure que le temps augmente.
Nous pouvons maintenant expliquer pourquoi la caméra flash mentionnée au début de cette section met beaucoup plus de temps à charger qu'à se décharger : la résistance pendant la charge est nettement supérieure à celle pendant la décharge. La résistance interne de la batterie représente la plus grande partie de la résistance lors de la charge. À mesure que la batterie vieillit, l'augmentation de la résistance interne ralentit encore le processus de charge.
L'une des applications d'un circuit RC est l'oscillateur de relaxation, comme indiqué ci-dessous. L'oscillateur de relaxation se compose d'une source de tension, d'une résistance, d'un condensateur et d'une lampe au néon. La lampe au néon agit comme un circuit ouvert (résistance infinie) jusqu'à ce que la différence de potentiel entre les lampes au néon atteigne une tension spécifique. À cette tension, la lampe agit comme un court-circuit (résistance nulle) et le condensateur se décharge à travers la lampe au néon et produit de la lumière. Dans l'oscillateur à relaxation illustré, la source de tension charge le condensateur jusqu'à ce que la tension aux bornes du condensateur atteigne 80 V. Dans ce cas, le néon de la lampe tombe en panne et permet au condensateur de se décharger à travers la lampe, produisant ainsi un flash lumineux. Une fois que le condensateur se décharge complètement à travers la lampe au néon, il recommence à se charger et le processus se répète. En supposant que le temps nécessaire au condensateur pour se décharger est négligeable, quel est l'intervalle de temps entre les éclairs ?
Stratégie
La période peut être déterminée en considérant l'équation\(V_C(t) = \epsilon (1 - e^{=t/\tau})\). where \(\tau = (R + r)C.\)
Solution
The neon lamp flashes when the voltage across the capacitor reaches 80 V. The RC time constant is equal to \(\tau = (R + r) = (101 \, \Omega) (50 \times 10^{-3} F) = 5.05 \, s\). We can solve the voltage equation for the time it takes the capacitor to reach 80 V:
\[V_C (t) = \epsilon (1 - e^{-t/\tau} ),\]
\[e^{-t/\tau} = 1 - \frac{V_C(t)}{\epsilon},\]
\[ln (e^{-t/\tau}) = ln \left(1 - \frac{V_C(t)}{\epsilon} \right),\]
\[t = -\tau ln \left(1 - \frac{V_C(t)}{\epsilon} \right) = -5.05 \, s \cdot ln \left(1 - \frac{80 \, V}{100 \, V} \right) = 8.13 \, s.\]
Significance
One application of the relaxation oscillator is for controlling indicator lights that flash at a frequency determined by the values for R and C. In this example, the neon lamp will flash every 8.13 seconds, a frequency of \( f = \frac{1}{T} = \frac{1}{8.13 \, s} = 0.55 \, Hz\). The relaxation oscillator has many other practical uses. It is often used in electronic circuits, where the neon lamp is replaced by a transistor or a device known as a tunnel diode. The description of the transistor and tunnel diode is beyond the scope of this chapter, but you can think of them as voltage controlled switches. They are normally open switches, but when the right voltage is applied, the switch closes and conducts. The “switch” can be used to turn on another circuit, turn on a light, or run a small motor. A relaxation oscillator can be used to make the turn signals of your car blink or your cell phone to vibrate.
RC circuits have many applications. They can be used effectively as timers for applications such as intermittent windshield wipers, pace makers, and strobe lights. Some models of intermittent windshield wipers use a variable resistor to adjust the interval between sweeps of the wiper. Increasing the resistance increases the RC time constant, which increases the time between the operation of the wipers.
Another application is the pacemaker. The heart rate is normally controlled by electrical signals, which cause the muscles of the heart to contract and pump blood. When the heart rhythm is abnormal (the heartbeat is too high or too low), pace makers can be used to correct this abnormality. Pacemakers have sensors that detect body motion and breathing to increase the heart rate during physical activities, thus meeting the increased need for blood and oxygen, and an RC timing circuit can be used to control the time between voltage signals to the heart.
Looking ahead to the study of ac circuits (Alternating-Current Circuits), ac voltages vary as sine functions with specific frequencies. Periodic variations in voltage, or electric signals, are often recorded by scientists. These voltage signals could come from music recorded by a microphone or atmospheric data collected by radar. Occasionally, these signals can contain unwanted frequencies known as “noise.” RC filters can be used to filter out the unwanted frequencies.
In the study of electronics, a popular device known as a 555 timer provides timed voltage pulses. The time between pulses is controlled by an RC circuit. These are just a few of the countless applications of RC circuits.
A relaxation oscillator is used to control a pair of windshield wipers. The relaxation oscillator consists of a 10.00-mF capacitor and a \(10.00 \, k\Omega\) variable resistor known as a rheostat. A knob connected to the variable resistor allows the resistance to be adjusted from \(0.00 \, \Omega\) to \(10.00 \, k\Omega\). The output of the capacitor is used to control a voltage-controlled switch. The switch is normally open, but when the output voltage reaches 10.00 V, the switch closes, energizing an electric motor and discharging the capacitor. The motor causes the windshield wipers to sweep once across the windshield and the capacitor begins to charge again. To what resistance should the rheostat be adjusted for the period of the wiper blades be 10.00 seconds?
Stratégie
La résistance considère l'équation\(V_{out}(t) = V(1 - e^{-t/\tau})\), où\(\tau = RC\). La capacité, la tension de sortie et la tension de la batterie sont données. Nous devons résoudre cette équation pour la résistance.
Solution
La tension de sortie sera de 10,00 V et la tension de la batterie de 12,00 V. La capacité est donnée comme 10,00 mF. Résoudre les problèmes de résistance
\[V_{out}(t) = V(1 - e^{-t/\tau})\]
\[e^{-t/RC} = 1 - \frac{V_{out}(t)}{V},\]
\[ln (e^{-t/RC}) = ln \left(1 - \frac{V_{out}(t)}{V} \right),\]
\[-\frac{t}{RC} = ln \left(1 - \frac{V_{out}(t)}{V} \right),\]
\[R = \frac{-t}{C \, ln\left( 1 - \frac{V_C(t)}{V}\right)} = \frac{-10.00 \, s}{10 \times 10^{-3} F \, ln \left(1 - \frac{10 \, V}{12 \, V}\right)} = 558.11 \, \Omega.\]
L'importance
L'augmentation de la résistance augmente le délai entre les manœuvres des essuie-glaces. Lorsque la résistance est nulle, les essuie-glaces fonctionnent en continu. À la résistance maximale, la durée de fonctionnement des essuie-glaces est de :
\[t = -RC ln\left(1 - \frac{V_{out}(t)}{V}\right) = - (10 \times 10^{-3} F)(10 \times 10^3 \, \Omega) ln \left(1 - \frac{10 \, V}{12 \, V}\right) = 179.18 \, s = 2.98 \, min.\]
Le circuit RC a des milliers d'utilisations et est un circuit très important à étudier. Il peut non seulement être utilisé pour chronométrer les circuits, mais il peut également être utilisé pour filtrer les fréquences indésirables dans un circuit et utilisé dans les alimentations, comme celle de votre ordinateur, pour aider à transformer la tension alternative en tension continue.