2.S : La théorie cinétique des gaz (résumé)
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Termes clés
| Numéro d'Avogadro | \(N_A\), le nombre de molécules dans une mole d'une substance ;\(N_A=6.02×10^{23}\) particules/mole |
| Constante de Boltzmann | \(k_B\), une constante physique qui relie l'énergie à la température et qui apparaît dans la loi des gaz idéaux ;\(k_B=1.38×10^{−23}J/K\) |
| température critique | \(T_c\)où l'isotherme a un point à pente nulle |
| Loi des pressions partielles de Dalton | loi physique qui stipule que la pression totale d'un gaz est la somme des pressions partielles des gaz qui le composent |
|
Degré de liberté |
type de mouvement indépendant possédant de l'énergie, telle que l'énergie cinétique du mouvement dans l'une des trois directions spatiales orthogonales |
| théorème d'équipartition | théorème selon lequel l'énergie d'un système thermodynamique classique est partagée également entre ses degrés de liberté |
| gaz idéal | gaz à la limite de la faible densité et de la haute température |
| loi idéale sur les gaz | loi physique qui relie la pression et le volume d'un gaz, loin de la liquéfaction, au nombre de molécules de gaz ou au nombre de moles de gaz et à la température du gaz |
| énergie interne | somme des énergies mécaniques de toutes les molécules qu'il contient |
| théorie cinétique des gaz | théorie qui dérive les propriétés macroscopiques des gaz à partir du mouvement des molécules qui les composent |
| Maxwell-Boltzmann distribution | fonction qui peut être intégrée pour donner la probabilité de trouver des molécules de gaz idéales avec des vitesses comprises entre les limites d'intégration |
| chemin libre moyen | distance moyenne entre les collisions d'une particule |
| temps libre moyen | temps moyen entre les collisions d'une particule |
| taupe | quantité d'une substance dont la masse (en grammes) est égale à sa masse moléculaire |
| vitesse la plus probable | vitesse à proximité de laquelle se situent les vitesses de la plupart des molécules, pic de la fonction de distribution de la vitesse |
| pression partielle | pression qu'un gaz créerait s'il occupait le volume total d'espace disponible |
| vitesse maximale | identique à la « vitesse la plus probable » |
| Schéma pV | graphique de la pression par rapport au volume |
| vitesse quadratique moyenne (rms) | racine carrée de la moyenne du carré (d'une quantité) |
| supercritique | condition d'un fluide à une température et une pression telles que la phase liquide ne peut pas exister |
| constante de gaz universelle | R, la constante qui apparaît dans la loi des gaz idéaux exprimée en moles, donnée par\(R=N_Ak_B\) |
| Équation d'état de Van der Waals | équation, généralement approximative, qui relie la pression et le volume d'un gaz au nombre de molécules de gaz ou au nombre de moles de gaz et à la température du gaz |
| pression de vapeur | pression partielle d'une vapeur à laquelle elle est en équilibre avec la phase liquide (ou solide, en cas de sublimation) de la même substance |
Équations clés
| Loi des gaz idéale en termes de molécules | \(pV=Nk_BT\) |
| Rapports de loi des gaz idéaux si la quantité de gaz est constante | \(\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}\) |
| Loi des gaz idéale en termes de taupes | \(pV=nRT\) |
| Équation de Van der Waals | \([p+a(\frac{n}{V})^2](V−nb)=nRT\) |
| Pression, volume et vitesse moléculaire | \(pV=\frac{1}{3}Nm\bar{v^2}\) |
| Vitesse quadratique moyenne | \(v_{rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}=\sqrt{\frac{3k_BT}{m}}\) |
| Chemin libre moyen | \(λ=\frac{V}{4\sqrt{2}πr^2N}=\frac{k_BT}{4\sqrt{2}πr^2}\) |
| Temps libre moyen | \(τ=\frac{k_BT}{4\sqrt{2}πr^2pv_{rms}}\) |
Les deux équations suivantes s'appliquent uniquement à un gaz idéal monatomique :
| Énergie cinétique moyenne d'une molécule | \(\bar{K}=\frac{3}{2}k_BT\) |
| Énergie interne | \(E_{int}=\frac{3}{2}Nk_BT\). |
| Chaleur en termes de capacité calorifique molaire à volume constant | \(Q=nCVΔT\) |
| Capacité calorifique molaire à volume constant pour un gaz idéal avec d degrés de liberté | \(C_V=\frac{d}{2}R\) |
| Distribution de vitesse Maxwell-Boltzmann | \(f(v)=\frac{4}{\sqrt{π}}(\frac{m}{2k_BT})^{3/2}v^2e^{−mv^2/2k_BT}\) |
| Vitesse moyenne d'une molécule | \(\bar{v}=\sqrt{\frac{8}{π}\frac{k_BT}{m}}=\sqrt{\frac{8}{π}\frac{RT}{M}}\) |
| Vitesse maximale d'une molécule | \(v_p=\sqrt{\frac{2k_BT}{m}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}\) |
Résumé
2.2 Modèle moléculaire d'un gaz idéal
- La loi idéale des gaz relie la pression et le volume d'un gaz au nombre de molécules de gaz et à la température du gaz.
- Une mole de n'importe quelle substance contient un nombre de molécules égal au nombre d'atomes d'un échantillon de 12 g de carbone 12. Le nombre de molécules dans une mole s'appelle le nombre d'Avogadro\(N_A\),
\(N_A=6.02×10^{23}mol^{−1}\).
- Une mole de toute substance a une masse en grammes numériquement égale à sa masse moléculaire en unités de masse unifiées, qui peut être déterminée à partir du tableau périodique des éléments. La loi du gaz idéal peut également être écrite et résolue en termes de nombre de moles de gaz :
\(pV=nRT\),
où n est le nombre de moles et R est la constante universelle des gaz,
\(R=8.31J/mol⋅K\).
- La loi des gaz idéaux est généralement valable à des températures bien supérieures à la température d'ébullition.
- L'équation d'état de Van der Waals pour les gaz est valide plus près du point d'ébullition que la loi des gaz idéaux.
- Au-delà de la température et de la pression critiques pour une substance donnée, la phase liquide n'existe pas et l'échantillon est « supercritique ».
2.3 Pression, température et vitesse RMS
- La théorie cinétique est la description atomique des gaz ainsi que des liquides et des solides. Il modélise les propriétés de la matière en termes de mouvement aléatoire continu des molécules.
- La loi idéale des gaz peut être exprimée en termes de masse des molécules du gaz et\(\bar{v^2}\) de moyenne de la vitesse moléculaire au carré, au lieu de la température.
- La température des gaz est proportionnelle à l'énergie cinétique de translation moyenne des molécules. Ainsi, la vitesse typique des molécules de gaz\(v_{rms}\) est proportionnelle à la racine carrée de la température et inversement proportionnelle à la racine carrée de la masse moléculaire.
- Dans un mélange de gaz, chaque gaz exerce une pression égale à la pression totale multipliée par la fraction du mélange que constitue le gaz.
- Le trajet libre moyen (la distance moyenne entre les collisions) et le temps libre moyen des molécules de gaz sont proportionnels à la température et inversement proportionnels à la densité molaire et à la surface transversale des molécules.
2.4 Capacité calorifique et équirépartition de l'énergie
- Chaque degré de liberté d'un gaz idéal contribue\(\frac{1}{2}k_BT\) par atome ou molécule à ses changements d'énergie interne.
- Chaque degré de liberté contribue\(\frac{1}{2}R\) à sa capacité calorifique molaire à volume constant\(C_V\).
- Les degrés de liberté ne contribuent pas si la température est trop basse pour exciter l'énergie minimale du degré de liberté donnée par la mécanique quantique. Par conséquent, aux températures ordinaires, d=3 pour les gaz monoatomiques, d=5 pour les gaz diatomiques et d≥6 pour les gaz polyatomiques.
2.5 Distribution des vitesses moléculaires
- Le mouvement des molécules individuelles dans un gaz est aléatoire en amplitude et en direction. Cependant, un gaz composé de nombreuses molécules possède une distribution prévisible des vitesses moléculaires, connue sous le nom de distribution de Maxwell-Boltzmann.
- Les vitesses moyennes et les plus probables des molécules ayant la distribution de vitesse de Maxwell-Boltzmann, ainsi que la vitesse efficace, peuvent être calculées à partir de la température et de la masse moléculaire.