2.8 : La loupe simple
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Comprenez l'optique d'une simple loupe
- Caractérisez l'image créée par une simple loupe
La taille apparente d'un objet perçu par l'œil dépend de l'angle que l'objet sous-tend par rapport à l'œil. Comme le montre la figure\(\PageIndex{1}\), l'objet\(A\) sous-tend un angle plus grand par rapport à l'œil que lorsqu'il se trouve en position ponctuelle\(B\). Ainsi, l'objet\(A\) forme une image plus grande sur la rétine (voir\(OA′\)) que lorsqu'il est positionné sur\(B\) (voir\(OB′\)). Ainsi, les objets qui sous-tendent de grands angles par rapport à l'œil apparaissent plus grands parce qu'ils forment des images plus grandes sur la rétine.
Nous avons vu que, lorsqu'un objet est placé à une distance focale d'une lentille convexe, son image est virtuelle, verticale et plus grande que l'objet (voir la partie (b) de cette figure). Ainsi, lorsqu'une telle image produite par une lentille convexe sert d'objet à l'œil, comme le montre la figure\(\PageIndex{2}\), l'image sur la rétine est agrandie, car l'image produite par la lentille sous-tend un angle plus grand dans l'œil que ne le fait l'objet. Une lentille convexe utilisée à cette fin est appelée loupe ou loupe simple.
Pour prendre en compte le grossissement d'une loupe, nous comparons l'angle sous-tendu par l'image (créée par l'objectif) avec l'angle sous-tendu par l'objet (vu sans objectif), comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{1a}\). Nous supposons que l'objet est situé au point le plus proche de l'œil, car il s'agit de la distance à laquelle l'œil nu peut former la plus grande image de la rétine. Nous comparerons les images agrandies créées par un objectif avec cette taille d'image maximale pour l'œil nu. Le grossissement d'une image lorsqu'elle est observée par l'œil est le grossissement angulaire\(M\), qui est défini par le rapport entre l'angle\(θ_{image}\) sous-tendu par l'image et l'angle\(θ_{object}\) sous-tendu par l'objet :
\[M=\dfrac{θ_{image}}{θ_{object}}. \nonumber \]
Considérez la situation illustrée dans la figure\(\PageIndex{1b}\). La loupe est maintenue à une certaine distance\(ℓ\) de l'œil et l'image produite par la loupe se trouve à une certaine\(L\) distance de l'œil. Nous voulons calculer le grossissement angulaire pour n'importe quel\(L\) et\(ℓ\). Dans l'approximation du petit angle, la taille angulaire\(θ_{image}\) de l'image est de\(h_i/L\). La taille angulaire\(θ_{object}\) de l'objet au point le plus proche est de\(θ_{object}=h_o/25\,cm\). Le grossissement angulaire est alors
\[\underbrace{ M=\dfrac{θ_{image}}{θ_{object}}=\dfrac{h_i(25cm)}{Lh_o}}_{\text{angular magnification}} . \label{angular magnification} \]
Utilisation de la définition du grossissement linéaire
\[m=−\dfrac{d_i}{d_o}=\dfrac{h_i}{h_o} \label{mag} \]
et l'équation de la lentille fine
\[\dfrac{1}{d_o}+\dfrac{1}{d_i}=\dfrac{1}{f} \nonumber \]
nous arrivons à l'expression suivante pour le grossissement angulaire d'une loupe :
\[\begin{align} M&= \left(−\dfrac{d_i}{d_o}\right)\left(\dfrac{25\,cm}{L}\right) \\[4pt] &=−d_i\left(\dfrac{1}{f}−\dfrac{1}{d_i}\right)\left(\dfrac{25\,cm}{L}\right) \\[4pt] &= \left(1−\dfrac{d_i}{f}\right)\left(\dfrac{25\,cm}{L}\right) \label{eq10} \end{align} \]
Sur la figure\(\PageIndex{1b}\), nous voyons que la valeur absolue de la distance de l'image est\(|d_i|=L−ℓ\). Notez que\(d_i<0\), comme l'image est virtuelle, nous pouvons nous passer de la valeur absolue en insérant explicitement le signe moins :
\[−d_i=L−ℓ. \label{eq34} \]
L'insertion de l'équation \ ref {eq34} dans l'équation \ ref {eq10} nous donne l'équation finale pour le grossissement angulaire d'une loupe :
\[M=\left(\dfrac{25\,cm}{L}\right) \left(1+\dfrac{L−ℓ}{f} \right). \label{eq12} \]
Notez que toutes les quantités de cette équation doivent être exprimées en centimètres. Souvent, nous voulons que l'image soit à la distance la plus proche du point (par exemple,\(L=25\,cm\)) pour obtenir un grossissement maximal, et nous maintenons la loupe près de l'œil (\(ℓ=0\)). Dans ce cas, l'équation \ ref {eq12} donne
\[M=1+\dfrac{25\,cm}{f} \label{eq13} \]
ce qui indique que le grossissement le plus important se produit pour l'objectif dont la distance focale est la plus courte. De plus, lorsque l'image se trouve à la distance la plus proche et que l'objectif est maintenu près de l'œil (\(ℓ=0\)), alors\(L=d_i=25\,cm\) l'équation \ ref {eq12} devient
\[M=\dfrac{h_i}{h_o}=m \label{eq14} \]
où\(m\) est le grossissement linéaire (équation \ ref {mag}) précédemment dérivé pour les miroirs sphériques et les lentilles fines. Une autre situation utile est lorsque l'image est à l'infini (\(L=\infty\)). L'équation \ ref {eq12} prend alors la forme
\[M(L=\infty)=\dfrac{25\,cm}{f}. \label{eq15} \]
Le grossissement qui en résulte est simplement le rapport entre la distance du point proche et la distance focale de la lentille grossissante, de sorte qu'une lentille avec une distance focale plus courte donne un grossissement plus fort. Bien que ce grossissement soit inférieur de 1 à celui obtenu avec l'image au point le plus proche, il offre les conditions de visualisation les plus confortables, car l'œil est détendu lorsque vous regardez un objet éloigné.
En comparant les équations \ ref {eq13} et \ ref {eq15}, nous voyons que la plage de grossissement angulaire d'une lentille convergente donnée est
\[\dfrac{25cm}{f} ≤ M ≤1+\dfrac{25cm}{f}. \nonumber \]
Un bijoutier souhaite inspecter un diamant de 3,0 mm de diamètre à l'aide d'une loupe. Le diamant est maintenu au point le plus proche du bijoutier (25 cm), et le bijoutier tient la loupe près de son œil.
- Quelle doit être la distance focale de la loupe pour voir une image du diamant de 15 mm de diamètre ?
- Quelle doit être la distance focale de la loupe pour obtenir un grossissement 10x ?
Stratégie
Nous devons déterminer le grossissement requis de la loupe. Comme le bijoutier tient la loupe près de son œil, nous pouvons utiliser l'équation \ ref {eq13} pour déterminer la distance focale de la loupe.
Solution
a. Le grossissement linéaire requis est le rapport entre le diamètre de l'image souhaité et le diamètre réel du diamant (équation \ ref {eq15}). Comme le bijoutier tient la loupe près de son œil et que l'image se forme à son point le plus proche, le grossissement linéaire est le même que le grossissement angulaire, donc
\[\begin{align*} M &=m=\dfrac{h_i}{h_o}\\[4pt] &=\dfrac{15\,mm}{3.0\,mm} \\[4pt] &=5.0.\end{align*} \nonumber \]
La distance focale f de la loupe peut être calculée en résolvant l'équation \ ref {eq13} pour\(f\), qui donne
\[M=1+\dfrac{25\,cm}{f} \nonumber \]
\[\begin{align*} f&=\dfrac{25\,cm}{M−1} \\[4pt] &= \dfrac{25\,cm}{5.0−1} \\[4pt] &= 6.3\,cm \end{align*} \nonumber \]
b. Pour obtenir une image agrandie d'un facteur dix, nous résolvons à nouveau l'équation \ ref {eq13} pour\(f\), mais cette fois nous utilisons\(M=10\). Le résultat est
\[\begin{align*} f &=\dfrac{25\,cm}{M−1} \\[4pt] &=\dfrac{25\,cm}{10−1} \\[4pt] &=2.8\,cm. \end{align*} \nonumber \]
L'importance
Notez qu'un grossissement plus important est obtenu en utilisant un objectif avec une distance focale plus petite. Nous devons donc utiliser une lentille dont les rayons de courbure sont inférieurs à quelques centimètres et la maintenir très près de notre œil. Ce n'est pas très pratique. Un microscope composé, exploré dans la section suivante, permet de surmonter cet inconvénient.