13.5 : Interprétation des coefficients de régression - Élasticité et transformation logarithmique

Comme nous l'avons vu, le coefficient d'une équation estimé à l'aide de l'analyse de régression OLS fournit une estimation de la pente d'une droite qui est supposée être la relation entre la variable dépendante et au moins une variable indépendante. À partir du calcul, la pente de la droite est la dérivée première et nous indique l'ampleur de l'impact d'une variation d'une unité de la\(X\) variable sur la valeur de la\(Y\) variable mesurée dans les unités de la\(Y\) variable. Comme nous l'avons vu dans le cas des variables factices, cela peut se traduire par un décalage parallèle de la droite estimée ou même par une modification de la pente de la droite par le biais d'une variable interactive. Nous souhaitons ici explorer le concept d'élasticité et la manière dont nous pouvons utiliser une analyse de régression pour estimer les différentes élasticités qui intéressent les économistes.

Le concept d'élasticité est emprunté à l'ingénierie et à la physique où il est utilisé pour mesurer la réactivité d'un matériau à une force, généralement une force physique telle qu'une force d'étirement/de traction. C'est de là que l'on obtient le terme « élastique ». En économie, la force en question est une force du marché telle qu'une modification du prix ou du revenu. L'élasticité est mesurée en pourcentage de changement/réponse dans les applications d'ingénierie et en économie. La valeur de la mesure en pourcentage est que les unités de mesure ne jouent aucun rôle dans la valeur de la mesure et permettent ainsi une comparaison directe entre les élasticités. Par exemple, si le prix de l'essence a augmenté, disons, de 50 cents par rapport à un prix initial de 3 dollars et a entraîné une baisse de la consommation mensuelle d'un consommateur de 50 gallons à 48 gallons, nous calculons l'élasticité à 0,25. L'élasticité par rapport au prix est la variation en pourcentage de la quantité résultant d'un certain pourcentage de variation du prix. Une augmentation de 16 % du prix n'a généré qu'une baisse de 4 % de la demande : 16 % de variation de prix,\(\rightarrow\) 4 % de variation de quantité ou\(.04/.16 = .25\). C'est ce que l'on appelle une demande inélastique, c'est-à-dire une faible réponse à la variation des prix. Cela s'explique par le fait qu'il existe peu ou pas de véritables substituts à l'essence ; peut-être les transports en commun, le vélo ou la marche. Techniquement, bien entendu, la variation en pourcentage de la demande résultant d'une hausse de prix est une baisse de la demande, donc l'élasticité par rapport aux prix est un chiffre négatif. La convention courante, cependant, est de parler d'élasticité comme valeur absolue du nombre. Certains produits ont de nombreux substituts : poires, pommes, prunes, raisins, etc. L'élasticité de ces produits est supérieure à un et est appelée élastique en termes de demande. Dans ce cas, une petite variation en pourcentage du prix entraînera une variation importante en pourcentage de la quantité demandée. Le consommateur pourra facilement déplacer la demande vers le substitut le plus proche.

Bien que cette discussion ait porté sur les variations de prix, toutes les variables indépendantes d'une équation de demande auront une élasticité associée. Il existe donc une élasticité du revenu qui mesure la sensibilité de la demande aux variations des revenus : peu pour la demande de nourriture, mais très sensible pour les yachts. Si l'équation de la demande contient un terme désignant des produits de substitution, par exemple des barres chocolatées dans une équation de demande pour les biscuits, alors la réactivité de la demande de biscuits aux variations des prix des barres chocolatées peut être mesurée. C'est ce que l'on appelle l'élasticité de la demande entre les prix et, dans une certaine mesure, peut être considérée comme une fidélité à une marque d'un point de vue marketing. Dans quelle mesure la demande de Coca-Cola répond-elle à l'évolution du prix du Pepsi ?

Imaginez maintenant la demande pour un produit très cher. Encore une fois, la mesure de l'élasticité est exprimée en pourcentage, de sorte que l'élasticité peut être directement comparée à celle de l'essence : une élasticité de 0,25 pour l'essence donne les mêmes informations qu'une élasticité de 0,25 pour une voiture à 25 000$. Les deux produits sont considérés par le consommateur comme ayant peu de substituts et présentent donc des courbes de demande inélastiques, des élasticités inférieures à un.

Les formules mathématiques pour les différentes élasticités sont les suivantes :

\[\text { Price elasticity: } \eta_{\mathrm{p}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{P})}\nonumber\]

Où\(\eta\) est la lettre minuscule grecque eta utilisée pour désigner l'élasticité. ∆ se lit comme « changement ».

\[\text { Income elasticity: } \eta_{\mathrm{Y}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{Y})}\nonumber\]

Où\(Y\) est utilisé comme symbole du revenu.

\[\text { Cross-Price elasticity: } \eta_{\mathrm{p} 1}=\frac{\left(\% \Delta \mathrm{Q}_{1}\right)}{\left(\% \Delta \mathrm{P}_{2}\right)}\nonumber\]

Où P2 est le prix du produit de substitution.

En examinant de plus près l'élasticité des prix, nous pouvons écrire la formule comme suit :

\[\eta_{\mathrm{p}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{P})}=\frac{\mathrm{d} \mathrm{Q}}{\mathrm{dP}}\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}\right)=\mathrm{b}\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}\right)\nonumber\]

Où\(b\) est le coefficient estimé du prix dans la régression OLS.

La première forme de l'équation démontre le principe selon lequel les élasticités sont mesurées en pourcentage. Bien entendu, les coefficients des moindres carrés ordinaires fournissent une estimation de l'impact d'un changement d'unité de la variable indépendante\(X\), sur la variable dépendante mesurée en unités de\(Y\). Ces coefficients ne sont toutefois pas des élasticités et sont présentés dans la deuxième façon d'écrire la formule d'élasticité sous\(\left(\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} P}\right)\) la forme de la dérivée de la fonction de demande estimée qui est simplement la pente de la droite de régression. La multiplication des temps de pente\(\frac{P}{Q}\) fournit une élasticité mesurée en pourcentage.

Le long d'une courbe de demande linéaire, la variation en pourcentage, donc l'élasticité, change continuellement à mesure que l'échelle change, tandis que la pente, le coefficient de régression estimé, reste constante. Revenons à la demande d'essence. La variation du prix de 3,00$ à 3,50$ correspond à une augmentation de 16 % du prix. Si le prix de départ était de 5$, la même augmentation de 50 cents ne serait qu'une augmentation de 10 % générant une élasticité différente. Chaque courbe de demande linéaire présente une gamme d'élasticités commençant en haut à gauche, des prix élevés, avec des valeurs d'élasticité élevées, une demande élastique, et décroissant à mesure que l'on descend la courbe de demande, une demande inélastique.

Afin de fournir une estimation significative de l'élasticité de la demande, la convention consiste à estimer l'élasticité au point de moyenne. N'oubliez pas que toutes les droites de régression OLS passeront par le point de moyenne. C'est à ce stade que se trouve la plus grande pondération des données utilisées pour estimer le coefficient. La formule pour estimer une élasticité lorsqu'une courbe de demande OLS a été estimée est la suivante :

\[\eta_{\mathrm{p}}=\mathrm{b}\left(\frac{\overline{\mathrm{P}}}{\mathrm{Q}}\right)\nonumber\]

Où\(\overline{\mathrm{P}}\) et\(\overline{\mathrm{Q}}\) sont les valeurs moyennes de ces données utilisées pour estimer\(b\) le coefficient de prix.

La même méthode peut être utilisée pour estimer les autres élasticités de la fonction de demande en utilisant les valeurs moyennes appropriées des autres variables, par exemple le revenu et le prix des biens de substitution.

Transformation logarithmique des données

Les estimations par les moindres carrés ordinaires supposent généralement que la relation de population entre les variables est linéaire, donc sous la forme présentée dans L'équation de régression. Sous cette forme, l'interprétation des coefficients est celle décrite ci-dessus ; le coefficient fournit tout simplement une estimation de l'impact d'une variation d'une unité\(X\) sur\(Y\) mesurée en unités de\(Y\). Peu importe où l'on souhaite effectuer la mesure le long de la ligne, car il s'agit d'une ligne droite avec une pente constante, donc un niveau d'impact estimé constant par changement d'unité. Il se peut toutefois que l'analyste souhaite estimer non pas l'impact unitaire simple mesuré sur la\(Y\) variable, mais l'ampleur de l'impact en pourcentage sur une variation\(Y\) d'une unité de la\(X\) variable. Un tel cas peut être celui dans lequel un changement d'unité d'expérience, par exemple une année, n'affecte pas le montant absolu du salaire d'un travailleur, mais l'impact en pourcentage sur le salaire du travailleur. Il se peut également que la question posée soit celle de l'impact mesuré par unité sur un pourcentage spécifique\(Y\) d'augmentation de X. Par exemple, « de combien de dollars les ventes augmenteront-elles si l'entreprise dépense un\(X\) pourcentage de plus en publicité ? » La troisième possibilité est le cas de l'élasticité évoqué ci-dessus. Nous nous intéressons ici à l'impact en pourcentage sur la quantité demandée pour un pourcentage donné de variation du prix, du revenu ou peut-être du prix d'un produit de substitution. Ces trois cas peuvent être estimés en transformant les données en logarithmes avant d'exécuter la régression. Les coefficients résultants fourniront ensuite une mesure de variation en pourcentage de la variable concernée.

En résumé, il existe quatre cas :

1. \(\text { Unit } \Delta X \rightarrow \text { Unit } \Delta Y\)(Boîtier OLS standard)
2. \(\text { Unit } \Delta X \rightarrow \% \Delta Y\)
3. \(\% \Delta X \rightarrow \text { Unit } \Delta Y\)
4. \(\% \Delta X \rightarrow \% \Delta Y\)(étui élastique)

Cas 1 : Le cas des moindres carrés ordinaire commence par le modèle linéaire développé ci-dessus :

\[Y=a+b X\nonumber\]

où le coefficient de la variable indépendante\(b=\frac{d Y}{d X}\) est la pente d'une droite et mesure ainsi l'impact d'une variation d'unité\(X\) sur\(Y\) mesurée en unités de\(Y\).

Cas 2 : L'équation estimée sous-jacente est la suivante :

\[\log (\mathrm{Y})=a+b X\nonumber\]

L'équation est estimée en convertissant les\(Y\) valeurs en logarithmes et en utilisant les techniques OLS pour estimer le coefficient de la\(X\) variable\(b\). C'est ce qu'on appelle une estimation semi-logarithmique. Encore une fois, la différenciation des deux côtés de l'équation nous permet de développer l'interprétation du\(X\) coefficient\(b\) :

\[\mathrm{d}\left(\log _{\mathrm{Y}}\right)=b \mathrm{d} X\nonumber\]

\[\frac{\mathrm{d} Y}{Y}=b \mathrm{d} X\nonumber\]

Multipliez par 100 pour obtenir des pourcentages et réorganisez les termes pour obtenir :

\[100 b=\frac{\% \Delta Y}{\text { Unit } \Delta X}\nonumber\]

\(100b\)est donc la variation en pourcentage\(Y\) résultant d'une variation d'unité de\(X\).

Cas 3 : Dans ce cas, la question est « quelle est la variation d'unité\(Y\) résultant d'une variation en pourcentage\(X\) ? » Quelle est la perte de revenus en dollars résultant d'une augmentation de 5 % des prix ou quel est l'impact total sur les coûts en dollars d'une augmentation de 5 % des coûts de main-d'œuvre ? L'équation estimée pour ce cas serait la suivante :

\[Y=a+B \log (X)\nonumber\]

Ici, le différentiel de calcul de l'équation estimée est :

\[dY=bd(logX)\nonumber\]

\[\mathrm{d} Y=b \frac{\mathrm{d} X}{X}\nonumber\]

Divisez par 100 pour obtenir le pourcentage et la réorganisation des termes donne :

\[\frac{b}{100}=\frac{\mathrm{d} Y}{100 \frac{\mathrm{d} X}{X}}=\frac{\text { Unit } \Delta \mathrm{Y}}{\% \Delta \mathrm{X}}\nonumber\]

Par conséquent, l'augmentation de\(\frac{b}{100}\) est\(Y\) mesurée en unités par rapport à une augmentation de 1 pour cent en\(X\).

Cas 4 : Il s'agit du cas d'élasticité dans lequel les variables dépendantes et indépendantes sont converties en logarithmes avant l'estimation de l'OLS. C'est ce que l'on appelle le cas log-log ou le cas double logarithmique, et nous fournit des estimations directes des élasticités des variables indépendantes. L'équation estimée est la suivante :

\[logY=a+blogX\nonumber\]

Pour nous différencier, nous avons :

\[d(logY)=bd(logX)\nonumber\]

\[\mathrm{d}(\log X)=b \frac{1}{X} \mathrm{d} X\nonumber\]

Ainsi :

\[\frac{1}{Y} \mathrm{d} Y=b \frac{1}{X} \mathrm{d} X \quad \text { OR } \quad \frac{\mathrm{d} Y}{Y}=b \frac{\mathrm{d} X}{X} \quad \text { OR } \quad b=\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X}\left(\frac{X}{Y}\right)\nonumber\]

et\(b=\frac{\% \Delta Y}{\% \Delta X}\) notre définition de l'élasticité. Nous concluons que nous pouvons directement estimer l'élasticité d'une variable par double transformation logarithmique des données. Le coefficient estimé est l'élasticité. Il est courant d'utiliser la double transformation logarithmique de toutes les variables dans l'estimation des fonctions de demande afin d'obtenir des estimations de toutes les élasticités de la courbe de demande.