13.3 : Équations linéaires

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La régression linéaire pour deux variables est basée sur une équation linéaire avec une variable indépendante. L'équation a la forme suivante :

\[y=a+b x\nonumber\]

où$a$ et$b$ sont des nombres constants.

La variable$\bf x$ est la variable indépendante et$\bf y$ est la variable dépendante. Une autre façon de penser à cette équation est d'énoncer les causes et les effets. La$X$ variable est la cause et la$Y$ variable est l'effet hypothétisé. En général, vous choisissez une valeur pour remplacer la variable indépendante, puis vous résolvez pour la variable dépendante.

Exemple$\PageIndex{1}$

Les exemples suivants sont des équations linéaires.

$y=3+2x$

$y=–0.01+1.2x$

Le graphique d'une équation linéaire de la forme$y = a + bx$ est une ligne droite. Toute droite qui n'est pas verticale peut être décrite par cette équation

Exemple$\PageIndex{2}$

Tracez l'équation$y = –1 + 2x$.

Graphique de l'équation y = -1 + 2x. Il s'agit d'une ligne droite qui croise l'axe Y à -1 et qui est inclinée vers le haut et vers la droite, s'élevant de 2 unités pour chaque unité de course.

Exercice$\PageIndex{2}$

Est-ce que ce qui suit est un exemple d'équation linéaire ? Pourquoi ou pourquoi pas ?

Il s'agit du graphique d'une équation. L'axe X est marqué par intervalles de 2 entre 0 et 14 ; l'axe y est étiqueté par intervalles de 2 entre 0 et 12. Le graphique de l'équation est une courbe qui croise l'axe Y en 2 et qui se courbe vers le haut et vers la droite.

Exemple$\PageIndex{3}$

Le service de traitement de texte (AWPS) d'Aaron s'occupe du traitement de texte. Le tarif des services est de 32$ de l'heure, plus des frais uniques de 31,50$. Le coût total pour un client dépend du nombre d'heures nécessaires pour terminer le travail.

Trouvez l'équation qui exprime le coût total en termes de nombre d'heures nécessaires pour terminer le travail.

Réponse

Solution 13.3

Soit$x$ le nombre d'heures nécessaires pour effectuer le travail.
Soit$y$ le coût total pour le client.

Le montant de 31,50$ est un coût fixe. S'il faut des$x$ heures pour terminer le travail, alors (32) ($x$) est le coût du traitement de texte uniquement. Le coût total est de :$y = 31.50 + 32x$

Pente et intersection Y d'une équation linéaire

Pour l'équation linéaire$y = a + bx$,$b$ = pente et$a = y$ -intersection. D'après l'algèbre, rappelons que la pente est un nombre qui décrit la raideur d'une droite, et que l'$y$intersection est la$y$ coordonnée du point$(0, a)$ où la droite croise l'axe y. À partir du calcul, la pente est la première dérivée de la fonction. Pour une fonction linéaire, la pente est l'$dy / dx = b$endroit où l'on peut lire l'expression mathématique comme « le changement de y (dy) qui résulte d'un changement de$x (dx) = b * dx$ ».

Trois graphes possibles de l'équation y = a + bx. Pour le premier graphique, (a), b — Figure$\PageIndex{5}$ Trois graphiques possibles de$y = a + bx$. (a) Si$b > 0$ la ligne est inclinée vers le haut vers la droite. (b) Si$b = 0$ la ligne est horizontale. (c) Si$b < 0$ la ligne est inclinée vers la droite.

Exemple$\PageIndex{4}$

Svetlana donne des cours pour gagner de l'argent pour l'université. Pour chaque séance de tutorat, elle facture des frais uniques de 25$ plus 15$ par heure de tutorat. Une équation linéaire qui exprime le montant total que Svetlana gagne pour chaque séance qu'elle donne est$y = 25 + 15x$.

Quelles sont les variables indépendantes et dépendantes ? Qu'est-ce que l'intersection y et quelle est la pente ? Interprétez-les à l'aide de phrases complètes.

Réponse

Solution 13.4

La variable indépendante ($x$) est le nombre d'heures pendant lesquelles Svetlana donne des cours à chaque session. La variable dépendante ($y$) est le montant, en dollars, que Svetlana gagne pour chaque session.

L'intersection Y est$25 (a = 25$). Au début de la session de tutorat, Svetlana facture une redevance unique de 25$ (c'est à ce moment$x= 0$). La pente est$15 (b = 15)$. Pour chaque séance, Svetlana gagne 15$ pour chaque heure qu'elle donne des cours.