9.4 : Exemples complets de tests d'hypothèse

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Tests sur les moyens

Exemple$\PageIndex{8}$

À l'âge de huit ans, Jeffrey a établi un temps moyen de 16,43 secondes pour la nage libre de 25 mètres, avec un écart-type de 0,8 seconde. Son père, Frank, pensait que Jeffrey pouvait parcourir les 25 mètres de nage libre plus rapidement à l'aide de lunettes. Frank a acheté à Jeffrey une nouvelle paire de lunettes coûteuses et a chronométré Jeffrey pour 15 nage libre de 25 mètres. Pour les 15 nages, le temps moyen de Jeffrey était de 16 secondes. Frank pensait que les lunettes aidaient Jeffrey à nager plus vite que les 16,43 secondes. Effectuez un test d'hypothèse en utilisant un préréglage$\alpha = 0.05$.

Réponse

Configurez le test d'hypothèse :

Comme le problème concerne une moyenne, il s'agit d'un test d'une moyenne de population unique.

Définissez l'hypothèse nulle et alternative :

Dans ce cas, il s'agit d'une contestation ou d'une réclamation implicite. C'est que les lunettes réduiront le temps de baignade. Cela a pour effet de définir l'hypothèse sous la forme d'un test unilatéral. La demande sera toujours fondée sur l'hypothèse alternative, car la charge de la preuve incombe toujours à l'alternative. N'oubliez pas que le statu quo doit être vaincu avec un degré de confiance élevé, en l'occurrence 95 % de confiance. Les hypothèses nulles et alternatives sont donc les suivantes :

$H_0: \mu \geq 16.43$$H_a: \mu < 16.43$

Pour que Jeffrey nage plus vite, son temps sera inférieur à 16,43 secondes. Le « < » indique que c'est du côté gauche.

Déterminez la distribution nécessaire :

Variable aléatoire :$\overline X$ = temps moyen nécessaire pour parcourir les 25 mètres de nage libre.

Distribution de la statistique de test :

La taille de l'échantillon est inférieure à 30 et nous ne connaissons pas l'écart type de la population. Il s'agit donc d'un test t. et la formule appropriée est la suivante :$t_{c}=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}}$

$\mu_ 0 = 16.43$provient des données$H_0$ et non de celles-ci. $\overline X = 16$. $s = 0.8$, et$n = 15$.

Notre étape 2, qui consiste à définir le niveau de signification, a déjà été déterminée par le problème, 0,05 pour un seuil de signification de 95 %. Il convient de réfléchir à la signification de ce choix. L'erreur de type I est de conclure que Jeffrey nage les 25 mètres nage libre, en moyenne, en moins de 16,43 secondes alors qu'en fait, il nage les 25 mètres nage libre, en moyenne, en 16,43 secondes. (Rejetez l'hypothèse nulle lorsque l'hypothèse nulle est vraie.) Dans ce cas, le seul problème lié à une erreur de type I semble être que le père de Jeffery risque de ne pas parier sur la victoire de son fils parce qu'il n'a pas une confiance suffisante dans l'effet des lunettes.

Pour déterminer la valeur critique, nous devons sélectionner la statistique de test appropriée. Nous avons conclu qu'il s'agit d'un test t sur la base de la taille de l'échantillon et que nous nous intéressons à une moyenne de population. Nous pouvons maintenant dessiner le graphique de la distribution t et marquer la valeur critique. Pour ce problème, les degrés de liberté sont n-1, soit 14. En regardant 14 degrés de liberté dans la colonne 0,05 de la table en t, nous trouvons 1,761. Il s'agit de la valeur critique et nous pouvons la mettre sur notre graphique.

L'étape 3 est le calcul de la statistique du test à l'aide de la formule que nous avons sélectionnée. Nous constatons que la statistique de test calculée est de 2,08, ce qui signifie que la moyenne de l'échantillon se situe à 2,08 écarts types par rapport à la moyenne hypothétisée de 16,43.

\[t_{c}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{s / \sqrt{n}}=\frac{16-16.43}{.8 / \sqrt{15}}=-2.08\nonumber\]

Courbe de distribution normale du temps moyen nécessaire pour nager sur les 25 mètres de nage libre avec des valeurs 16, comme moyenne de l'échantillon, et 16,43 sur l'axe des abscisses. Une ligne verticale ascendante s'étend de 16 sur l'axe X jusqu'à la courbe. Une flèche pointe vers l'extrémité gauche de la courbe.

À l'étape 4, nous comparons la statistique du test et la valeur critique et les inscrivons sur le graphique. Nous voyons que la statistique du test se trouve à la fin et nous passons donc à l'étape 4 et arrivons à une conclusion. La probabilité qu'un temps moyen de 16 minutes puisse provenir d'une distribution avec une moyenne de population de 16,43 minutes est trop improbable pour que nous acceptions l'hypothèse nulle. Nous ne pouvons pas accepter la valeur nulle.

À l'étape 5, nous exposons nos conclusions d'abord de manière formelle, puis de manière moins formelle. Une conclusion formelle serait formulée comme suit : « Avec un niveau de signification de 95 %, nous ne pouvons pas accepter l'hypothèse nulle selon laquelle le temps de baignade avec des lunettes provient d'une distribution avec une durée moyenne de population de 16,43 minutes ». De manière moins formelle, « avec une signification de 95 %, nous pensons que les lunettes améliorent la vitesse de nage »

Si nous souhaitions utiliser le système de$p$ valeurs pour parvenir à une conclusion, nous calculerions la statistique et passerions à l'étape supplémentaire qui consiste à déterminer la probabilité d'un écart type de 2,08 par rapport à la moyenne sur une distribution en t. Cette valeur est de 0,0187. En comparant cela au niveau \ alpha de 0,05, nous voyons que nous ne pouvons pas accepter la valeur nulle. La$p$ valeur -a été placée sur le graphique sous la forme de la zone ombrée au-delà de -2,08 et elle indique qu'elle est plus petite que la zone hachurée qui correspond au niveau alpha de 0,05. Les deux méthodes aboutissent à la même conclusion : nous ne pouvons pas accepter l'hypothèse nulle.

Exercice$\PageIndex{8}$

La distance moyenne de lancer d'un ballon de football pour Marco, un arrière de première année du lycée, est de 40 mètres, avec un écart type de deux mètres. L'entraîneur de l'équipe demande à Marco d'ajuster sa prise pour prendre plus de distance. L'entraîneur enregistre les distances pour 20 lancers. Pour les 20 lancers, la distance moyenne de Marco était de 45 mètres. L'entraîneur pensait que la prise différente avait aidé Marco à lancer plus de 40 mètres. Effectuez un test d'hypothèse en utilisant un préréglage$\alpha = 0.05$. Supposons que les distances de lancer des ballons de football sont normales.

Déterminez d'abord de quel type de test il s'agit, configurez le test d'hypothèse, trouvez la$p$ valeur -, esquissez le graphique et énoncez votre conclusion.

Exemple$\PageIndex{9}$

Jane vient de commencer son nouveau travail au sein de la force de vente d'une entreprise très compétitive. Un échantillon de 16 appels de vente a révélé qu'elle avait conclu le contrat pour une valeur moyenne de 108 dollars avec un écart-type de 12 dollars. Testez avec une signification de 5 % si la moyenne de la population est d'au moins 100 dollars par rapport à l'alternative selon laquelle elle est inférieure à 100 dollars. La politique de l'entreprise exige que les nouveaux membres de la force de vente dépassent en moyenne 100$ par contrat pendant la période d'essai. Pouvons-nous conclure que Jane a satisfait à cette exigence au seuil de signification de 95 % ?

Réponse

$H_0: \mu \leq 100$
$H_a: \mu > 100$
L'hypothèse nulle et alternative concerne le paramètre$\mu$ car le nombre de dollars des contrats est une variable aléatoire continue. Il s'agit également d'un test unilatéral, car l'entreprise n'est intéressée que si le nombre de dollars par contact est inférieur à un certain nombre et non à un chiffre « trop élevé ». Cela peut être considéré comme une affirmation selon laquelle l'exigence est satisfaite et, par conséquent, l'affirmation se situe dans l'hypothèse alternative.
Statistique du test :$t_{c}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}=\frac{108-100}{\left(\frac{12}{\sqrt{16}}\right)}=2.67$
Valeur critique :$t_a=1.753$ avec$n-1$ degrés de liberté = 15

La statistique du test est un t de Student car la taille de l'échantillon est inférieure à 30 ; par conséquent, nous ne pouvons pas utiliser la distribution normale. En comparant la valeur calculée de la statistique de test et la valeur critique de tt (ta) (ta) à un seuil de signification de 5 %, nous constatons que la valeur calculée se situe à la fin de la distribution. Nous concluons donc que 108 dollars par contrat sont nettement plus élevés que la valeur hypothétisée de 100 dollars et nous ne pouvons donc pas accepter l'hypothèse nulle. Il existe des preuves qui confirment que la performance de Jane répond aux normes de l'entreprise.

Exercice$\PageIndex{9}$

On estime que le cours d'une action d'une entreprise donnée augmentera à un taux de 5 dollars par semaine avec un écart-type de 1 dollar. Un investisseur pense que le titre ne croîtra pas aussi rapidement. Les variations du cours de l'action sont enregistrées pendant dix semaines et sont les suivantes : 4$, 3$, 2$, 3$, 1$, 7$, 2$, 1$, 1$, 2$. Effectuez un test d'hypothèse en utilisant un seuil de signification de 5 %. Énoncez les hypothèses nulles et alternatives, énoncez votre conclusion et identifiez les erreurs de type I.

Exemple$\PageIndex{10}$

Un fabricant de vinaigrettes utilise des machines pour distribuer des ingrédients liquides dans des bouteilles qui se déplacent le long d'une ligne de remplissage. La machine qui distribue les vinaigrettes fonctionne correctement lorsque 8 onces sont distribuées. Supposons que la quantité moyenne distribuée dans un échantillon particulier de 35 bouteilles soit de 7,91 onces avec une variance de 0,03 once au carré$s^2$. Y a-t-il des preuves que la machine doit être arrêtée et que la production doit attendre les réparations ? La perte de production résultant d'un arrêt est potentiellement si importante que la direction estime que le niveau de signification de l'analyse devrait être de 99 %.

Encore une fois, nous allons suivre les étapes de notre analyse de ce problème.

Réponse

ÉTAPE 1 : Définissez l'hypothèse nulle et alternative. La variable aléatoire est la quantité de liquide placée dans les bouteilles. Il s'agit d'une variable aléatoire continue et le paramètre qui nous intéresse est la moyenne. Notre hypothèse porte donc sur la moyenne. Dans ce cas, nous craignons que la machine ne se remplisse pas correctement. D'après ce que l'on nous dit, peu importe que la machine soit trop remplie ou sous-remplie, les deux semblent être une erreur tout aussi grave. Cela nous indique qu'il s'agit d'un test bilatéral : si la machine ne fonctionne pas correctement, elle sera arrêtée, qu'il s'agisse d'un remplissage excessif ou d'un sous-remplissage. Les hypothèses nulles et alternatives sont donc les suivantes :

\[H_0:\mu=8\nonumber\]

\[Ha:\mu \neq 8\nonumber\]

ÉTAPE 2 : Déterminez le niveau de signification et dessinez le graphique montrant la valeur critique.

Ce problème a déjà fixé le niveau de signification à 99 %. La décision semble appropriée et montre le processus de réflexion lors de la fixation du seuil de signification. La direction veut être absolument certaine, autant que les probabilités le permettent, qu'elle n'arrête pas une machine qui n'a pas besoin d'être réparée. Pour établir la distribution et la valeur critique, nous devons savoir quelle distribution utiliser. Comme il s'agit d'une variable aléatoire continue, que nous nous intéressons à la moyenne et que la taille de l'échantillon est supérieure à 30, la distribution appropriée est la distribution normale et la valeur critique pertinente est de 2,575 à partir du tableau normal ou du tableau t à 0,005 colonne et à des degrés de liberté infinis. Nous dessinons le graphique et marquons ces points.

ÉTAPE 3 : Calculez les paramètres de l'échantillon et les statistiques du test. Les paramètres de l'échantillon sont fournis, la moyenne de l'échantillon est de 7,91, la variance de l'échantillon est de 0,03 et la taille de l'échantillon est de 35. Nous devons noter que la variance de l'échantillon a été fournie et non l'écart type de l'échantillon, ce dont nous avons besoin pour la formule. En gardant à l'esprit que l'écart type est simplement la racine carrée de la variance, nous savons donc que l'écart type de l'échantillon, s, est de 0,173. Avec ces informations, nous calculons la statistique du test à -3,07 et la marquons sur le graphique.

\[Z_{c}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{s / \sqrt{n}}=\frac{7.91-8}{\cdot 173 / \sqrt{35}}=-3.07\nonumber\]

ÉTAPE 4 : Comparer les statistiques de test et les valeurs critiques Nous comparons maintenant la statistique de test et la valeur critique en plaçant la statistique de test sur le graphique. Nous constatons que la statistique du test se situe à la fin, nettement supérieure à la valeur critique de 2,575. Nous remarquons que même la très petite différence entre la valeur hypothétisée et la valeur de l'échantillon reste un grand nombre d'écarts types. La moyenne de l'échantillon ne diffère que de 0,08 onces du niveau requis de 8 onces, mais elle se trouve à 3 plus des écarts types et nous ne pouvons donc pas accepter l'hypothèse nulle.

ÉTAPE 5 : Parvenir à une conclusion

Trois écarts types d'une statistique de test garantiront l'échec du test. La probabilité que quelque chose se trouve dans les trois écarts types est presque nulle. En fait, il est de 0,0026 sur la distribution normale, ce qui est certainement presque zéro dans un sens pratique. Notre conclusion officielle serait la suivante : « À un niveau de signification de 99 %, nous ne pouvons pas accepter l'hypothèse selon laquelle la moyenne de l'échantillon provient d'une distribution avec une moyenne de 8 onces » Ou, de manière moins formelle, et pour aller droit au but : « À un niveau de signification de 99 %, nous concluons que la machine remplit mal les bouteilles et qu'elle est besoin de réparation ».

Test d'hypothèse pour les proportions

Tout comme il y avait des intervalles de confiance pour les proportions, ou plus formellement, pour le paramètre$p$ de population de la distribution binomiale, il est possible de tester des hypothèses concernant$p$.

Le paramètre de population pour le binôme est$p$. La valeur estimée (estimation en points) pour$p$ est$p^{\prime}$ où$p^{\prime} = x/n$,$x$ est le nombre de succès dans l'échantillon et$n$ la taille de l'échantillon.

Lorsque vous effectuez un test d'hypothèse sur une proportion de la population$p$, vous prélevez un échantillon aléatoire simple de la population. Les conditions d'une distribution binomiale doivent être remplies, à savoir : il existe un certain nombre n d'essais indépendants, c'est-à-dire un échantillonnage aléatoire, les résultats de tout essai sont binaires, réussites ou échecs, et chaque essai a la même probabilité de succès$p$. La forme de la distribution binomiale doit être similaire à la forme de la distribution normale. Pour ce faire, les quantités$np^{\prime}$ et les deux$nq^{\prime}$ doivent être supérieures à cinq ($np^{\prime} > 5$et$nq^{\prime} > 5$). Dans ce cas, la distribution binomiale d'une proportion d'échantillon (estimée) peut être approximée par la distribution normale avec$\mu=np$ et$\sigma=\sqrt{n p q}$. N'oubliez pas cela$q=1–p$. Aucune distribution ne permet de corriger ce biais lié aux petits échantillons et, par conséquent, si ces conditions ne sont pas remplies, nous ne pouvons tout simplement pas tester l'hypothèse à l'aide des données disponibles à ce moment-là. Nous avons rempli cette condition lorsque nous avons estimé pour la première fois les intervalles de confiance pour$p$.

Encore une fois, nous commençons par la formule de normalisation modifiée car il s'agit de la distribution d'un binôme.

\[Z=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p}{\sqrt{\frac{\mathrm{pq}}{n}}}\nonumber\]

En$p_0$ substituant la valeur hypothétisée de$p$, nous avons :

\[Z_{c}=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} q_{0}}{n}}}\nonumber\]

Il s'agit de la statistique de test permettant de tester les valeurs hypothétiques de p, où les hypothèses nulles et alternatives prennent l'une des formes suivantes :

\ (\ PageIndex {5} \) « >

Tableau$\PageIndex{5}$
Test bilatéral	Test unilatéral	Test unilatéral
$H_0: p = p_0$	$H_0: p \leq p_0$	$H_0: p \geq p_0$
$H_a: p \neq p_0$	$H_a: p > p_0$	$H_a: p < p_0$

La règle de décision énoncée ci-dessus s'applique également ici : si la valeur calculée de$Z_c$ indique que la proportion de l'échantillon est « trop » d'écarts types par rapport à la proportion hypothétisée, l'hypothèse nulle ne peut être acceptée. La décision quant à ce qui est « trop » est prédéterminée par l'analyste en fonction du niveau de signification requis pour le test.

Exemple$\PageIndex{11}$

Le service hypothécaire d'une grande banque s'intéresse à la nature des prêts des primo-emprunteurs. Ces informations seront utilisées pour adapter leur stratégie marketing. Ils estiment que 50 % des emprunteurs qui empruntent pour la première fois contractent des prêts moins importants que les autres emprunteurs. Ils effectuent un test d'hypothèse pour déterminer si le pourcentage est identique ou différent de 50 %. Ils échantillonnent 100 emprunteurs pour la première fois et constatent que 53 de ces prêts sont inférieurs à ceux des autres emprunteurs. Pour le test d'hypothèse, ils choisissent un seuil de signification de 5 %.

Réponse

ÉTAPE 1 : Définissez l'hypothèse nulle et alternative.

$H_0: p = 0.50$$H_a: p \neq 0.50$

Les mots « est identique ou différent de » vous indiquent qu'il s'agit d'un test bilatéral. Les erreurs de type I et de type II sont les suivantes : L'erreur de type I consiste à conclure que la proportion d'emprunteurs est différente de 50 % alors qu'en fait, la proportion est de 50 %. (Rejetez l'hypothèse nulle lorsque l'hypothèse nulle est vraie). L'erreur de type II est qu'il n'y a pas suffisamment de preuves pour conclure que la proportion de nouveaux emprunteurs diffère de 50 % alors qu'en fait, la proportion diffère de 50 %. (Vous ne pouvez pas rejeter l'hypothèse nulle lorsque l'hypothèse nulle est fausse.)

ÉTAPE 2 : Déterminez le niveau de signification et dessinez le graphique montrant la valeur critique

Le niveau de signification a été fixé par le problème à 95 %. Comme il s'agit d'un test bilatéral, la moitié de la valeur alpha se trouvera dans la partie supérieure de la queue et l'autre moitié dans la partie inférieure, comme indiqué sur le graphique. La valeur critique pour la distribution normale au niveau de confiance de 95 % est de 1,96. Cela peut facilement être trouvé sur la table en t de l'étudiant tout en bas à des degrés de liberté infinis, en se souvenant qu'à l'infini, la distribution t est la distribution normale. Bien entendu, la valeur peut également être trouvée sur le tableau normal, mais vous devez rechercher la moitié de 95 (0,475) dans le corps du tableau, puis lire le nombre d'écarts types sur les côtés et en haut.

ÉTAPE 3 : Calculez les paramètres de l'échantillon et la valeur critique de la statistique de test.

La statistique de test est une distribution normale$Z$, pour les proportions de test et est la suivante :

\[Z=\frac{p^{\prime}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} q_{0}}{n}}}=\frac{.53-.50}{\sqrt{\frac{.5(.5)}{100}}}=0.60\nonumber\]

Dans ce cas, l'échantillon de 100 personnes a révélé que 53 emprunteurs pour la première fois étaient différents des autres emprunteurs. La proportion de l'échantillon,$p^{\prime} = 53/100= 0.53$ La question du test, est donc la suivante : « Est-ce que 0,53 est significativement différent de 0,50 ? » En mettant ces valeurs dans la formule de la statistique de test, nous constatons que 0,53 n'est qu'à 0,60 écart type par rapport à 0,50. C'est à peine éloigné de la moyenne de la distribution normale standard de zéro. Il n'y a pratiquement aucune différence entre la proportion de l'échantillon et la proportion hypothétisée en termes d'écarts types.

ÉTAPE 4 : Comparez la statistique du test et la valeur critique.

La valeur calculée se situe bien en deçà des valeurs critiques des$\pm 1.96$ écarts types et nous ne pouvons donc pas rejeter l'hypothèse nulle. Pour rejeter l'hypothèse nulle, nous avons besoin d'une évidence significative de différence entre la valeur hypothétisée et la valeur de l'échantillon. Dans ce cas, la valeur de l'échantillon est pratiquement identique à la valeur hypothétisée mesurée en termes d'écarts types.

ÉTAPE 5 : Parvenir à une conclusion

La conclusion officielle serait la suivante : « À un niveau de signification de 95 %, nous ne pouvons pas rejeter l'hypothèse nulle selon laquelle 50 % des nouveaux emprunteurs ont des prêts de la même taille que les autres emprunteurs ». De manière moins formelle, nous dirions que « rien ne prouve que la moitié des emprunteurs novices aient un montant de prêt sensiblement différent de celui des autres emprunteurs ». Notez la longueur de la conclusion pour inclure toutes les conditions qui y sont attachées. Malgré toutes les critiques qu'ils reçoivent, les statisticiens prennent soin d'être très précis, même lorsque cela semble anodin. Les statisticiens ne peuvent pas en dire plus qu'ils ne savent et les données empêchent de tirer des conclusions dans les limites des données.

Exercice$\PageIndex{11}$

Un enseignant estime que 85 % des élèves de la classe voudront faire une excursion scolaire au zoo local. Elle effectue un test d'hypothèse pour déterminer si le pourcentage est identique ou différent de 85 %. L'enseignant prélève un échantillon de 50 élèves et 39 répondent qu'ils voudraient aller au zoo. Pour le test d'hypothèse, utilisez un seuil de signification de 1 %.

Exemple$\PageIndex{12}$

Supposons qu'un groupe de consommateurs soupçonne que la proportion de ménages possédant trois téléphones portables ou plus est de 30 %. Une entreprise de téléphonie mobile a des raisons de croire que cette proportion n'est pas de 30 %. Avant de lancer une grande campagne publicitaire, ils effectuent un test d'hypothèse. Leurs responsables marketing mènent des enquêtes auprès de 150 ménages, et 43 d'entre eux possèdent trois téléphones portables ou plus.

Réponse

Voici une version abrégée du système permettant de résoudre des tests d'hypothèse appliqués à un test sur une proportion.

\[H_0 : p = 0.3 \nonumber\]

\[H_a : p \neq 0.3 \nonumber\]

\[n = 150\nonumber\]

\[\mathrm{p}^{\prime}=\frac{x}{n}=\frac{43}{150}=0.287\nonumber\]

\[Z_{c}=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} q_{0}}{n}}}=\frac{0.287-0.3}{\sqrt{\frac{3(7)}{150}}}=0.347\nonumber\]

Exemple$\PageIndex{13}$

Le National Institute of Standards and Technology fournit des données précises sur les propriétés de conductivité des matériaux. Vous trouverez ci-dessous des mesures de conductivité pour 11 pièces sélectionnées au hasard d'un type de verre particulier.

1,11 ; 1,07 ; 1,11 ; 1,07 ; 1,12 ; 1,08 ; 0,98 ; 0,98 ; 1,02 ; 0,95 ; 0,95 ; .95
Existe-t-il des preuves convaincantes que la conductivité moyenne de ce type de verre est supérieure à un ? Utilisez un seuil de signification de 0,05.

Réponse

Nous allons suivre un processus en quatre étapes pour répondre à cette question statistique.

Posez la question : Nous devons déterminer si, à un seuil de signification de 0,05, la conductivité moyenne du verre sélectionné est supérieure à 1. Nos hypothèses seront

$H_0: \mu \leq 1$
$H_a: \mu > 1$

Plan : Nous testons la moyenne d'un échantillon sans écart type connu de population avec moins de 30 observations. Par conséquent, nous devons utiliser une distribution Student's-T. Supposons que la population sous-jacente est normale. Faites les calculs et dessinez le graphique. Exposez les conclusions : nous ne pouvons pas accepter l'hypothèse nulle. Il est raisonnable de dire que les données appuient l'affirmation selon laquelle le niveau de conductivité moyen est supérieur à 1.

Exemple$\PageIndex{14}$

Dans une étude menée auprès de 420 019 utilisateurs de téléphones portables, 172 des sujets ont développé un cancer du cerveau. Vérifiez l'affirmation selon laquelle les utilisateurs de téléphones cellulaires ont développé un cancer du cerveau à un taux plus élevé que celui des non-utilisateurs de téléphones cellulaires (le taux de cancer du cerveau chez les non-utilisateurs de téléphones cellulaires est de 0,0340 %). Comme il s'agit d'un problème critique, utilisez un seuil de signification de 0,005. Expliquez pourquoi le seuil de signification devrait être si bas en termes d'erreur de type I.

Réponse

Nous devons effectuer un test d'hypothèse sur le taux de cancer déclaré. Nos hypothèses seront
1. $H_0: p \leq 0.00034$
2. $H_a: p > 0.00034$
Si nous commettons une erreur de type I, nous acceptons essentiellement une fausse déclaration. Étant donné que l'allégation décrit des environnements cancérigènes, nous voulons minimiser les risques d'identifier incorrectement les causes du cancer.
Nous allons tester une proportion d'échantillon avec$x = 172$ et$n = 420,019$. L'échantillon est suffisamment grand parce que nous avons$np^{\prime} = 420,019(0.00034) = 142.8$ deux résultats indépendants et une probabilité de succès fixe$p^{\prime} = 0.00034$.$n q^{\prime}=420,019(0.99966)=419,876.2$ Nous serons ainsi en mesure de généraliser nos résultats à la population.

Test bilatéral	Test unilatéral	Test unilatéral
\(H_0: p = p_0\)	\(H_0: p \leq p_0\)	\(H_0: p \geq p_0\)
\(H_a: p \neq p_0\)	\(H_a: p > p_0\)	\(H_a: p < p_0\)