8.10 : Révision du chapitre

8.2 Un intervalle de confiance pour un écart type de population inconnu, cas à petit échantillon

Dans de nombreux cas, le chercheur ne connaît pas l'écart type de la population de la mesure étudiée.$\sigma$ Dans ces cas, il est courant d'utiliser l'écart type de l'échantillon, s, comme estimation de \ sigma. La distribution normale crée des intervalles de confiance précis lorsqu'elle$\sigma$ est connue, mais elle n'est pas aussi précise lorsque s est utilisé comme estimation. Dans ce cas, la distribution t de Student est bien meilleure. Définissez un score T à l'aide de la formule suivante :

$t=\frac{\overline{x}-\mu}{s / \sqrt{n}}$

Le score t suit la distribution t de l'étudiant avec des$n – 1$ degrés de liberté. L'intervalle de confiance sous cette distribution est calculé avec$\overline{x} \pm\left(t_{\frac{\alpha}{2}}\right) \frac{s}{\sqrt{n}}$ où$t_{\frac{\alpha}{2}}$ est le score t avec une aire à droite égale à$\frac{\alpha}{2}$,$s$ est l'écart type de l'échantillon et$n$ est la taille de l'échantillon. Utilisez un tableau, une calculatrice ou un ordinateur$t_{\frac{\alpha}{2}}$ pour trouver une donnée$\alpha$.

8.3 Un intervalle de confiance pour une proportion de population

Certaines mesures statistiques, comme de nombreuses questions d'enquête, mesurent des données qualitatives plutôt que quantitatives. Dans ce cas, le paramètre de population estimé est une proportion. Il est possible de créer un intervalle de confiance pour la proportion réelle de la population en suivant des procédures similaires à celles utilisées pour créer des intervalles de confiance pour les moyennes de population. Les formules sont légèrement différentes, mais elles suivent le même raisonnement.

$p^{\prime}$Représentez la proportion de l'échantillon$x/n$, où$x$ représente le nombre de succès et$n$ la taille de l'échantillon. Laissez$q^{\prime}=1-p^{\prime}$. Ensuite, l'intervalle de confiance pour une proportion de population est donné par la formule suivante :

$\mathrm{p}^{\prime}-Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}} \leq p \leq \mathrm{p}^{\prime}+Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}}$

8.4 Calcul de la taille de l'échantillon n : variables aléatoires continues et binaires

Parfois, les chercheurs savent à l'avance qu'ils souhaitent estimer la moyenne d'une population avec une marge d'erreur précise pour un niveau de confiance donné. Dans ce cas, résolvez la formule d'intervalle de confiance appropriée pour n afin de découvrir la taille de l'échantillon nécessaire pour atteindre cet objectif :

$n=\frac{Z_{\alpha}^{2} \sigma^{2}}{(\overline{x}-\mu)^{2}}$

Si la variable aléatoire est binaire, la formule de la taille d'échantillon appropriée pour maintenir un niveau de confiance particulier avec un niveau de tolérance spécifique est donnée par

$n=\frac{Z_{\alpha}^{2} \mathrm{pq}}{e^{2}}$