5.9 : Révision du chapitre

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Nov 1, 2022
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- 5.8 : Références aux chapitres
- 5.10 : Solution du chapitre (Pratique et devoirs)

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5.1 Propriétés des fonctions de densité de probabilité continues

La fonction de densité de probabilité (pdf) est utilisée pour décrire les probabilités pour les variables aléatoires continues. L'aire située sous la courbe de densité entre deux points correspond à la probabilité que la variable se situe entre ces deux valeurs. En d'autres termes, l'aire sous la courbe de densité entre les points a et b est égale à $P(a < x < b)$ . La fonction de distribution cumulée (cdf) donne la probabilité sous forme d'aire. S'il s' $X$ agit d'une variable aléatoire continue, la fonction de densité de probabilité (pdf) est utilisée pour dessiner le graphique de la distribution de probabilité. $f(x)$ La surface totale sous le graphique de $f(x)$ est de 1. La zone située sous le graphique des valeurs $f(x)$ et entre $a$ celles-ci et $b$ donne la probabilité $P(a < x < b)$ .

Le graphique de gauche montre une courbe de densité générale, y = f (x). La région située sous la courbe et au-dessus de l'axe X est ombrée. La surface de la zone ombrée est égale à 1. Cela montre que tous les résultats possibles sont représentés par la courbe. Le graphique de droite montre la même courbe de densité. Les lignes verticales x = a et x = b s'étendent de l'axe à la courbe, et la zone entre les lignes est ombrée. La zone de la zone ombrée représente la probabilité qu'une valeur x se situe entre a et b. — Figurine $\PageIndex{21}$

La fonction de distribution cumulée (cdf) de $X$ est définie par $P(X \leq x)$ . C'est une fonction de x qui donne la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à x.

5.2 La distribution uniforme

Il $X$ a une distribution uniforme où $a < x < b$ ou $a \leq x \leq b$ , puis $X$ prend des valeurs comprises entre $a$ et $b$ (peut inclure $a$ et $b$ ). Toutes les valeurs $x$ sont également probables. Nous écrivons $X \sim U(a, b)$ . La moyenne de $X$ est $\mu=\frac{a+b}{2}$ . L'écart type de $X$ est $\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^{2}}{12}}$ . La fonction de densité de probabilité de $X$ est $f(x)=\frac{1}{b-a}$ pour $a \leq x \leq b$ . La fonction de distribution cumulée de $X$ est $P(X \leq x)=\frac{x-a}{b-a}$ . $X$ est continu.

Le graphique montre un rectangle dont la surface totale est égale à 1. Le rectangle s'étend de x = a à x = b sur l'axe x et a une hauteur de 1/ (b-a). — Figurine $\PageIndex{22}$

La probabilité $P(c < X < d)$ peut être déterminée en calculant la zone située sous $f(x)$ , entre $c$ et $d$ . Comme la zone correspondante est un rectangle, la zone peut être trouvée simplement en multipliant la largeur et la hauteur.

5.3 La distribution exponentielle

S'il $X$ a une distribution exponentielle avec une moyenne $\mu$ , alors le paramètre de désintégration est $m=\frac{1}{\mu}$ . La fonction de densité de probabilité de $X$ est $f(x) = me^{-mx}$ (ou de manière équivalente) $f(x)=\frac{1}{\mu} e^{-x / \mu}$ . La fonction de distribution cumulée de $X$ est $P(X \leq x)=1-e^{-m x}$ .